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Hermann Grassmann

Hermann Gunther Grassmann (stettin (Stettin), 15. April1809 - Dort, 26. September1877) war ein DeutscheUniversalgelehrter, der zu seiner Zeit als Linguist war bekannt und wird jetzt besonders für seine verehrt Mathematiker einschlagen. Neben seiner Tätigkeit als Gymnasiallehrer war er auch Physiker, Neohumanisten und Herausgeber. Grassmanns mathematische Arbeit wurde zu seinen Lebzeiten nicht gewürdigt.

Leben

Grassmann war das dritte von zwölf Kindern des Pfarrers Justus Günter Grassmann, der löschen und Physik unterrichtet am Gymnasium von stettin, wo Hermann auch sein Abitur machte. Hermann arbeitete oft mit seinem Bruder Robert Grassman zusammen.

Grassmann war ein unscheinbarer Student, bis er bei den Aufnahmeprüfungen für die Preußisch Universitäten. Ab 1827 studierte er Theologie zum Universität Berlin. Er besuchte auch Vorlesungen in der klassische Sprachen, das Philosophie und die Literatur. Er scheint während seiner College-Jahre keine Vorlesungen zu halten löschen und Physik befolgt zu haben.

So interessierte er sich, obwohl er keinen Hochschulabschluss in Mathematik hatte, am meisten, als er 1830 nach seinem Theologiestudium in Berlin nach Stettin zurückkehrte. Nach einem Jahr Vorbereitung legte er die Prüfung ab, die ihn zum Mathematikunterricht am Gymnasium berechtigen sollte, aber sein Ziel erreichte er nicht. Das Ergebnis war, dass er nur auf einem niedrigeren Niveau unterrichten durfte. Im Frühjahr 1832 wurde er Assistent am Gymnasium Stettin. Um diese Zeit machte Grassmann seine ersten wichtigen mathematischen Entdeckungen, die er Grasmann (1844) veröffentlichen würde. (siehe unten).

1834 begann Grassmann seine Lehrerlaufbahn als Mathematiklehrer an der Berliner Gewerbeschule. Ein Jahr später kehrte er nach Stettin zurück, um an der neu gegründeten Otto-Schule Mathematik, Physik, Deutsch, Latein und Religion zu unterrichten. Dieses breite Fächerspektrum weist darauf hin, dass Grassmaan nur autorisiert war, auf einem niedrigeren Niveau zu unterrichten. Zwischen 1834 und 1838 legte Grassmann jedoch eine Reihe von Prüfungen ab, die ihm die Lehrbefähigung für das Lehramt an allen Gymnasien Preußens in Mathematik, Physik, Mathematik und Naturwissenschaften verliehen. Chemie und der Mineralogie.

Grassmann fühlte sich gesellschaftlich leicht beleidigt, weil er innovative Mathematik praktizierte, aber noch immer nicht über den Lehrerberuf am Gymnasium hinausgekommen war. Er wurde jedoch an seiner Schule in Stettin befördert. 1847 wurde er Oberlehrer und 1852 wurde er auf die Stelle seines verstorbenen Vaters berufen, was ihm erlaubte, sich Professor zu nennen. 1847 bewarb er sich beim preußischen Kultusministerium um eine Hochschulstelle. Auf dieser Grundlage gewann das Ministerium Ernst Kummer eine Meinung zu Grassmann. Kummer schrieb über Grassmanns preisgekrönten Aufsatz von 1846, siehe unten, das Folgende

"... lobenswertes Material, aber mangelhaft in der Präsentation".

Kummers Bericht machte der Chance, Grassmann an eine der Universitäten in Preußen zu berufen, ein Ende. Diese Ablehnung war eines der Themen in Grassmans Leben; immer wieder missverstanden führende Zeitgenossen den Wert seiner Mathematik.

Während der politischen Unruhen in Deutschland in den Jahren 1848-49 gaben Hermann und Robert Grassmann in Stettin eine Zeitung heraus, in der sie zu einer Deutsche Vereinigung unter einem konstitutionelle Monarchie. Nachdem ich eine Reihe von Artikeln über die Verfassungsrecht Hermann stellte seine Arbeit für diese Zeitung ein, weil er sich immer weniger in der politischen Richtung der Zeitung wiederfinden konnte.

Grassmann und seine Frau hatten elf Kinder, von denen sieben das Erwachsenenalter erreichten. Einer seiner Söhne, Hermann Ernst Grassmann, wurde Professor für Mathematik an der Universität Gießen.

