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Grafische Darstellung eines Wachstumsprozesses von polare Scheitelpunkte. Solche künstlerischen Figuren basieren auf Prinzipien der projektiven Geometrie.

In dem Mathematik ist projektive Geometrie ein Geometrie ohne metrisch. Es entstand früh im 19. Jahrhundert in den Prinzipien von Linienperspektive in der bildenden Kunst.

Projektive Geometrie ist die Untersuchung geometrischer Eigenschaften, die unter invariant sind projektive Transformationen. Dies bedeutet, dass das Objekt der projektiven Geometrie im Vergleich zur elementaren Geometrie nicht der gewöhnliche Raum ist, sondern ein projektiver Raum und es gibt eine ausgewählte Anzahl grundlegender geometrischer Konzepte. Projektive Räume einer gegebenen Dimension bestehen aus Mehr Punkte, dann die entsprechenden euklidischer Raum, und geometrische Transformationen sind erlaubt, die die zusätzlichen Punkte hinzufügen, die sogenannten „Punkte in der Unendlichkeit“, bewegen Sie sich zu traditionellen Punkten und umgekehrt. Die wichtigsten Eigenschaften in der projektiven Geometrie beziehen sich auf diese neue Idee von Transformationen, die über das hinausgehen, was ausgedrückt werden kann affine Transformationen.

In der projektiven Geometrie ist es nicht auf die gleiche Weise möglich, Ecken gesprochen werden wie im euklidische Geometrie. Winkel sind ein Beispiel für ein Konzept, das bei projektiven Transformationen nicht invariant ist, wie deutlich bei zu sehen ist perspektivische Zeichnung. Ein weiterer Unterschied zur elementaren Geometrie ist, dass parallele Linien, geeignet definiert in projektiver Geometrie, a zeige auf unendlich wenn Überschneidung haben. Auch dieses Konzept hat eine intuitive Basis, wie zum Beispiel Bahngleise, die sich am Horizont in einer perspektivischen Zeichnung treffen. Siehe den Artikel projektive Ebene für die Grundlagen der projektiven Geometrie in zwei Maße.

Obwohl die Ideen schon früher verfügbar waren, fand die Entwicklung der projektiven Geometrie hauptsächlich im 19. Jahrhundert statt. Ein enormer Forschungsaufwand machte die projektive Geometrie zum repräsentativsten Feld des 19. Jahrhunderts Geometrie. Dies war die Theorie der komplexer projektiver Raum, da die verwendeten Koordinaten (homogene Koordinaten) waren komplexe Zahlen. Einige wichtige Teile der abstrakteren Mathematik (einschließlich der Invariante Theorie, das Italienische Schule für algebraische Geometrie und Felix KleinsErlanger Programm, die die Grundlage der klassische Gruppen) auf projektiver Geometrie aufgebaut. Es stand unter dem Banner der synthetische Geometrie auch ein Thema mit vielen Praktikern um seiner selbst willen. Ein weiteres Gebiet, das aus der axiomatischen Untersuchung der projektiven Geometrie hervorgegangen ist, ist die endliche Geometrie.

Das Gebiet der projektiven Geometrie gliedert sich derzeit in viele Teilgebiete der Forschung. Zwei Beispiele sind die projektive algebraische Geometrie (das Studium von projektive Varietäten) und der projektive Differentialgeometrie (das Studium der Differentialinvariantenvari der projektiven Transformationen).

Beschreibung

Projektive Geometrie ist a nichteuklidische Geometrie die eines der zentralen Prinzipien der Perspektive in der Kunst formalisiert: parallel Linien schneiden sich im unendlich und muss daher als solche unterschrieben werden. Im Wesentlichen können wir uns die projektive Geometrie als eine Erweiterung von vorstellen euklidische Geometrie in der die „Richtung“ einer Linie als zusätzlicher „Punkt“ zu dieser Linie hinzugefügt wird und in der der „Horizont“ der Richtungen von Linien in derselben Ebene verstanden wird als „Gerade“. Beispielsweise schneiden sich zwei parallele Linien an einem Horizont, weil sie dieselbe Richtung haben.

