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Bruchspaltung oder in Teilbrüche zerlegen schreibt a . um rationale Funktion als Summe von a Polynom und eine oder mehrere rationale Funktionen, deren Nenner Potenzen von sind irreduzibel Polynome sind und deren Zähler haben immer einen kleineren Grad als das irreduzible Polynom im Nenner.

Im häufigsten Fall betrachten wir Polynome und rationale Funktionen mit reellem Koeffizienten. Irreduzible Polynome haben dabei den Grad 1 oder 2, die entsprechenden Zähler sind also Konstanten oder Polynome ersten Grades. Für die irreduziblen Polynome in den Nennern kann man die irreduziblen Teiler des Nenners der ursprünglichen rationalen Funktion wählen. Die Befugnisse, mit denen sie handeln, müssen nicht größer sein als die Befugnisse, mit denen sie in der Faktorisierung dieses ursprünglichen Nenners.

Beispiel

Wir suchen nach einem Bruchteil der rationalen Funktion

${displaystyle {1 über x^{2}-1}}$.

Die Faktorisierung des Nenners ist

${Anzeigestil {x^{2}-1=(x-1)(x 1)}}$.

Es gibt also zwei irreduzible Teiler, beide Polynome ersten Grades, die beide in der ersten Potenz stehen. Die Bruchspaltung besteht dann darin, Konstanten zu finden ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ so dass

${displaystyle {1 über (x-1)(x 1)}={A über x-1} {B über x 1}}$

Indem wir beide Elemente mit dem Nenner der linken Seite multiplizieren und die linke und rechte Seite gradweise gleichsetzen, finden wir

${displaystyle {A={ frac {1}{2}},B=-{ frac {1}{2}}}}}$

Anwendung in der Integralrechnung

Der Nutzen der Fraktionsspaltung besteht darin, dass die Terme des Ergebnisses relativ einfach sein können integrieren sein; Die Fraktionsspaltung stellt somit eine Methode zur systematischen Integration rationaler Funktionen bereit. Von jeder rationalen Funktion kann man theoretisch immer primitive Funktion werden berechnet, indem die Form der rationalen Funktion geeignet modifiziert und dann die resultierenden Teile in üblicher Weise integriert werden. Im berechneten Summe stehen Polynom im ${Anzeigestil x}$ und eine endliche Zahl Brüche mit im Zähler entweder nur a Konstante und in der Nenner eine Potenz eines linearen Faktors in ${Anzeigestil x,}$ oder im Zähler ein linearer Faktor in ${Anzeigestil x}$ und im Nenner eine Potenz eines irreduziblen quadratischen Polynoms in ${Anzeigestil x.}$ Sind die Koeffizienten sowohl des Zählers als auch des Nenners der rationalen Funktionsfunktion, deren Primitiv gefunden werden soll, ganzzahlig, dann sind alle Zahlen in der berechneten Summe rational. Das Grundelement jedes der Brüche in der berechneten Summe kann berechnet werden.

Im allgemeinen Fall sind hierfür folgende Schritte zu unternehmen:

1. Durch lange Division von Polynomen Teile den Bruch in ein Polynom und eine rationale Funktion, deren Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners.
2. Das Polynom im Nenner faktorisieren linearer Faktoren und irreduzibel Polynome zweiten Grades.
3. Zerlege den Bruch in eine Summe von Brüchen.
4. Berechnen Sie das Primitiv jeder einzelnen Summe.

Beispiel

Wir wenden den Schritt-für-Schritt-Plan an, um das unbestimmte Integral für die rationale Funktion zu finden ${displaystyle {1 über x^{2}-1}}$ aus dem ersten Beispiel.

1. Eine Schwanzteilung ist unnötig, da der Zählergrad bereits kleiner ist als der Nennergrad.
2. Wir haben den Nenner in Faktoren zerlegt: ${Anzeigestil {x^{2}-1=(x-1)(x 1)}}$.
3. Den Bruch teilen: ${displaystyle {{1 über (x-1)(x 1)}={1 über 2(x-1)}-{1 über 2(x 1)}}}$.
4. Beide Terme der rechten Seite haben a natürlicher Logarithmus als primitiv und das gesuchte primitiv wird somit gefunden:

${displaystyle int {dx über x^{2}-1}=ln {sqrt {x-1 über x 1}} C}$.

