WikiDer > Chaostheorie

Das Lorenz-Attraktor von Edward Lorenzo in einem dreidimensionalen Phasenraum. Die entsprechende Differentialgleichung beschreiben eine einfache meteorologisch Mode-Modell. Das System bewegt sich entlang der links gezeigten Pfade im Uhrzeigersinn, nach dem Überqueren des rechten gegen den Uhrzeigersinn, nach dem Überqueren des linken ... und so weiter. Mit jeder Kurve verbreitert sich das Band der Start- und Landebahnen. Die Zahl wird mit den Standardparametern r=28, σ = 10, b = 8/3 (bzw. 2.666667) unter Verwendung von . berechnet Fraktint.

Das Chaostheorie ist der populäre Name für das Gebiet innerhalb der Mathematik dass das Verhalten von nichtlinearen dynamische Systeme (Englisch: Dynamische Systeme oder Systemtheorie) untersucht. Der offizielle Name in der Mathematik ist dynamische Systeme. Es untersucht Umstände, in denen deterministisches Chaos auftritt und welche Eigenschaften es hat. Der Begriff Chaos hat hier eine technische Bedeutung, zu unterscheiden vom lockeren alltäglichen Gebrauch von Wörtern. Deterministisches Chaos bedeutet, dass die scheinbare Unordnung dennoch genau bestimmt ist und sich geordnet nach a Algorithmus oder Rechenregel. Zum Beispiel a Differentialgleichung oder Rekursion. Der Bereich ist besonders praxisnah, weil er die Stabilität und Zuverlässigkeit von Systemen untersucht.

Unvorhersehbarkeit aufgrund von Nichtlinearität

In der Vergangenheit dachten Forscher, dass physikalische Systeme, die Unvorhersehbarkeit aufwiesen, nur aufgrund ihrer Komplexität oder der Vielfalt der Faktoren, die Veränderungen in diesen Systemen bewirkten, so erschienen. Mit der Entwicklung der Systemtheorie die Leute haben erkannt, dass dies nicht wahr ist. Selbst sehr einfache Systeme, bei denen die Teile des Systems miteinander interagieren nichtlinear Weise das Phänomen des "deterministischen Chaos" aufweisen kann. Mit dem Aufkommen des Computers war es möglich, dies gut zu studieren.

Anfangswerte beeinflussen

Es stellt sich heraus, dass a unendlich klein Änderung der Anfangswerte eines solchen Systems innerhalb einer endlichen Zeit führt oder kann zu makroskopischen Veränderungen führen. Ein anekdotisches Bild dafür ist das des Schmetterlings und des Hurrikans.

Gabelung der Iterationen der Logistikvergleich für das Bevölkerungswachstum (Logistikkarte):${displaystyle qquad x_{n 1}=rx_{n}(1-x_{n})}$ mit ${displaystyle x_{n}}$ eine Zahl zwischen 0 und 1 für die Bevölkerung im Jahr nein so dass X₀ repräsentiert die Ausgangspopulation (im Jahr 0) r ist eine positive Zahl für Tod und Geburt zusammen. Die Punkte x sind als Funktion des Kontrollparameters r vertikal. Links konvergiert die Reihe, rechts ist sie chaotisch und dazwischen periodisch. An den Verzweigungsstellen im Übergangsbereich, Periodenverdoppelung auf.

Der Schmetterling und der Hurrikan (Der Schmetterlingseffekt)

Ein Beispiel für den Einfluss, den Anfangswerte haben können, ist der Anekdote des Schmetterlings und des Hurrikans. Unsere Wettervorhersagen kommen aus der Lösung gekoppelter Systeme Differentialgleichung. Für derartige Systeme sind oft keine exakten Lösungen bekannt, aber numerische Berechnungen sind möglich. Konkret bedeutet dies, dass wir mit den Wetterdaten von heute die Wetterdaten von morgen berechnen können.

