WikiDer > Плюккеровское вложение

Plücker embedding

В математика, то Плюккеровское вложение это метод реализации Грассманиан из всех k-размерный подпространства из п-размерный векторное пространство V как подмножество из проективное пространство. Точнее, карта Плюккера встраивает алгебраически в проективное пространство th внешняя сила этого векторного пространства, . Изображение является пересечением ряда квадрик, определяемых соотношениями Плюккера.

Вложение Плюккера было впервые определено в случае k = 2, п = 4 к Юлиус Плюкер как способ описания линий в трехмерном пространстве (которое, как проективные линии в реальном проективном пространстве, соответствуют двумерным подпространствам четырехмерного векторного пространства). Образ этого вложения - это Кляйн квадрик в RP5.

Герман Грассманн обобщенное вложение Плюккера в произвольные k и п. Однородные координаты образа грассманиана при вложении Плюккера относительно естественного базиса во внешнем пространстве соответствующий естественной основе в (куда это база поле) называются Координаты Плюккера.

Определение

Вложение Плюккера (над полем K) - это карта ι определяется

куда Gr(k, Kп) - грассманиан, т. е. пространство всех k-мерные подпространства п-размерный векторное пространство Kп.

Это изоморфизм грассманиана к образу ι, что является проективное разнообразие. Это разнообразие можно полностью охарактеризовать как пересечение квадрик, каждая из которых проистекает из отношения в координатах Плюккера (или Грассмана), которое происходит из линейная алгебра.

В скоба кольцо появляется как кольцо полиномиальных функций от внешней степени.[1]

Соотношения Грассмана – Плюккера

Вложение грассманиана удовлетворяет очень простым квадратичным соотношениям, называемым Соотношения Грассмана – Плюккера. Они показывают, что грассманиан вкладывается как алгебраическое подмногообразие в п(∧kV) и дадим еще один способ построения грассманиана. Чтобы сформулировать соотношения Грассмана – Плюккера, пусть W быть k-мерное подпространство, натянутое на базис векторов-строк {ш1, ..., шk}. Позволять быть матрица однородных координат, строки которой ш1, ..., шk и разреши W1, ..., Wп - соответствующие векторы-столбцы. Для любой упорядоченной последовательности из положительные целые числа, пусть быть определяющим фактором матрица со столбцами . Тогда являются Координаты Плюккера элемента грассманиана. Это линейные координаты изображения. из под картой Плюккера относительно стандартного базиса во внешнем пространстве

Для любых двух упорядоченных последовательностей:

положительных целых чисел , справедливы следующие однородные уравнения, определяющие образ W под картой Плюккера:

куда обозначает последовательность со сроком опущено.


Когда тусклый (V) = 4, и k = 2, простейший грассманиан, не являющийся проективным пространством, приведенное выше сводится к одному уравнению. Обозначая координаты п(∧kV) к W12, W13, W14, W23, W24, W34, образ Gr(2, V) при отображении Плюккера определяется одним уравнением

W12W34W13W24 + W14W23 = 0.

В общем, однако, требуется гораздо больше уравнений, чтобы определить плюккеровское вложение грассманиана в проективное пространство.[2]

Рекомендации

  1. ^ Бьёрнер, Андерс; Лас Вергнас, Мишель; Штурмфельс, Бернд; Белый, Нил; Циглер, Гюнтер (1999), Ориентированные матроиды, Энциклопедия математики и ее приложений, 46 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, п. 79, ISBN 0-521-77750-X, Zbl 0944.52006
  2. ^ Гриффитс, Филипп; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии, Wiley Classics Library (2-е изд.), Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья, п. 211, ISBN 0-471-05059-8, МИСТЕР 1288523, Zbl 0836.14001

дальнейшее чтение