Idealisierte Wegbeschreibungen werden falsche Punkte oder unendliche Punkte genannt, während idealisierte Horizonte unangemessene Rechte oder unendlich ferne Rechte werden genannt.

Geschichte

Die ersten geometrischen Eigenschaften eines projektiven Charakters wurden im dritten Jahrhundert eingeführt Pappus von Alexandria entdeckt. Filippo Brunelleschi (1404–1472) begann 1425 eine Untersuchung der Geometrie der Perspektive^[1] (sehen Geschichte der Perspektive für eine eingehendere Diskussion der Arbeit in der bildenden Kunst, die einen Großteil der Entwicklung der projektiven Geometrie untermauerte). Johannes Kepler (1571-1630) und Girard Desargues (1591–1661) entwickelten unabhängig das zentrale Konzept des „Punktes im Unendlichen“^[2]. Desargues entwickelte eine alternative Methode zur Konstruktion perspektivischer Zeichnungen, indem er die Verwendung von Fluchtpunkten auf den Fall verallgemeinerte, dass diese Fluchtpunkte unendlich weit entfernt sind. Er hat das gemacht euklidische Geometrie, wo parallele Geraden wirklich parallel sind, zu einem Spezialfall eines allumfassenden geometrischen Systems. Desargues' Studie über Kegelschnitte erregte die Aufmerksamkeit des 16-Jährigen Blaise Pascal und half ihm, seine zu formulieren Satz von Pascal. Ende des 18. und Anfang des 19. Jahrhunderts wurde das Werk von Gaspard Monge wichtig für die Weiterentwicklung der projektiven Geometrie. Die Arbeit von Desargues wurde ignoriert, bis Michel Chasles stieß 1845 auf ein handgeschriebenes Manuskript. inzwischen Jean-Victor Poncelet veröffentlichte 1822 seine Fundamentale Abhandlung über projektive Geometrie. Poncelet unterteilte die projektiven Eigenschaften von Objekten in einzelne Klassen und stellte eine Beziehung zwischen metrischen und projektiven Eigenschaften her. Kurz darauf entdeckt nichteuklidische Geometrie man könnte Modelle für diese Geometrien demonstrieren. Es kleines Modell des hyperbolischer Raum ist ein solches Modell mit Bezug zur projektiven Geometrie.

Diese projektive Geometrie des frühen 19. Jahrhunderts war ein Sprungbrett für die analytische Geometrie zum algebraische Geometrie. Bei Behandlung im Sinne von homogene Koordinaten, projektive Geometrie sieht aus wie eine Erweiterung oder technische Verbesserung der Verwendung von Koordinaten zur Reduzierung geometrischer Probleme auf Algebra, eine Erweiterung, die die Zahl der Sonderfälle reduziert. Das detaillierte Studium der quadratische Gleichungen und der "Liniengeometrie" von Julius Plucker sind immer noch eine reiche Sammlung von Beispielen für Geometer, die an gemeinsamen Konzepten arbeiten.

Die Arbeit von poncelet, Jakob Steiner und andere sollten nicht die sein analytische Geometrie erweitern. Techniken wurden berücksichtigt Synthetik sein: tatsächlich projektiver Raum, wie es heute verstanden wird, axiomatisch eingeführt. Infolgedessen kann es etwas schwierig sein, frühere Arbeiten in projektiver Geometrie neu zu formulieren, um den heutigen Standards der Strenge und Strenge zu genügen. Auch im Fall der projektive Ebene nur die axiomatische Näherung kann zu Modelle die nicht beschreibbar sind Lineare Algebra.

Diese Periode in der Geometrie wurde zuerst durch Forschungen über das Allgemeine identifiziert algebraische Kurve durch Alfred Clebsch, Bernhard Riemann, Max Noether und andere, die die bestehenden Techniken gedehnt haben, aufgeholt und dann durch die Invariante Theorie. Gegen Ende des Jahrhunderts wurde die Italienische Schule für algebraische Geometrie (Federigo Enriques, Segre, Francesco Severic) das traditionelle Forschungsgebiet in einem Bereich, der anspruchsvollere vertiefte Techniken erforderte.