Mathematiker

Eine der vielen Prüfungen, an denen Grassmann 1840 teilnahm, zwang ihn, einen Aufsatz über die Theorie der Gezeiten schreiben. In diesem Essay bediente er sich der fundamentalen Theorie der Mecanique Celeste (Himmelsmechanik) von Laplace, und von der Mechanique analytique (Analytische Mechanik) von Lagrange. In seiner Präsentation bediente er sich jedoch Vektoren, an dem er seit 1832 arbeitete. Dieser Essay, der erstmals in seinen Gesammelten Werken (1894-1911) veröffentlicht wurde, enthält das erste bekannte Erscheinen dessen, was heute ist Lineare Algebra Erwähnungen und auch der Begriff a Vektorraum. Er würde diese Methode weiter entwickeln in Grasmann (1844) und Grasmann (1862).

1844 veröffentlichte Grassmann sein Meisterwerk, Die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (Lineare Erweiterungstheorie, ein neuer Zweig der Mathematik), im Folgenden als bezeichnet Grasmann (1844) und allgemein als der bezeichnet Erweiterungstheorie. Diese Arbeit schlägt neue Grundlagen für die gesamte Mathematik vor und beginnt mit ziemlich allgemeinen Definitionen von philosophisch Natur. Grassmann zeigt dann, dass, wenn die Geometrie einmal am algebraisch Grundlage begründet ist, die er argumentiert, dass dann die Zahl drei spielt keine privilegierte Rolle, wenn die Zahl räumlichMaße; die Zahl der möglichen Dimensionen ist nun tatsächlich unbegrenzt.

Fearnley-Sander^[1] beschreibt Grassmanns Grundlagen der linearen Algebra wie folgt:

Die Definition von a linearer Raum (Vektorraum)... verbreitete sich um 1920, als Hermann Weyl und andere veröffentlichten formale Definitionen. Tatsächlich war eine solche Definition bereits dreißig Jahre zuvor angenommen worden Peano gegeben. Peano war mit Grassmanns mathematischen Arbeiten sehr vertraut. Grassmann selbst hatte keine formale Definition – die Terminologie war zu seiner Zeit nicht verfügbar –, aber er kannte den Begriff zweifellos.

Beginnend mit einer Sammlung von 'Einheiten' e₁, e₂, e₃, ..., definiert er effektiv den freien linearen Raum, den diese Einheiten aufspannen, d. h. er definiert formale Linearkombinationen ein₁e₁ ein₂e₂ ein₃e₃ ... betrachtet (wo die ein_j sind reelle Zahlen), die er de Betrieb Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen, wie es jetzt üblich ist, und definiert formal die Eigenschaften des linearen Raums für diese Operationen beweist. ... Er entwickelt dann die Theorie der lineare Unabhängigkeit in einer Weise, die der Darstellung in modernen Lehrbüchern der linearen Algebra verblüffend ähnlich ist. Er definiert die Begriffe von Unterraum, Unabhängigkeit, Spanne, Abmessungen, Verband und Überschneidung von Unterräumen und Projektionen von Elemente auf diesen Gebieten.

... nur wenige sind näher gekommen als Hermann Grassmann, ein ganz neues Sujet aus eigener Kraft zu schaffen.

Einer Idee von Grassmanns Vater folgend, definierte Grassmann auch die externes Produkt, auch Kreuzprodukt genannt. Es muss daran erinnert werden, dass zu Grassmanns Zeiten der einzige axiomatisch Theorie die Euklidische Geometrie früher gewesen. Der allgemeine Begriff von a abstrakte Algebra musste noch erfunden werden. Bund im Jahr 1878 William Kingdon Clifford diese Theorie mit dem Quaternionen von William Rowan Hamilton nach der Grassmannschen Regel e_pe_p = 0 durch die Zeile zu ersetzen e_pe_p = 1. Für die Quaternionen gilt die Regel ich² = j² = k² = -1.

Dies war ein revolutionäres Werk, das seiner Zeit zu weit voraus war, um gewürdigt zu werden. Grassmann hat die Arbeit als Diplomarbeit für a Promotion in der Philosophie, aber der Richter, Möbius erklärte sich für die Beurteilung der Arbeiten unfähig und delegierte diese Aufgabe an Ernst Kummer, der das Werk anschließend ablehnte, ohne es gründlich gelesen zu haben. In der Zeit von 1844 bis 1855 schrieb Grassmann eine Reihe weiterer Werke, in denen er Erweiterungstheorie angewandt, ein Beispiel dafür ist seine Arbeit von 1845 Neue Theorie der Elektrodynamik (New Theory of Elektor Dynamics) und verschiedene Artikel zu algebraische Kurven und algebraische Oberflächen, in der Hoffnung, dass diese Anwendungen andere dazu bringen würden, seine Theorie ernst zu nehmen.

