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Projektionsvektor v auf Vektor u

Es internes Produkt, ebenfalls Innenprodukt oder Skalarprodukt genannt, von zwei Vektoren ist ein Skalar, gibt also eine Zahl zurück. Es ist ein Konzept aus der Lineare Algebra, aber auch in anderen Branchen der Mathematik ist weit verbreitet. Die bekannteste Form stammt aus dem euklidische Geometrie und ist für die Vektoren ${displaystyle mathbf {u} }$ und ${displaystyle mathbf {v} }$ definiert als:

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} =|mathbf {u} ||mathbf {v} |cos heta }$

in welchem ${Anzeigestil-Heta}$ das Ecke zwischen den Vektoren ist und ${displaystyle |mathbf {u} |}$ und ${displaystyle |mathbf {v} |}$ bzw. die Standards der Vektoren ${displaystyle mathbf {u} }$ und ${displaystyle mathbf {v} }$ sein.

Das innere Produkt wird auch als:

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} =(mathbf {u} ,mathbf {v} )=langle mathbf {u} ,mathbf {v} angle =langle mathbf {u} |mathbf {v} angle }$

Für die obige Definition ist es notwendig, den Winkel zwischen den beiden Vektoren zu kennen, oder noch mehr, dass der Winkelbegriff bereits in der verwendeten Geometrie existiert.

Wenn die Vektoren ${displaystyle mathbf {u} }$ und ${displaystyle mathbf {v} }$ Elemente sind von der ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$, das ${displaystyle n}$-dimensional Vektorraum über die reale Nummern, und:

${displaystyle mathbf {u} =(u_{1},u_{2},ldots,u_{n})}$

und

${displaystyle mathbf {v} =(v_{1},v_{2},ldots,v_{n})}$

dann kann das interne Produkt definiert werden als:

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} =u_{1}v_{1} u_{2}v_{2} ldots u_{n}v_{n}=Summe _{i=1}^{n}u_ {i}v_{i}}$

Diese Form des Punktprodukts heißt is Standard-Innenprodukt, es ist die übliche Form des internen Produkts in a euklidischer Raum.

Mit diesem inneren Produkt und der Norm der Vektoren kann dann der Winkel zwischen den beiden Vektoren bestimmt werden.

Eigenschaften

• Die Vektoren ${displaystyle mathbf {u} }$ und ${displaystyle mathbf {v} }$ Stand aufrecht übereinander, genau dann, wenn ihr inneres Produkt gleich 0 ist. Je nach Vektorraum und Kontext kann dies auch als Definition von "senkrecht" dienen.
• Das Skalarprodukt von Vektoren aus einem reellen Vektorraum ist kommutativ: ${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} = mathbf {v} cdot mathbf {u} }$
• Das Skalarprodukt zweier Vektoren in einem höherdimensionalen Raum ist gleich dem in der Ebene durch die Vektoren.

Der Begriff des internen Produkts wurde ebenfalls verallgemeinert. Analog dazu spricht man von "senkrecht" oder "orthogonal", wenn das innere Produkt gleich 0 ist. Das verallgemeinerte innere Produkt ist jedoch nur echter Vektorraum kommutativ.

Allgemeine Definition

Ein inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum ${Anzeigestil V}$ ist ein positiv-definitivsymmetrische bilineare Form${displaystyle langle {cdot },{cdot }angle Doppelpunkt Vimes V o mathbb {R} }$. Das heißt, für ${Anzeigestil x,y,Satz V}$ und ${ Anzeigestil Lambda in Mathbb {R} }$ folgende Bedingungen müssen erfüllt sein:

1. Bilinearität:
   • ${displaystyle langle x y,zangle =langle x,zangle langle y,zangle}$
   • ${displaystyle langle x,y zangle =langle x,yangle langle x,zangle}$
   • ${displaystyle langle x,lambda yangle =lambda langle x,yangle =langle lambda x,yangle}$
2. symmetrisch (kommutativ): ${Displaystil langle x,yangle =langle y,xangle}$
3. positive Definition: ${displaystyle langle x,xangle geq 0}$ für alle ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle langle x,xangle =0Linksrechtspfeil x=0}$