Obwohl die Literatur immer noch umfangreich ist, wurde das detaillierte Studium der projektiven Geometrie in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts weniger in Mode. Unter anderem von Schubert wichtige Arbeit wurde in der Aufzählungsgeometrie, die heute als Vorwegnahme der Theorie der Chern-Klassen, gesehen als eine Darstellung der algebraische Topologie des Grasmannianer.

Axiomatische Struktur

Die projektive Geometrie behandelt Punkte und Linien auf äquivalente Weise, ihre Rollen sind austauschbar. Eine Linie ist die Menge der darauf liegenden Punkte, ein Punkt ist die Menge des Fächers der Linien durch sie hindurch. Dies erleichtert die Angabe einer axiomatischen Struktur (siehe Whitehead, "The Axioms of Projective Geometry"):

• G1: Jede Linie enthält mindestens drei Punkte.
• G2: Jeweils zwei Punkte A und B liegen auf einer eindeutigen Geraden AB.
• G3: Wenn AB und CD sich schneidende Linien sind, dann sind es auch AC und BD (unter der Annahme, dass A und B von C und D unterschiedliche Punkte sind).

Der Grund für die Annahme, dass es auf jeder Linie 3 Punkte gibt, ist klar, wenn wir an das dieser Geometrie zugrunde liegende Beispiel denken, einen euklidischen Raum, ergänzt durch Punkte und Linien im Unendlichen. Der dritte Punkt ist also der unendliche Punkt und die Richtung der Linie. Axiom 2 hat daher eine Variante des paralleles Postulat an sich (was es ironisch macht, projektive Geometrie nicht-euklidisch zu nennen): Wenn ein Punkt und eine Richtung gegeben sind, gibt es eine eindeutige Linie durch diesen Punkt in der gegebenen Richtung.

Da eine euklidische Geometrie in eine projektive Geometrie eingebettet ist und die projektive Geometrie eine einfachere Grundlage hat, können allgemeine Ergebnisse der euklidischen Geometrie auf transparentere Weise erhalten werden. Darüber hinaus können, wie wir bei der vorherigen Interpretation von Axiom 2 gesehen haben, verschiedene, aber ähnliche Sätze der euklidischen Geometrie zusammen innerhalb der projektiven Geometrie behandelt werden. So ist es beispielsweise nicht mehr notwendig, wie in der euklidischen Geometrie zwischen sich schneidenden und sich nicht schneidenden Linien zu unterscheiden.

Es ist möglich, die Axiomatisierung weiter zu erweitern, indem man eine Relation [ABC] erstellt, die anzeigt, dass drei Punkte (nicht unbedingt unterschiedlich) kollinear sein. Mit dieser Beziehung lässt sich dann eine relativ einfache Axiomatisierung erstellen:

• C0: [ABA].
• C1: Wenn A und B Punkte sind, so dass [ABC] und [ABD] dann [BDC] sind.
• C2: Wenn A und B zwei Punkte sind, dann gibt es einen dritten Punkt, so dass [ABC].
• C3: Wenn A und B zwei Punkte sind, ebenso wie B und D, mit [BCE], [ADE], aber nicht [ABE], dann gibt es einen Punkt F mit [ACF] und [BDF].

Für zwei ungleiche Punkte A und B ist die Gerade AB definiert als alle Punkte C mit [ABC]. Die Axiome CO und C1 liefern somit eine Formalisierung von G1, C2 von G2 und C3 von G3.

Der Begriff einer Linie lässt sich verallgemeinern auf a eben und einen höherdimensionalen Unterraum. Ein Unterraum AB...XY kann also rekursiv im Unterraum AB...X definiert werden als alle Punkte der Geraden AZ, durch die Z {A, B, ..., X} verläuft. Kollinearität wird dann zu "Unabhängigkeit" verallgemeinert. Eine Menge {A, B, ..., Z} ist unabhängig, [AB...Z], wenn {A, B, ..., Z} eine minimale erzeugende Menge des Unterraums AB...Z ist.