Edward Lorenzo zeigten bereits in den 1950er Jahren, dass gekoppelte Differentialgleichungen instabil sein können. Dies bedeutet, dass Fehler in der numerischen Berechnung mit der Zeit zunehmen. Wird die Temperatur beispielsweise heute um 0,1 °C falsch gemessen, beträgt die Abweichung von der Wettervorhersage für morgen bereits 0,5 °C. In einer Woche haben wir 3,1 °C off und für zwei Wochen ist keine aussagekräftige Vorhersage mehr möglich. Anekdotisch heißt es, dass der Flügelschlag eines Schmetterlings in China der entscheidende Faktor zwischen gutem Wetter und einem Hurrikan in Texas sein kann.^[1]

Der Lyapunov-Exponent

Das exponentielles Wachstum von Abweichungen ist eine Eigenschaft der Instabilität des Systems selbst und kann ausgedrückt werden durch LyapunovExponent (Lambda). Dies gibt an, ob Systeme mit nahezu gleichem Anfangszustand im Laufe der Zeit auseinanderwachsen oder nicht. Chaotische Systeme reagieren sehr empfindlich auf kleine Unterschiede im Anfangszustand. Das führt später zu großen Unterschieden. Wir können drei Parameterbereiche von Lambda erhalten (${ Anzeigestil Lambda }$) unterscheiden.

• ${ Anzeigestil Lambda < 0 }$

Das System ist nicht chaotisch. Ein gutes Beispiel ist a iterativWurzelfunktion. Beginnen Sie mit einer beliebigen Zahl (sagen wir 1000) und ziehen Sie die Quadratwurzel weiter. Sie landen sehr nahe bei 1. Nehmen Sie einen kleinen Unterschied (sagen wir 1002) und ziehen Sie die Quadratwurzel daraus und Sie werden wieder nahe an 1 kommen. Kurz gesagt, die Werte kriechen aufeinander zu, charakteristisch für ein nicht-chaotisches System und einen negativen Lyapunov-Exponenten.

• ${Anzeigestil Lambda=0}$

Das System ist „neutral“. Ein Beispiel ist eine iterative Addition. Nehmen Sie zwei Werte w1 und w2 und addieren Sie ständig 1 dazu. Egal wie oft Sie das tun, w1 und w2 bleiben gleich nah beieinander. An der Entfernung ändert sich also nichts, was auf ein neutrales System und einen Null-Lyapunov-Exponenten hinweist.

• ${Anzeigestil Lambda >0}$

Das System ist chaotisch. Nehmen Sie zwei Werte sehr nahe beieinander, sagen wir 2 und 20001. Wenn Sie es weiterhin quadrieren, nimmt der Unterschied immer mehr zu, was für ein chaotisches System und einen positiven Lyapunov-Exponenten charakteristisch ist.

Ein zweiter Beitrag von Lyapunov zur Chaostheorie ist die nahezu einheitliche Lyapunov-Zeit. Dies ist einfach die Zeit, die ein System braucht, um chaotisch zu werden.

Periodenverdoppelung

Eine wichtige Rolle bei der Schaffung von Chaos spielen die Periodenverdoppelung.Hiermit Gabelung erhöht die Komplexität einer periodischen Bewegung. Eine Anhäufung von Periodenverdoppelungen schafft schließlich Chaos. Dieser Vorgang ist einfach zu befolgen mit seltsame Attraktoren auf der Poincare-Bild. Wenn das System chaotisch ist, bildet sich das Poincaré-Bild a fraktal.

Pioniere

Henri Poincare war derjenige, der bei seinen Forschungen auf dem Gebiet der Himmelsmechanik war der erste, der dieses Phänomen entdeckt und untersucht hat.

Andere Pioniere, die am deterministischen Chaos gearbeitet haben, sind beispielsweise Edward Lorenzo, Mitchell Feigenbaum, James Yorke, Floris Takens und Benoît Mandelbrot.

Anwendungen

Loslegen 1990er Jahre die Theorie war so weit fortgeschritten, dass man eine mathematische Analyse der (scheinbaren) Zufälligkeit liefern konnte, die zur Erklärung der Unvorhersehbarkeit in einer Vielzahl von Bereichen verwendet werden konnte, z. Physik, Meteorologie, Chemie, Astronomie, Wirtschaft oder soziale Systeme. Die sogenannte Chaostheorie kam in Mode und wurde missbräuchlich verwendet - zum Beispiel in Kursen für Führungskräfte. Deshalb sprechen Mathematiker lieber von dynamische Systeme.

Siehe auch

• Doppelpendel
• Magnetisches Pendel
• Atwoods Pendel
• Van-der-Pol-Gleichung

Siehe die Kategorie Chaostheorie von Wikimedia Commons für Mediendateien zu diesem Thema.