EIN internes Produkt oder Innenprodukt auf einen komplexer Vektorraum${Anzeigestil V}$ ist ein Einsiedler positiv definit sesquilinear bilden ${displaystyle langle {cdot },{cdot }Winkel Doppelpunkt Vimes V o mathbb {C} }$. Das heißt, für ${Anzeigestil x,y,Satz V}$ und ${ Anzeigestil Lambda in Mathbb {C} }$ folgende Bedingungen müssen erfüllt sein:

1. sesquilinear:
   • ${displaystyle langle x y,zangle =langle x,zangle langle y,zangle}$
   • ${displaystyle langle x,y zangle =langle x,yangle langle x,zangle}$
   • ${displaystyle langle x,lambda yangle ={ar {lambda}}langle x,yangle =langle {ar {lambda}}x,yangle}$
2. Einsiedler: ${displaystyle langle x,yangle ={overline {langle y,xangle }}}$
3. positive Definition: ${displaystyle langle x,xangle geq 0}$ (und daher echt) für alle ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle langle x,xangle =0Linksrechtspfeil x=0}$

Hier ist ${displaystyle {overline {z}}}$ das komplex konjugiert von ${Anzeigestil z}$.

Ein Vektorraum mit innerem Produkt ist a interner Produktraum.

Endlichdimensionaler reeller Vektorraum

Für Vektoren ${displaystyle x,yin mathbb {R} ^{n}}$ ist

${displaystyle langle x,yangle =sum _{i}sum _{j}x_{i}y_{j}langle e_{i},e_{j}angle =sum _{i}sum _{j}x_{i }y_{j}a_{ij}=Summe _{i}x_{i}(Ay)_{i}=xcdot Ay}$,

in welchem

${displaystyle a_{ij}=lang e_{i},e_{j}angle }$

Aufgrund der Eigenschaften des inneren Produkts ist die Matrix ${Anzeigestil A=(a_{ij})}$positiv-definitiv und symmetrisch.

wenn ${displaystyle [x]=[x_{1},x_{2},ldots ,x_{n}]'}$ der Spaltenvektor ist mit als Elementen die Koordinaten von ${Anzeigestil x}$, kann man schreiben:

${displaystyle langle x,yangle =[x]'A[y]}$

Oft schreiben die Leute einfach

${displaystyle langle x,yangle =x'Ay}$,

in denen stillschweigend mit ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ sowohl die Vektoren als auch die entsprechenden Spaltenvektoren sind angegeben.

Umgekehrt induziert jede positiv-definite, symmetrische Matrix ${Anzeigestil A}$ ein inneres Produkt durch die Relation

${displaystyle langle x,yangle =xcdot Ay}$

Da jede positiv-definite, symmetrische Matrix geschrieben werden kann als ${Anzeigestil A=B^{T}B}$ mit ${Anzeigestil B}$ eine invertierbare Matrix und umgekehrt für eine beliebige invertierbare Matrix ${Anzeigestil B}$ die Matrix ${Anzeigestil A=B^{T}B}$ positiv definit und symmetrisch gilt auch:

${displaystyle langle x,yangle =x'B'By=(Bx)'By}$

Die Matrix ${Anzeigestil B}$ ist für eine gegebene ${Anzeigestil A}$ nicht eindeutig bestimmt, da die Matrix ${Anzeigestil CB}$ mit ${Anzeigestil C}$ ein orthogonale Matrix gibt das gleiche ${Anzeigestil A}$.

Für den normalen Standard gilt zusätzlich:

${displaystyle langle x,xangle =|Bx|^{2}}$

Für einen zufälligen ${displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum ${Anzeigestil V}$ über die reellen Zahlen mit Base${displaystyle {e_{1},ldots ,e_{n}}}$ und inneres Produkt ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ ist das innere Produkt zweier Vektoren

${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ und ${displaystyle y=sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}$:

${displaystyle langle x,yangle =leftlangle sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}ightangle =sum _{i=1}^{n}Summe _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}langle e_{i},e_{j}Winkel }$

An einer Orthonormalbasis trifft also zu ${displaystyle langle x,yangle =sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}$. Dieser Ausdruck wird zum Standard-Innenprodukt erwähnt.