1846 wurde Grassmann von Möbius eingeladen, am Wettbewerb zur Lösung eines Problems teilzunehmen, der erstmals Leibniz vorgeschlagen, gelöst zu werden: einen geometrischen Kalkül aufzustellen, ohne zu verwenden Koordinaten und der metrisch Eigenschaften. Leibniz selbst nannte es a Analysesituation, der alte Name für Topologie. Grassmans Geometrische Analyse knüpft an die von Leibniz erfundene geometrische Charakteristik (Geometrische Analyse in Verbindung mit dem von Leibniz erfundenen geometrischen Merkmal) war der gewinnende, aber auch einzige Beitrag. Möbius, einer der Juroren, kritisierte jedoch die Art und Weise, wie Grassmann abstrakte Konzepte einführte, ohne dem Leser einen Hinweis darauf zu geben, warum die eingegebenen abstrakten Konzepte wichtig waren.

1853 veröffentlichte Grassmann eine Theorie über die Farbmischung; diese theorie wird zusammen mit ihren drei farbengesetzen noch heute gelehrt, da die Grassmannsches Gesetz. Grassmans Arbeit zu diesem Thema stimmte nicht mit der Arbeit von Helmholtz. Grassmann hat auch darüber geschrieben Kristallographie, Elektromagnetismus und Mechanik.

In seinem Werk von 1861 setzte sich Grassmann das Ziel, die erste axiomatische Darstellung von berechnen geben. Grassmann hat das Prinzip der volle Einweisung. Ab 1890 wurde dieses Werk von Peano und seinen Anhängern häufig in ihren Werken zitiert.

Im Jahr 1862 veröffentlichte Grassman eine gründlich neu geschriebene zweite Ausgabe seines Werkes von 1844, in der Hoffnung, für sein Werk eine verspätete Anerkennung zu erhalten. Expansionstheorie verdienen. Dieses Werk enthielt die endgültige Darstellung seiner Ideen zur linearen Algebra. Das Ergebnis, Die Ausdehnungslehre: Vollständig und in sterer Vorm bearbeitet (Die Theorie der Erweiterung: vollständig und korrigiert) ereilte jedoch kein anderes Schicksal als sein Vorgängerwerk von 1844, obwohl auch dieses Werk die Erklärung in den Lehrbüchern des 20. Jahrhunderts vorwegnimmt.

Der einzige Mathematiker, der zu Lebzeiten Grassmanns Ideen schätzte, war Hermann Hankel, dessen Werk von 1867 Theorie der Komplexe Zahlensysteme (Theorie komplexer Zahlensysteme) trug dazu bei, Grassmanns Ideen bekannter zu machen. Diese Arbeit

... arbeitete einige von Hermann Grassmanns Algebren und Hamiltons Quaternionen von. Hankel erkannte als erster die Bedeutung der lange vernachlässigten Schriften Grassmanns... .^[2]

Die mathematischen Methoden von Grassmann wurden erst spät bemerkt, hatten aber direkten Einfluss auf Felix Klein und Elie Cartan. Alfred North Whiteheads erste Monographie, die Universelle Algebra (Universelle Algebra) (1898), enthielt die erste systematische Darstellung der Erweiterungstheorie auf Englisch. Die Expansionstheorie hat zur Entwicklung der Differentialformen und die Anwendung dieser Formulare in der Analyse und Geometrie. Das Differentialgeometrie verwendet äußere Algebra. Für eine Einführung in die Rolle von Grassmanns Arbeit an zeitgenössischen mathematische Physik, siehe Penrose (2004: Kap. 11, 12).

Adhémar Jean-Claude Barre de Saint-Venant entwickelt Vektoranalyse die mit der von Grassmann vergleichbar war. de Saint-Vanant veröffentlichte sein Werk 1845. Daraufhin geriet er prompt mit Grassmann in einen Streit darüber, welcher der beiden Vorrang hatte. Grassmann hatte seine Ergebnisse bereits 1844 veröffentlicht, aber Saint-Venant behauptete mit ziemlicher Sicherheit wahrheitsgemäß, dass er bereits 1832 an diesen Ideen gearbeitet habe.