Konkrete Lösungsmethoden

Einfache echte Wurzeln: Limit-Verfahren

Falls der Nenner als Produkt einfacher Differenzen von geschrieben werden kann ${Anzeigestil x}$ und einer Konstanten können die unbekannten Faktoren mit dem sogenannten 'Limit-Verfahren' ermittelt werden. Das Tolle ist, dass dies alles Limits sind, die einfach ausgefüllt werden können und somit keine wirkliche Notwendigkeit besteht, ein Limit zu berechnen. Angenommen, der Bruch kann in der Form geschrieben werden:

${displaystyle B(x)={frac {mathrm {counter} (x)}{(x-a_{1})ldots (x-a_{i})ldots (x-a_{n})}}}$

wo die wurzeln ${displaystyle a_{i}}$ sind alle unterschiedlich und natürlich ist der Grad des Polynoms im Zähler kleiner als der volle Grad des Nenners.

Der Bruchteil wird dann zu:

${displaystyle B(x)={frac {A_{1}}{x-a_{1}}} ldots {frac {A_{i}}{x-a_{i}}} ldots {frac {A_{n} }{x-a_{n}}}}$

Zunächst werden die beiden obigen Ausdrücke jetzt für verwendet ${Anzeigestil B(x)}$ gleichgesetzt und beide Elemente werden mit multipliziert ${displaystyle(x-a_{i})}$:

${displaystyle {frac {A_{1}(x-a_{i})}{(x-a_{1})}} ldots A_{i} ldots {frac {A_{n}(x-a_{i}) }{(x-a_{n})}}={frac {mathrm {counter} (x)}{(x-a_{1})ldots (x-a_{i-1})(x-a_{i 1})ldots(x-a_{n})}}}$

Es ist klar, dass wenn in diesem Ausdruck ${Anzeigestil x}$ gleicht ${displaystyle a_{i}}$ angegeben ist, alle Begriffe außer gelassen ${Displaystil A_{i}}$ abfallen. Auf der rechten Seite können Sie auch den Wert eingeben ${displaystyle a_{i}}$ ausgefüllt werden:

${displaystyle A_{i}={frac {mathrm {counter} (a_{i})}{(a_{i}-a_{1})ldots (a_{i}-a_{i-1})(a_{ i}-a_{i 1})ldots (a_{i}-a_{n})}}}$

Dies bietet somit einen direkten Weg, um die Koeffizienten der Aufteilung zu bestimmen. Vereinfacht gesagt kommt es auf Folgendes an:

Zu ${Displaystil A_{i}}$ zu bestimmen ist der Faktor ${displaystyle(x-a_{i})}$ vom Nenner entfernt und wird dann zu ${displaystyle a_{i}}$ in die restliche Fraktion eingefüllt.

Beispiel 1: Einfache reelle Wurzeln reële

Annehmen:

${displaystyle B(x)={frac {3(x^{2} 1)}{(x-1)(x-3)(x 2)}}={frac {A_{1}}{x-1 }} {frac {A_{2}}{x-3}} {frac {A_{3}}{x 2}}}$

Dann ist:

${displaystyle A_{1}={frac {3(1^{2} 1)}{(1-3)(1 2)}}=-1}$

${displaystyle A_{2}={frac {3(3^{2} 1)}{(3-1)(3 2)}}=3}$

${displaystyle A_{3}={frac {3((-2)^{2} 1)}{((-2)-1)((-2)-3)}}=1}$

Mehrere echte Wurzeln

Dieser Weg kann auch verwendet werden, wenn es mehrere echte Wurzeln gibt, außer dass es einiges an Mathematik erfordert. Daher ist es normalerweise schneller, die allgemeinere Methode im nächsten Abschnitt zu verwenden. Konkret kann der Koeffizient mit dem höchsten Grad mit dem obigen Verfahren immer noch leicht gefunden werden. Siehe dazu Beispiel 3.