Endlichdimensionaler komplexer Vektorraum

Für einen zufälligen nein-dimensionaler Vektorraum ${Anzeigestil V}$ über die komplexen Zahlen mit Base${displaystyle {e_{1},ldots ,e_{n}}}$ und inneres Produkt ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ ist das innere Produkt zweier Vektoren

${displaystyle x=sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ und ${displaystyle y=sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}}$:

${displaystyle langle x,yangle =leftlangle sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}ightangle =sum _{i=1}^{n}Summe _{j=1}^{n}x_{i}{ ar {y_{j}}}langle e_{i},e_{j}Winkel }$.

An einer Orthonormalbasis trifft also zu ${displaystyle langle x,yangle =sum _{i=1}^{n}x_{i}{ ar {y_{i}}}}$. Dieser Ausdruck ist eine der Versionen des Komplexes Standard-Innenprodukt.

Beispiele

Die folgenden Operationen sind interne Produkte:

• im ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$:

${displaystyle langle u,vangle =sum _{k=1}^{n}w_{k}u_{k}v_{k}}$

in welchem ${Anzeigestil w}$ ein Vektor positiver Gewichtungsfaktoren ist;

• im ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$:

${displaystyle ucdot v=sum _{k=1}^{n}{ ar {u}}_{k}v_{k}}$

in welchem ${displaystyle {ar{}}}$ steht für die komplex konjugiert;

• von Matrizen:

${displaystyle Acdot B=mathrm {tr} (B^{H}A)}$

wo tr steht für die Spur einer Matrix und ${Anzeigestil H}$ steht für die komplex konjugiert des transponiert einer Matrix, das hermitesche Konjugierte.

Norm

Für ein inneres Produkt auf einem beliebigen reellen oder komplexen Vektorraum gehört natürlich a Norm

${displaystyle |x|={sqrt {langle x,xangle }}}$

Ein normierter Vektorraum, dessen Norm sich so aus einem inneren Produkt ableitet, heißt Prähilbertraum, weil seine Metrik Fertigstellung ein hilbert zimmer ist.

Das innere Produkt kann immer aus dem Standard rekonstruiert werden. In einem echten Prehilbertraum haben wir:

${displaystyle 2langle x,yangle =langle x,yanglelangle y,xangle =|x y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2}}$

oder

${displaystyle 2langle x,yangle =|x|^{2} |y|^{2}-|x-y|^{2}}$

und auch

${displaystyle 4langle x,yangle =|x y|^{2}-|x-y|^{2}}$

Andererseits in einem komplexen Prehilbert-Raum:

${displaystyle 4langle x,yangle =|x y|^{2}-|x-y|^{2} i|x iy|^{2}-i|x-iy|^{2}}$

endlichdimensionaler Fall

Im ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ ein beliebiges internes Produkt bestimmt eine Norm durch die Relation

${displaystyle |mathbf {u} |={sqrt {langle mathbf {u} ,mathbf {u} Winkel}}=|Bmathbf {u} |_{2}}$

mit ${Anzeigestil B}$ eine invertierbare Matrix (siehe auch oben).

Im ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ es gibt auch andere Standards, wie z

${displaystyle |mathbf {u} |=|Bmathbf {u} |_{p}}$

für andere beizulegende Zeitwerte von ${displaystyle pgeq 1}$.

Vor dem ${Anzeigestil n=1}$ die Norm muss vom Absolutwert unterschieden werden:

${displaystyle |u|=|u|{sqrt {langle 1,1angle }}=|u||1|}$

(oder der eindimensionale Vektor des Skalars).

Winkel

Das Cauchy-Schwarz-Ungleichung begrenzt das innere Produkt von zwei beliebigen Vektoren ${Anzeigestil x,yin V}$ durch das Produkt ihrer Standards:

${displaystyle |langle x,yangle |leq |x|,|y|}$

Das Ecke${displaystyle alpha }$ zwischen ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ wird gegeben von

${displaystyle cos(alpha)={frac {langle x,yangle }{|x||y|}}}$

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung garantiert, dass die rechte Seite zwischen −1 und 1 liegt.