Linguist

Enttäuscht über seine scheinbare Unfähigkeit, als Mathematiker anerkannt zu werden, wandte sich Grassmann im späteren Lebensabschnitt immer mehr dem historischen Hintergrund zu. Linguistik. Er schrieb Bücher über die Deutschen wrote Grammatik, gesammelt Volkslieder und gelernt Sanskrit. Sein Wörterbuch und seine Übersetzung des Rig-Veda (ca. 150 Jahre nach Erscheinen noch im Druck) werden unter Philologen. Er entwickelte ein herrschendes Gesetz für die Indogermanische Sprachen, was ihm die Grassmannsches Gesetz wird genannt.

"Indem wir zeigen, dass die germanisch in einem phonologisch Muster tatsächlich älter als Sanskrit ist, untergrub Grassmann Sanskrits Position als älteste bekannte Sprache in Indoeuropäisch Linguistik. Durch seine Demonstration untergrub Grassmann auch die Idee, dass sich die Sprache von einer analytischen zu einer synthetischen Struktur entwickelt hat, indem sie einfache Wörter kombiniert, ohne ihre Form zu ändern, um neue Wörter zu konstruieren.

Für seine philologischen Leistungen wurde er zu Lebzeiten geehrt. Er wurde in die American Oriental Society gewählt und erhielt 1876 die Ehrendoktorwürde der Vereinigten Staaten Universität Tübingen.

Siehe auch

• Grassmannisch

Fußnoten

Verweise

Primär

• (das) Grassmann (1844) - Die lineare Dehnungslehre (Die lineare Erweiterungstheorie). Leipzig: Wiegand. Englische Übersetzung, 1995, von Lloyd Kannenberg, Ein neuer Zweig der Mathematik (Ein neuer Zweig der Mathematik). Chicago: Offenes Gericht.
• (das) Grassmann (1861) - Lehrbuch der Mathematik für höhere Lehranstalten, Band 1 (Lehrbuch der Mathematik für Hochschulen). Berlin: Enslin.
• (das) Grassmann (1862) - Die Ausdehnungslehre, vollständig und in sterer Form bearbeitet (Die Erweiterungstheorie: vollständig und streng redigiert.) Berlin: Enslin. Englische Übersetzung, 2000, von Lloyd Kannenberg, Erweiterungstheorie. Amerikanische Mathematische Gesellschaft.
• (das) Grassmann (1894-1911) - Gesammelte mathematische und physikalische Werke, (Gesammelte mathematische und physikalische Werke) in 3 Teilen. Friedrich Engel Hrsg. Leipzig: B.G. Teubner. Nachdruck 1972, New York: Johnson.

Sekundär

• (und) Crowe, Michael, 1967. Eine Geschichte der Vektoranalyse (Eine Geschichte der Vektoranalyse). Notre Dame University Press.
• (und) Fearnley-Sander, Desmond, 1979, Hermann Grassmann und die Entstehung der Linearen Algebra (Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra), American Mathematical Monthly 86: 809-17.
• (und) --------, 1982, Hermann Grassmann und die Vorgeschichte der universellen Algebra (Hermann Grassmann and the Prehistory of Universal Algebra), American Mathematical Monthly 89: 161-66.
• (und) -------, und Stokes, Timothy, 1996, Area in Grassmann Geometry, Automated Deduction in Geometry: 141-70.
• (und) Ivor Grattan-Guinness (2000) Die Suche nach mathematischen Wurzeln 1870-1940 (Die Suche nach mathematischen Wurzeln 1870-1940). Princeton University Press.
• (und) Roger Penrose, 2004. Der Weg zur Realität (Der Weg zur Realität). Alfred A. Knopf.
• (das) Schlege, Victor, 1878. Hermann Grassmann: Sein Leben und Seine Werke (Hermann Grassmann: sein Leben und sein Werk). Leipzig: F. A. Brockhaus.
• (und) Schubring, G., Hrsg., 1996. Hermann Gunther Grassmann (1809-1877): visionärer Mathematiker, Naturwissenschaftler und Neohumanist (Hermann Grassmann (1089-1877): visionärer Mathematiker, Naturwissenschaftler und Neohumanist). Kluwer.
• (das) Petsche, Hans-Joachim, 2006. Grassmann. (Grassmann, Vita Mathematica, 13) Birkhäuser.