WikiDer > Остроконечное пространство

Pointed space

В математика, а заостренное пространство это топологическое пространство с отличительной точкой, базовая точка. Выделенная точка - это просто одна конкретная точка, выбранная из пространства и получившая имя, например Икс0, который остается неизменным при последующем обсуждении и отслеживается во время всех операций.

Карты отмеченных пространств (на основе карт) находятся непрерывные карты сохранение базовых точек, т. е. карты ж между заостренным пространством Икс с базовой точкой Икс0 и заостренное пространство Y с базовой точкой у0 является базируемым отображением, если оно непрерывно относительно топологий Икс и Y и если ж(Икс0) = у0. Обычно это обозначается

Остроконечные пространства важны в алгебраическая топология, особенно в теория гомотопии, где много построек, таких как фундаментальная группа, зависят от выбора базовой точки.

В заостренный набор концепция менее важна; в любом случае это случай остроконечного дискретное пространство.

Остроконечные пространства часто рассматриваются как частный случай относительная топология, где подмножество представляет собой одну точку. Таким образом, большая часть теория гомотопии обычно разрабатывается на заостренных пространствах, а затем перемещается в относительные топологии в алгебраическая топология.

Категория заостренных пространств

В учебный класс всех отмеченных пространств образует категория Вершина с базовой точкой, сохраняющей непрерывные карты как морфизмы. Другой способ думать об этой категории - это как категория запятой, ({•} ↓ Вершина) где {•} - любое одноточечное пространство и Вершина это категория топологических пространств. (Это также называется категория coslice обозначается {•} /Вершина.) Объектами в этой категории являются непрерывные карты {•} → Икс. Такие морфизмы можно рассматривать как выбор базовой точки в Икс. Морфизмы в ({•} ↓ Вершина) являются морфизмами в Вершина для которого следующая диаграмма ездит на работу:

PointedSpace-01.png

Легко видеть, что коммутативность диаграммы эквивалентна условию, что ж сохраняет базовые точки.

Как заостренное пространство, {•} является нулевой объект в Вершина, а это всего лишь конечный объект в Вершина.

Существует забывчивый функтор ВершинаВершина который «забывает», какая точка является базовой. Этот функтор имеет левый смежный который присваивает каждому топологическому пространству Икс то несвязный союз из Икс и одноточечное пространство {•}, единственный элемент которого считается базовой точкой.

Операции над указанными пространствами

Рекомендации

  • Гамелен, Теодор В .; Грин, Роберт Эверист (1999) [1983]. Введение в топологию (второе изд.). Dover Publications. ISBN 0-486-40680-6.
  • Мак-Лейн, Сондерс (Сентябрь 1998 г.). Категории для рабочего математика (второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.