Äquivalenz der beiden Definitionen

Bildbegleitende Beweise

In zwei Dimensionen zeigt der folgende Beweis, dass die Definitionen

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} =|mathbf {u} ||mathbf {v} |cos heta }$

und

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} =u_{1}v_{1} u_{2}v_{2}}$

gleichwertig sein. Angenommen, zwei Vektoren ${displaystyle u=(u_{1},u_{2})}$ und ${displaystyle v=(v_{1},v_{2})}$ im Flugzeug. Beweisen:

${displaystyle v_{1}u_{1} v_{2}u_{2}=|v||u|cos(alpha )}$

Für die Länge ${Anzeigestil L}$ des blauen Segments in der Abbildung gilt nach Satz des Pythagoras:

${displaystyle L^{2}=(v_{1}-u_{1})^{2} (v_{2}-u_{2})^{2}}$

Andererseits folgt aus dem Kosinusregel:

${displaystyle L^{2}=|v|^{2} |u|^{2}-2|v||u|cos(alpha )}$

Die Gleichsetzung der beiden Ausdrücke ergibt:

${displaystyle v_{1}^{2}-2v_{1}u_{1} u_{1}^{2} v_{2}^{2}-2v_{2}u_{2} u_{2}^{ 2}=v_{1}^{2} v_{2}^{2} u_{1}^{2} u_{2}^{2}-2|v||u|cos(alpha )}$

woraus folgt:

${displaystyle v_{1}u_{1} v_{2}u_{2}=|v||u|cos(alpha )}$

Die Evidenz lässt sich sehr leicht auf höhere Dimensionen ausdehnen.

Äquivalenz der beiden Definitionen aufgrund der Drehung in Bezug auf das Bezugskoordinatensystem

Betrachten wir Beta als den Winkel zwischen dem Vektor v und der horizontalen Achse und verwenden die Winkelsummen- und Winkeldifferenzidentitäten:

${displaystyle u_{1}=|u|cos(alpha eta)=|u|(cos(alpha)cos(eta)-sin(alpha)sin(eta))}$

${Anzeigestil u_{2}=|u|sin(alpha eta)=|u|(sin(alpha)cos(eta) sin(eta)cos(alpha))}$

${displaystyle v_{1}=|v|cos(eta)}$

${displaystyle v_{2}=|v|sin(eta)}$

woraus auch folgt:

${displaystyle v_{1}u_{1} v_{2}u_{2}=|v|cos(eta)|u|(cos(alpha)cos(eta)-sin(alpha)sin(eta)) |v |sin(eta)|u|(sin(alpha)cos(eta) sin(eta)cos(alpha))}$${displaystyle v_{1}u_{1} v_{2}u_{2}=|u||v|(cos(alpha)cos ^{2}(eta)-sin(alpha)sin(eta)cos(eta ) sin(alpha )sin(eta)cos(eta) sin^{2}(eta)cos(alpha))}$

${displaystyle v_{1}u_{1} v_{2}u_{2}=|u||v|cos(alpha)(cos^{2}(eta) sin ^{2}(eta))}$

Und ist somit äquivalent zu:

${displaystyle v_{1}u_{1} v_{2}u_{2}=|u||v|cos(alpha )}$

Beachten Sie auch, dass diese Formel auf der rechten Seite weder vom Winkel Beta in Bezug auf das orthogonale Referenzkoordinatensystem noch vom Ursprung dieses Koordinatensystems abhängt, und auf der linken Seite vom Ursprung des Koordinatensystems.

Auch wenn wir also unser Referenzkoordinatensystem um einen beliebigen Winkel (Beta) drehen, bleibt das Skalarprodukt gleich:

${displaystyle v_{1}u_{1} v_{2}u_{2}=v_{1}'u_{1}' v_{2}'u_{2}'}$

'Freie' Vektoren haben nur eine 'Größe' (dt.: 'Skalar') und eine 'Richtung' (evtl. einen 'Satz') und keinen bestimmten Zielpunkt (im Gegensatz zu 'gebundenen' Vektoren), weshalb wir immer sie zum Ursprung des orthogonalen Koordinatensystems.

Diese Formel würde für eine Verschiebung des Ursprungs des orthogonalen Koordinatensystems nicht gelten.

