WikiDer > Случайные меры пуассоновского типа

Poisson-type random measures

Случайные меры пуассоновского типа представляют собой семейство из трех случайных считающих мер, замкнутых при ограничении на подпространство, т. е. замкнутых относительно прореживания. Это единственные распределения в семействе распределений канонического неотрицательного степенного ряда, обладающие этим свойством и включающие распределение Пуассона, отрицательное биномиальное распределение, и биномиальное распределение.[1] Семейство распределений PT также известно как семейство распределений Каца,[2] Панджер или (a, b, 0) класс распределений[3] и может быть получен через Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона.[4].

Метание камней

Позволять быть неотрицательной целочисленной случайной величиной ) с законом , иметь в виду и когда существует отклонение . Позволять - вероятностная мера на измеримое пространство . Позволять набор iid случайных величин (камней), принимающих значения в с законом .

Мера случайного подсчета на зависит от пары детерминированных вероятностных мер сквозь каменное строительство (STC) [5]

куда имеет закон и iid иметь закон . это смешанный биномиальный процесс[6]

Позволять быть сборником положительных -измеримые функции. Вероятностный закон закодирован в Функционал Лапласа

куда является производящей функцией . В иметь в виду и отклонение даны

и

В ковариация для произвольных дан кем-то

Когда является пуассоновским, отрицательным биномом или биномом, он называется Типа Пуассона (ПТ). Совместное распространение коллекции это для и

Следующий результат расширяет построение случайной меры на тот случай, когда сбор расширяется до куда является случайным преобразованием . Эвристически, представляет некоторые свойства (марки) . Мы предполагаем, что условный закон следует некоторому переходному ядру согласно .

Теорема: отмеченный STC

Рассмотрим случайную меру и ядро ​​вероятности перехода из в . Предположим, что для данной коллекции переменные условно независимы с . потом случайная мера на . Здесь понимается как . Причем для любого у нас есть это куда это pgf из и определяется как

Следующее следствие является непосредственным следствием.

Следствие: ограниченный STC

Количество является корректно определенной случайной мерой на измеримом подпространстве куда и . Причем для любого у нас есть это куда .

Примечание где мы используем .

Сбор костей

Вероятностный закон случайной меры определяется ее функционалом Лапласа и, следовательно, производящей функцией.

Определение: кость

Позволять быть счетной переменной ограниченный . Когда и имеют одну и ту же семью законов, подлежащих изменению масштаба параметра , тогда называется кость распределение. В состояние костей для pgf дается.

Основываясь на понятии распределения и состояния костей, основной результат существования и уникальности случайных счетных мер пуассоновского типа (ПТ) заключается в следующем.

Теорема: существование и единственность PT случайных мер

Предположить, что с pgf принадлежит к семейству распределений канонических неотрицательных степенных рядов (NNPS) и . Рассмотрим случайную меру в космосе и предположим, что диффузный. Тогда для любого с существует отображение такая, что ограниченная случайная мера , то есть,

если только является пуассоновским, отрицательным биномом или биномом (Типа Пуассона).

Доказательство этой теоремы основано на обобщенном аддитивном уравнении Коши и его решениях. Теорема утверждает, что из всех распределений NNPS только PT обладает тем свойством, что их ограничения имеют то же семейство распределения, что и , то есть закрываются при прореживании. Случайные меры PT - это Случайная мера Пуассона, отрицательная биномиальная случайная мера и биномиальная случайная мера. Пуассон добавка с независимостью от непересекающихся множеств, тогда как отрицательный бином имеет положительную ковариацию, а биномиальный - отрицательную ковариацию. В биномиальный процесс является предельным случаем биномиальной случайной меры, где .

Распределительные приложения самоподобия

Состояние "кости" на pgf из кодирует свойство самоподобия распределения, посредством которого все подсчеты в ограничениях (прореживаниях) подпространств (кодируются pgf ) принадлежат к той же семье, что и из путем изменения масштаба канонического параметра. Эти идеи кажутся тесно связанными с идеями саморазложимости и устойчивости дискретных случайных величин.[7]. Биномиальное прореживание - это базовая модель для подсчета временных рядов.[8][9]. В Случайная мера Пуассона обладает хорошо известным свойством расщепления, является прототипом класса аддитивных (полностью случайных) случайных мер и связана со структурой Леви процессы, прыжки Уравнения Колмогорова (процесс марковского скачка), и экскурсии Броуновское движение.[10] Следовательно, свойство самоподобия семейства PT является фундаментальным для множества областей. Члены семейства PT - это «примитивы» или прототипы случайных мер, с помощью которых могут быть построены многие случайные меры и процессы.

Рекомендации

  1. ^ Калеб Бастиан, Грегори Ремпала. Бросание камней и сбор костей: поиск случайных мер, подобных Пуассону, Математические методы в прикладных науках, 2020. DOI: 10.1002 / MMA.6224
  2. ^ Кац Л. Классические и заразные дискретные распределения гл. Единая трактовка широкого класса дискретных распределений вероятностей,: 175-182. Pergamon Press, Оксфорд, 1965.
  3. ^ Пенджер Гарри Х .. Рекурсивная оценка семейства составных распределений. 1981; 12 (1): 22-26.
  4. ^ Конвей Р. У., Максвелл У. Л. Модель массового обслуживания с зависимой от государства скоростью обслуживания. Журнал промышленной инженерии. 1962; 12.
  5. ^ Чинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Springer-Verlag New York; 2011 г.
  6. ^ Калленберг Олав. Случайные меры, теория и приложения. Springer; 2017 г.
  7. ^ Стейтель Ф. В., Ван Харн К. Дискретные аналоги саморазложимости и устойчивости. Анналы вероятности. 1979;: 893–899.
  8. ^ Аль-Ош М.А., Альзаид А.А. Целочисленный автогрессивный процесс первого порядка (INAR (1)). Журнал анализа временных рядов. 1987. 8 (3): 261–275.
  9. ^ Скотто Мануэль Г., Вайс Кристиан Х., Гувейя Сония. Истончение моделей при анализе целочисленных временных рядов: обзор. Статистическое моделирование. 2015; 15 (6): 590–618.
  10. ^ Чинлар Эрхан. Вероятность и стохастика. Springer-Verlag New York; 2011 г.