Allgemeine Methode

Die allgemeine Methode kann auch verwendet werden, wenn Paare vorhanden sind komplex konjugiert sind Wurzeln, was daran zu erkennen ist, dass der Nenner im Bruch unteilbare Terme zweiten Grades enthält. Bei der allgemeinen Methode wird der Teilungsausdruck auf einen Nenner zurückgeführt und der so gefundene Zähler mit dem Zähler des ursprünglich zu teilenden Bruchs verglichen. Aus der Forderung, dass die Koeffizienten gleicher Potenzen links und rechts gleich sein müssen, folgen schlüssige Bedingungen für die unbekannten Koeffizienten der Aufteilung. Um die Berechnung einzuschränken, werden zunächst die einfachen reellen Nullstellen mit dem obigen Grenzverfahren berechnet.

Beispiel 2: Komplexe Wurzeln

Annehmen:

${displaystyle B(x)={frac {16x 8}{(x-1)(x^{2} 2x 5)}}={frac {A}{x-1}} {frac {Bx C}{x ^{2} 2x 5}}}$

Dann kann ${Anzeigestil A}$ werden nach dem Limitverfahren berechnet:

${displaystyle A={frac {16cdot 1 8}{1^{2} 2cdot 1 5}}=3}$

Bringt man die geteilte Bruchform wieder auf einen Nenner, können beide Zähler gleichgesetzt werden;

${Anzeigestil 16x 8=A(x^{2} 2x 5) (Bx C)(x-1)}$

Indem wir verlangen, dass die Koeffizienten des Quadrats von X links und rechts gleich sind, findet man:

${Anzeigestil 0=A B}$

und weil ${Anzeigestil A}$ wurde bereits berechnet, ist ${Anzeigestil B}$ sofort bekannt:

${Anzeigestil B=-3}$.

Machen Sie nun dasselbe mit den konstanten Termen links und rechts:

${Anzeigestil 8=5A-C}$

findet man:

${Anzeigestil C=7}$.

Beachten Sie, dass die Gleichheit der (linearen) Terme ersten Grades nicht verwendet wurde. Das ist weil ${Anzeigestil A}$ steht bereits im Vorfeld fest. Die Gleichheit linearer Terme kann daher noch zur Überprüfung der berechneten Ergebnisse herangezogen werden.

Die allgemeine Methode besteht also darin, a . zu lösen lineares Gleichungssystem, aber indem man einfache Wurzeln zunächst separat sucht und die anderen Anforderungen in einer guten Reihenfolge verwendet, kann viel Rechenarbeit eingespart werden.

Beispiel 3: Mehrere reelle Wurzeln

Nehmen Sie als Beispiel diese Division, die eine einfache Wurzel hat X=1, enthält und auch eine Doppelwurzel X=2:

${displaystyle B(x)={frac {2x 1}{(x-1)(x-2)^{2}}}={frac {A}{x-1}} {frac {B}{x- 2}} {Frak {C}{(x-2)^{2}}}}$

Hier kannst du ${Anzeigestil A}$ vorab festgelegt werden:

${displaystyle A={frac {2cdot 1 1}{(1-2)^{2}}}=3}$

Aber auch der Koeffizient ${Anzeigestil C}$ der höchsten Macht von X–2, kann auf diese Weise bestimmt werden. Auch hier ist der richtige Nenner von ${Anzeigestil C}$ aus dem Bruch weggelassen:

${displaystyle C={frac {2cdot 2 1}{2-1}}=5}$

Nur für ${Anzeigestil B}$ die allgemeine Methode muss befolgt werden, aber das ist wenig Arbeit, weil ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil C}$ sind inzwischen bekannt. Addiert man zu einem Nenner und vergleicht beispielsweise die konstanten Terme der Zähler, findet man:

${Displaystil 4A 2B-C=1}$

so dass:

${Anzeigestil B=-3}$

Auch hier können die Koeffizienten der anderen Potenzen verwendet werden, um die Ergebnisse zu überprüfen.