Dabei spielt es keine Rolle, ob Sie den Betrag des einen Vektors über den Winkel Alpha auf den anderen Vektor projizieren oder umgekehrt:

${Anzeigestil u_{v}=|u|cos(alpha)}$

${Anzeigestil v_{u}=|v|cos(-alpha)=|v|cos(alpha)}$ (Gesehen: ${Anzeigestil cos(-alpha)=cos(alpha)}$)

Dann multiplizieren Sie ihre Größen miteinander, um das Punktprodukt zu erhalten:

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} =|mathbf {v} |u_{v}=|mathbf {v} ||mathbf {u} |cos(alpha )=|mathbf {u} ||mathbf {v } |cos(alpha)}$

${displaystyle mathbf {v} cdot mathbf {u} =|mathbf {u} |v_{u}=|mathbf {u} ||mathbf {v} |cos(-alpha )=|mathbf {u} ||mathbf { v} |cos(alpha)}$

Was macht diese Operation in einem reellen Vektorraum kommutativ:

${displaystyle mathbf {u} cdot mathbf {v} = mathbf {v} cdot mathbf {u} }$

Veranstaltungsräume

Das Veranstaltungsräume reell- oder komplexwertiger integrierbarer Funktionen auf dem Intervall ${Anzeigestil [a,b]}$ sind Beispiele für Vektorräume mit möglichem internen Produkt:

${displaystyle langle f,gangle =int _{a}^{b}{f(t){overline {g(t)}},mathrm {d} t}}$

oder mit Skalierungsfaktor

${displaystyle langle f,gangle ={frac {1}{b-a}}int _{a}^{b}{f(t){overline {g(t)}},mathrm {d} t}}$,

in welchem ${displaystyle {overline {g(t)}}}$ steht für die komplex konjugiert von ${Anzeigestil g(t)}$.

Je nach Wahl des Funktionsraumes ist der positive Charakter dieses Innenprodukts nicht immer gewährleistet; manchmal muss Äquivalenzklassen von Funktionen berücksichtigt werden, die fast überall gleich sein - siehe auch LP-Raum.

Zum Beispiel hat das innere Produkt im ersten Fall den entsprechenden Standard

${displaystyle |f|={sqrt {int _{a}^{b}{|f(t)|^{2},mathrm {d} t}}}}$

und ist nützlich, wenn dieser Standard, angewendet auf die Differenz zweier Funktionen, als angemessenes Maß dafür angesehen wird, wie stark sich die beiden Funktionen voneinander unterscheiden. Dies könnte zum Beispiel der Fall sein bei der Ansatz einer Funktion durch ein Polynom.

Beispiel für einen zweidimensionalen Funktionsraum

Ein einfaches konkretes Beispiel ist ein zweidimensionaler reeller Vektorraum linearer Funktionen ${Anzeigestil f(t)=pqt}$ im Intervall [0,1]:

${displaystyle langle f_{1},f_{2}angle =int _{0}^{1}{f_{1}(t)f_{2}(t),mathrm {d} t}}$;

${displaystyle f_{1}(t)=p_{1} q_{1}t}$, ${displaystyle f_{2}(t)=p_{2} q_{2}t}$ gibt:

${displaystyle langle f_{1},f_{2}angle =p_{1}p_{2} { frac {1}{2}}(p_{1}q_{2} p_{2}q_{1}) { frak {1}{3}}q_{1}q_{2}}$

${displaystyle |f|={sqrt {p^{2} pq { frac {1}{3}}q^{2}}}}$

Mit den offensichtlichen Grundlagen ${displaystyle e_{1}(t)=1}$, ${displaystyle e_{2}(t)=t}$, und damit die Koordinaten ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$, also ist das Innenprodukt nicht das Standard-Innenprodukt; in Bezug auf das innere Produkt ist diese Basis nicht orthonormal. Dies hat zur Folge, dass als lineare Funktion ${Anzeigestil f(t)=pqt}$ wird als Punkt in a . dargestellt Kartesisches Koordinatensystem mit auf der horizontalen Achse ${displaystyle p}$ und auf der vertikalen Achse ${Anzeigestil q}$, der Abstand zwischen zwei Punkten entspricht nicht der Norm der Differenz der beiden Funktionen, oder äquivalent: dass der Abstand von einem Punkt zum Ursprung nicht der Norm der Funktion entspricht. An einer schiefes Koordinatensystem, wobei die Basisvektoren eine Länge haben, die ihrer Norm entspricht (1 und ${displaystyle { frac {1}{3}}{sqrt {3}}}$) und bei einem wie oben definierten Winkel (was 30° ergibt) entspricht der Abstand von einem Punkt zum Ursprung der Norm der Funktion.

