WikiDer > Квантовый канал
В квантовая теория информации, а квантовый канал это канал связи, который может передавать квантовая информация, а также классическая информация. Примером квантовой информации является состояние кубит. Примером классической информации является текстовый документ, передаваемый по Интернет.
Более формально квантовые каналы полностью положительный (CP) сохраняющие след отображения между пространствами операторов. Другими словами, квантовый канал - это просто квантовая операция рассматривается не просто как пониженная динамика системы, но как конвейер, предназначенный для передачи квантовой информации. (Некоторые авторы используют термин «квантовая операция», чтобы также включать уменьшающие след карты, оставляя «квантовый канал» для строго сохраняющих след карт.[1])
Квантовый канал без памяти
Предположим пока, что все пространства состояний рассматриваемых систем, классических или квантовых, конечномерны.
В без памяти в названии раздела имеет то же значение, что и в классическом теория информации: выход канала в данный момент времени зависит только от соответствующего входа, а не от каких-либо предыдущих.
Картина Шредингера
Рассмотрим квантовые каналы, которые передают только квантовую информацию. Это именно квантовая операция, свойства которого мы сейчас резюмируем.
Позволять и - пространства состояний (конечномерные Гильбертовы пространства) передающей и принимающей сторон канала соответственно. обозначим семейство операторов на . в Картина Шредингера, чисто квантовый канал представляет собой карту между матрицы плотности действующий на и со следующими свойствами:
- Согласно постулатам квантовой механики, должен быть линейным.
- Поскольку матрицы плотности положительны, должен сохранить конус положительных элементов. Другими словами, это положительная карта.
- Если Ancilla произвольной конечной размерности п связано с системой, то индуцированное отображение , где яп является тождественной картой на вспомогательной, также должно быть положительным. Следовательно, требуется, чтобы положительно для всех п. Такие карты называются полностью положительный.
- Для матриц плотности указывается трасса 1, поэтому должен сохранить след.
Прилагательные полностью положительный и сохраняющий след используются для описания карты, иногда сокращаются CPTP. В литературе иногда ослабляют четвертое свойство так, что только требуется, чтобы не увеличивать следы. В этой статье предполагается, что все каналы являются CPTP.
Картинка Гейзенберга
Матрицы плотности, действующие на ЧАСА только составляют собственное подмножество операторов на ЧАСА и то же самое можно сказать о системе B. Однако однажды линейная карта между матрицами плотности, стандартный аргумент линейности, вместе с предположением конечномерности, позволяет нам расширить однозначно для всего пространства операторов. Это приводит к сопряженной карте *, который описывает действие в Картинка Гейзенберга:
Пространства операторов L(ЧАСА) и L(ЧАСB) являются гильбертовыми пространствами с Гильберта-Шмидта внутренний продукт. Поэтому просмотр как отображение между гильбертовыми пространствами, мы получаем сопряженное * данный
В то время как принимает государства на А тем, кто на B, * отображает наблюдаемые в системе B к наблюдаемым на А. Эта взаимосвязь такая же, как между описаниями динамики Шредингером и Гейзенбергом. Статистика измерений остается неизменной независимо от того, считаются ли наблюдаемые фиксированными, пока состояния подвергаются операции, или наоборот.
Непосредственно можно проверить, что если предполагается сохраняющим след, * является единый, это,*(я) = я. С физической точки зрения это означает, что в картине Гейзенберга тривиальная наблюдаемая остается тривиальной после применения канала.
Классическая информация
Пока мы определили только квантовый канал, который передает только квантовую информацию. Как сказано во введении, вход и выход канала также могут включать классическую информацию. Чтобы описать это, данную формулировку необходимо несколько обобщить. Чисто квантовый канал в картине Гейзенберга - это линейное отображение Ψ между пространствами операторов:
что является единым и полностью положительным (CP). Пространства операторов можно рассматривать как конечномерныеC * -алгебры. Следовательно, мы можем сказать, что канал - это унитальное CP-отображение между C * -алгебрами:
Затем в эту формулировку можно включить классическую информацию. Наблюдаемые классической системы можно считать коммутативной C * -алгеброй, т. Е. Пространством непрерывных функций C(Икс) на некотором наборе Икс. Мы предполагаем Икс конечно, поэтому C(Икс) можно отождествить с п-мерное евклидово пространство с поэтапным умножением.
