WikiDer > Periodenverdoppelung
Periodenverdoppelung ist Teil von Bifurkationstheorie. Diese Verzweigung beschreibt, wie in einem System a Schwingung wird instabil und erzeugt gleichzeitig eine Schwingung mit einer doppelt so langen Periode.
Eine Periodenverdopplung tritt auf, wenn a Grenzzyklus (Schwingung) wird instabil. Dies kann nur passieren, wenn ein System mindestens drei Variablen hat. Die Periodenverdopplung kann nicht durch Näherung des Verhaltens um einen Punkt untersucht werden, aber die Verzweigung kann durch Betrachten einer Ebene verstanden werden, die den Grenzzyklus schneidet. Der Grenzzyklus hat nur einen Schnittpunkt mit dieser Ebene. Andere zeigen aufeinanderfolgende Kreuzungen. Die Funktion, die jeden Schnittpunkt auf den nächsten abbildet, wird zu Poincaré-Bild erwähnt.
Solange der Grenzzyklus stabil ist, bewegt sich jede Lösung in der Umgebung in Richtung dieses Zyklus konvergieren. Die aufeinanderfolgenden Schnittpunkte liegen daher immer näher am Schnittpunkt mit dem Zyklus. Wenn der Grenzzyklus instabil ist, werden die Punkte immer weiter vom Zyklus entfernt. In dem Moment, in dem der Zyklus instabil wird (die Bifurkation), sind die Punkte ungefähr gleich weit vom Zyklus entfernt. Es ist dann immer möglich, eine Lösung zu wählen, die nach einer weiteren Umdrehung zum Ausgangspunkt zurückkehrt.
Der Nettoeffekt der Periodenverdopplung besteht darin, dass eine stabile Schwingung mit der doppelten Periode in eine Schwingung umgewandelt wird, wodurch die Schwingung mit jeder Periodenverdopplung komplexer wird. Chaos wird durch eine Anhäufung dieser Bifurkationen verursacht.
Da die Periodenverdopplung nicht durch das Studium des Systems selbst um einen Punkt, sondern durch das Studium der Schnittpunkte mit einer Ebene um einen Punkt beschrieben werden kann, wird diese Verzweigung von einigen als global und von anderen als lokal klassifiziert.