Zu den Axiomen über die Grenzen der Raumdimension können weitere Axiome hinzugefügt werden. Die Mindestabmessung wird durch das Vorhandensein eines unabhängigen Satzes der vorgeschriebenen Größe festgelegt. Für die unterste Dimension können die Bedingungen äquivalent wie folgt festgelegt werden. Ein projektiver Raum ist von

• (L1) Mindestmaß 0, wenn es mindestens 1 Punkt enthält,
• (L2) Mindestmaß 1, wenn es mindestens 2 verschiedene Punkte enthält, also eine Gerade,
• (L3) Mindestmaß 2, wenn es mindestens 3 nicht kollineare Punkte enthält (oder zwei Linien oder eine Linie und ein Punkt nicht auf der Linie),
• (L4) Mindestmaß 3, wenn es mindestens 4 nicht kolplanare Punkte enthält.

Das maximale Maß kann auf ähnliche Weise definiert werden. Für die niedrigsten Dimensionen kann dies folgende Form annehmen: Ein projektiver Raum ist von

• (M1) höchstens Dimension 0, wenn sie nicht mehr als 1 Punkt enthält,
• (M2) höchstens Maß 1, wenn es nicht mehr als 1 Zeile enthält,
• (M3) höchstens Dimension 2, wenn sie nicht mehr als 1 Fläche enthält, und so weiter.

Es ist ein allgemeiner Satz (eine Folge von Axiom 3), dass sich alle Geraden in einer Ebene schneiden – die Absicht der projektiven Geometrie war genau dieses Prinzip. Daher kann (M3) auch so beschrieben werden, dass sich alle Geraden schneiden.

Weitere Eigenschaften von grundlegender Bedeutung sind die Satz von Desargues und der Satz von Pappos. In projektiven Räumen der Dimension 3 oder größer gibt es eine Konstruktion, die den Beweis des Satzes von Desargues erlaubt, aber für Dimension 2 muss er als separates Postulat formuliert werden.

Mit dem Satz von Desargues ist es zusammen mit den anderen Axiomen möglich, die Grundoperationen der Arithmetik geometrisch zu definieren. Die daraus folgenden Operationen erfüllen die Axiome für a Körper, außer dass die Kommutativität der Multiplikation den Satz von Pappos erfordert. Als Ergebnis entsprechen die Punkte auf jeder Linie eins zu eins mit einem gegebenen Feld F, ergänzt durch ein addiertes unangemessen Element w, so dass rw = w, -w = w, rw = w, r/0 = w, r/w = 0, w-r = r-w = w. 0/0, w/w, w-w, 0w und w0 bleiben jedoch undefiniert.

Das Fano-Flugzeug

Die einzige projektive Geometrie der Dimension 0 ist ein einzelner Punkt. Eine projektive Geometrie der Dimension 2 besteht aus einer einzigen Linie mit mindestens 3 Punkten. Die geometrische Konstruktion arithmetischer Operationen kann in diesen beiden Fällen nicht durchgeführt werden. Für Dimension 2 gibt es eine reichhaltige Struktur, da der Satz von Desargues nicht gilt. Die einfachste zweidimensionale projektive Geometrie besteht aus 3 Punkten auf jeder Linie, wobei sieben Punkte und Linien nach dem Schema der kollinearen Tripel unten angeordnet sind.

• [ABC]
• [ADE]
• [AFG]
• [BDG]
• [BEF]
• [CD]
• [KEK]

mit Koordinaten A = {0,0}, B = {0,1}, C = {0,W} = {1,W}, D = {1,0}, E = {W,0} = {W ,1}, F = {1,1}, G = {W, W}. Es Fan-Flugzeug kann als Bild dienen. Die Koordinaten in einer Ebene, in der der Satz von Desargues gilt, führen im Allgemeinen zu einer mehrdeutigen Definition der uneigentlichen Punkte.

