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EIN dynamisches System das lange genug sich selbst überlassen bleibt kommt oft in a Gleichgewichtszustand (z.B. ein rollender Ball kommt zum Stehen). Es kann auch in a Periodisch "Staat" (zum Beispiel der Pendel von a Uhr). Der Pfad, den das System dann im . beschreibt Zustandsraum ein ruf eins stabilGrenzzyklus.Der dritte mögliche Zustand ist Chaos (zum Beispiel die Atmosphäre).
Eigenschaften
EIN Grenzzyklus hat somit zwei wesentliche Eigenschaften. Erstens ist es ein periodischer Zustand des Systems.Außerdem gilt für a stabiler Grenzzyklus dass das System zum geht Zykluskonvergiert für alle Anfangszustände in der Nähe des Kreislaufs Wenn sich das System vom Kreislauf entfernt, spricht man von a instabiler GrenzzyklusSomit hat der stabile Grenzzyklus einen Konvergenzbereich. Er besteht aus allen Zuständen, aus denen das System zum Zyklus konvergiert.
Der Konvergenzbereich deckt nie den gesamten Zustandsraum ab. In jedem Zyklus gibt es immer mindestens einen Gleichgewichtszustand. Dieser Zustand ist normalerweise instabil und verleiht dem System eine besondere Eigenschaft. Wenn sich das System in diesem Gleichgewichtszustand befindet, bleibt es natürlich dort. Die kleinste Störung reicht jedoch aus, um sie auf den stabilen Grenzzyklus zu konvergieren. Das kann man sich als Pendel der Uhr vorstellen, das genau in der Mitte hängt. Ein kleiner Tipp genügt dann, um die Uhr zu starten.
Grenzzyklen entstehen aus Gleichgewichtszuständen durch sogenannte Hopf-Bifurkationen. Bei einer solchen Verzweigung wird der Gleichgewichtszustand instabil, weil Sie einen Parameter des Systems ändern. In diesem Moment wird der Grenzzyklus erstellt. Dies kann man sich leicht als Aufziehen der Pendeluhr vorstellen (Parameteränderung). Wenn die Uhr genug aufgezogen ist, kann die Uhr anfangen zu ticken. Wenn Grenzzyklen verschwinden, tritt die gleiche Hopf-Bifurkation auf, jedoch in umgekehrter Reihenfolge.
Das Grenzzyklus ist ein zentrales Konzept der Bifurkationstheorie (Dynamische Systemtheorie, Chaostheorie) und spielt eine wesentliche Rolle bei der Entwicklung von Chaos.Die Komplexität von Grenzzyklen steigt (oder sinkt) um PeriodenverdopplungsgabelnWenn sich diese Periodenverdopplungen anhäufen, entsteht schließlich Chaos.
Ein Grenzzyklus kann sich nicht selbst schneiden (in welche Richtung soll das System vorgehen?) Es ist klar, dass ein System mit Grenzzyklen mindestens zwei Variablen hat, sonst gelingt die Abbildung in der Ebene nicht. Weniger offensichtlich ist, dass im Allgemeinen ein Grenzzyklus mit zwei gut gewählten Systemvariablen dargestellt werden kann.
Beispiele
Es gibt viele elegante dynamische Systeme mit Zyklen begrenzen. Weniger elegant, aber leicht verständlich ist das Pendeluhr. Das Pendel einer solchen Uhr macht eine periodische Bewegung und folgt ihr so lange, wie Energie vorhanden ist.
Der Zustand dieses Systems wird durch zwei sich zeitlich ändernde Größen beschrieben: die Auslenkung (x) und die Geschwindigkeit (v) des Pendels Dieses System lässt sich leicht mit a simulate simulieren gedämpfter harmonischer Oszillator der an einer festen Stelle seiner Umlaufbahn (auf dem Weg dorthin) einen Schubs bekommt, das Ergebnis ist in der Abbildung zu sehen Die beiden Variablen (x und v) durchlaufen einen verzerrten Kreis im Zustandsraum (gelbe Linie). Dies stellt den Grenzzyklus des Systems dar. Folgt man dem Zyklus, nimmt x periodisch zu und ab. Dies beschreibt die Bewegung des Pendels.
Der Zyklus ist stabil. Von einem Zustand innerhalb des Zyklus konvergiert das System zum Zyklus (dunkelblaue Linie). Dies ist der Fall, wenn das Pendel zuerst (fast) still hing Amplitude Wenn die Pendelbewegung aus irgendeinem Grund zunimmt (zum Beispiel weil jemand gegen die Uhr stößt), konvergiert das System auch wieder zum Zyklus (Roselinie).
Andere Beispiele, die auf die gleiche Weise funktionieren, sind: den Menschen schlagen Herz, die Bewegung eines Baumes im Wind oder die Entstehung von a Wirbel.