Das gleiche wird erreicht wie die Basis wird orthonormal gemacht, mit ${displaystyle b_{1}(t)=1}$ und ${displaystyle b_{2}(t)=2{sqrt {3}}(t-{ frac {1}{2}})}$. Die Koordinaten der Funktionen ändern sich dann (a Koordinatentransformation, genauer gesagt a grundlegende Transformation angewendet), aber die Punkte bleiben an der gleichen Position wie im schiefen Koordinatensystem, jetzt in einem kartesischen Koordinatensystem. Die neuen Koordinaten sind ${displaystyle p{ frac {1}{2}}q}$ und ${displaystyle { frac {1}{6}}q{sqrt {3}} }$:

${displaystyle (p { frac {1}{2}}q)b_{1} ({ frac {1}{6}}q{sqrt {3}})b_{2}=}$

${displaystyle =(p { frac {1}{2}}q) ({ frac {1}{6}}q{sqrt {3}})2{sqrt {3}}(t-{ frac {1}{ 2}})=}$

${Anzeigestil = p qt = f (t)}$

Eine Funktion ${Anzeigestil f(t)=pqt}$ hat die orthogonalen Komponenten

${displaystyle f_{1}(t)=p { frac {1}{2}}q}$,

für die

${displaystyle |f_{1}|=|p { frac {1}{2}}q|}$

und

${displaystyle f_{2}(t)=({ frac {1}{6}}q{sqrt {3}})b_{2}=q(t-{ frac {1}{2}})}$,

wofür:

${displaystyle |f_{2}|={ frac {1}{6}}{sqrt {3}}|q|}$

Vor dem ${displaystyle f(t)=p qt=(p { frac {1}{2}}q) q(t-{ frac {1}{2}})}$ gilt mit Beantragung der Satz des Pythagoras:

${displaystyle |f|={sqrt {(p { frac {1}{2}}q)^{2} ({ frac {1}{6}}{sqrt {3}}q)^{2}}} ={sqrt {p^{2} pq { frac {1}{3}}q^{2}}}}$

Internes Produkt in der Physik

In der Physik ist das Skalarprodukt von zwei auch Vektorgrößen von unterschiedlicher Bedeutung. Da diese nicht addiert werden können, können sie nicht zum selben Vektorraum gehören. Der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist jedoch ein nützliches Konzept; die beiden Vektorräume haben einen gemeinsamen Satz von Richtungen oder ein Äquivalent: einen gemeinsamen Satz von gerichteten Koordinatenachsen, ausgenommen der "Maßstab" / Maßstab.

Beispiel

Die von einer Stromquelle gelieferte ., wenn eine Masse verschoben wird Arbeit${Anzeigestil W}$ ist das Punktprodukt der ausgeübten Leistung${Anzeigestil F}$ und der Verschiebungsvektor ${displaystyle Delta {vec {r}}}$:

${displaystyle W={vec {F}}cdot Delta {vec {r}}}$,

oder allgemeiner die Linienintegral auf einer Kurve von A nach B:

${displaystyle W=int _{AB}{vec {F}}cdot mathrm {d} {vec {r}}}$

Kreuzprodukt

Es Kreuzprodukt ist wie das interne Produkt a Funktion von zwei Vektoren, aber im Gegensatz zum Punktprodukt liefert das Kreuzprodukt keine Zahl, sondern einen neuen Vektor. Es ist ein Vektor aus zwei Vektoren in drei Dimensionen, der senkrecht zu beiden Vektoren steht und dessen Betrag gleich dem Produkt der Beträge der beiden Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren ist.

Webseiten

• Weniger abstrakte Erklärung (Archiv)