Echte projektive Geometrie

Ein einfaches Modell der projektiven Geometrie wird gebildet durch echte projektive ebene. Die Objekte dieser Geometrie sind die Nebenräume des dreidimensionalen euklidischen Raums ${displaystyle mathbb {R} ^{3}.}$ Die eindimensionalen Unterräume, die sogenannten Vektorrechte, also Linien durch den Ursprung, also Vielfache eines Vektors, nennen wir das we Punkte der projektiven Ebene. Die zweidimensionalen Unterräume, die sogenannten Vektorflugzeuge, Ebenen durch den Ursprung, heißen Rechte der projektiven Ebene. Inzidenzrelationen sind durch die üblichen Relationen aus der Mengenlehre gegeben: Ein "Punkt" liegt auf einer "Linie", wenn die entsprechende Vektorlinie Teil der entsprechenden Vektorebene ist. Drei "Punkte" heißen kollinear, wenn die entsprechenden Vektorlinien in derselben Vektorebene liegen.

Das Einbettung von dem euklidische Ebene in diesem Modell der projektiven Ebene erfolgt durch eine willkürliche Wahl einer Ebene in ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ das geht nicht durch den Ursprung. Jeder Punkt dieser Ebene wird nun mit der eindeutigen Vektorlinie identifiziert, die durch diesen Punkt verläuft. Die verbleibenden "Punkte" sind die Vektorlinien parallel zur gewählten Ebene in ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$, das sind die "Punkte im Unendlichen".

Allgemeiner definiert man die realer n-dimensionaler projektiver Raum durch als Punkte die Vektorlinien von ${displaystyle mathbb {R} ^{n 1}}$ als Linien die Vektorebenen und so weiter.

Diese Klasse von Modellen muss nicht auf Vektorräume über den reellen Zahlen beschränkt sein, sondern kann auch für beliebige Körperk. Dadurch entsteht unter anderem komplexe projektive Räume, aber auch auf endliche Modelle über einen endlichen Körper k.

Interessant ist in diesem Zusammenhang, dass der komplexe eindimensionale Raum (komplexe projektive Linie) nicht nur geometrisch, sondern auch eine ganz andere Struktur hat als der reale zweidimensionale Raum (reale projektive Ebene). topologisch. Die erste besteht aus dem komplexe Ebene Plus eins zeige auf unendlich und ist (differentiell) topologisch äquivalent zu dem Ambiente. Die zweite besteht aus der reellen Ebene plus einer ganzen Reihe von Punkten im Unendlichen (topologisch: ein Kreis im Unendlichen). Topologisch ist dies ein Beispiel für ein nicht orientierbares kompaktes zweidimensionales Vielfalt.

Doppeltes Verhältnis

Die wichtigsten Größen der klassischen Geometrie, wie Länge und Winkel, sind keine projektiven Invarianten. Auch das Verhältnis zweier Längen (von Liniensegmenten auf derselben Linie) wird während der Projektion nicht beibehalten; aber es gibt ein "Verhältnis der Proportionen", das doppeltes Verhältnis, die tatsächlich eine projektive Invariante ist. Das doppelte Verhältnis von vier kollinearen Punkten A, B, C und d, normalerweise notiert als (A B C D), ist

${displaystyle (ABCD)={frac {|AC|}{|BC|}}:{frac {|AD|}{|BD|}}}$

Literatur

• (und) H.S.M. Coxeter, Einführung in die Geometrie, New York, John Wiley & Söhne, 1969, ISBN 0471504580
• --------, Die echte projektive Ebene, 3. Aufl. 1995, Springer Verlag.
• --------, Projektive Geometrie, 2. Aufl. 2003, Springer Verlag.
• (und) Hartshorne, Robin, 2000. Geometrie: Euklid und darüber hinaus. Jumper.
• (und) Edward, Lawrence, Projektive Geometrie.
• --------, Der Wirbel des Lebens.
• (und) Howard Eves, 1997. Grundlagen und Grundbegriffe der Mathematik, 3. Aufl. Dover.
• (das) Locher Ernst, Louis, Raum und Gegenraum
• (und) Oswald Veblen und J.W.A. Jung, 1938-46. Projektive Geometrie, 2 Bd. New York: Blaisdell.
• (und) Richard Hartley und Andrew Zisserman, 2003. Geometrie mit mehreren Ansichten in der Computer Vision, 2. Aufl. Cambridge University Press. ISBN 0-521-54051-8

Externe Links

• Anmerkungen(und) basierend auf Coxeters Die echte projektive Ebene.
• Projektive Geometrie - (und) Nicht-algebraische Einführung von Nick Thomas.