Следовательно, в картине Гейзенберга, если классическая информация является частью, скажем, входных данных, мы бы определили включить соответствующие классические наблюдаемые. Примером этого может быть канал
Уведомление остается C * -алгеброй. Элемент а C * -алгебры называется положительным, если а = х * х для некоторых Икс. Соответственно определяется положительность карты. Эта характеристика не является общепринятой; то квантовый инструмент иногда называют обобщенной математической структурой для передачи как квантовой, так и классической информации. В аксиоматизации квантовой механики классическая информация передается в Алгебра Фробениуса или Категория Фробениуса.
Примеры
состояния
Состояние, рассматриваемое как отображение наблюдаемых значений их ожидаемых значений, является непосредственным примером канала.
Временная эволюция
Для чисто квантовой системы эволюция во времени в определенное время т, дан кем-то
где и ЧАС это Гамильтониан и т самое время. Ясно, что это дает карту CPTP в картине Шредингера и, следовательно, является каналом. Двойная карта на изображении Гейзенберга есть
Ограничение
Рассмотрим составную квантовую систему с пространством состояний Для государства
уменьшенное состояние ρ в системе А, ρА, получается взятием частичный след из ρ с уважением к B система:
Операция частичной трассировки - это карта CPTP, следовательно, квантовый канал в картине Шредингера. На картинке Гейзенберга двойная карта этого канала
где А является наблюдаемой системы А.
Наблюдаемый
Наблюдаемое связывает числовое значение к квантовой механике эффект . считаются положительными операторами, действующими в соответствующем пространстве состояний и . (Такая коллекция называется POVM.) На картине Гейзенберга соответствующая наблюдаемая карта отображает классическую наблюдаемую
к квантово-механическому
Другими словами, один интегрировать ж против POVM чтобы получить квантово-механическую наблюдаемую. Легко проверить, что является CP и унитальным.
Соответствующее отображение Шредингера * переводит матрицы плотности в классические состояния:
где скалярное произведение - это скалярное произведение Гильберта – Шмидта. Кроме того, просмотр состояний как нормализованных функционалы, и вызывая Теорема Рисса о представлении, мы можем положить
Инструмент
Наблюдаемое отображение в картине Шредингера имеет чисто классическую выходную алгебру и поэтому описывает только статистику измерений. Чтобы также учесть изменение состояния, мы определяем то, что называется квантовый инструмент. Позволять быть эффектами (POVM), связанными с наблюдаемым. На картине Шредингера инструмент - это карта. с чистым квантовым входом и с выходным пространством :
Позволять
Двойная карта на изображении Гейзенберга есть
где определяется следующим образом: Фактор (это всегда можно сделать, поскольку элементы POVM положительны), то .Мы видим, что является CP и унитальным.
Заметить, что дает точно наблюдаемую карту. Карта
описывает общее изменение состояния.
Канал измерения и подготовки
Предположим, две партии А и B желаете общаться следующим образом: А выполняет измерение наблюдаемого и сообщает результат измерения B классически. Согласно полученному сообщению, B подготавливает свою (квантовую) систему в определенное состояние. На снимке Шредингера первая часть канала 1 просто состоит из А выполнение измерения, т.е. это наблюдаемая карта:
Если в случае я-й результат измерения, B готовит свою систему в состоянии ря, вторая часть канала 2 переводит указанное выше классическое состояние в матрицу плотности
Общая операция - это состав
Каналы такой формы называются измерять и готовить или в Холево форма.
На картине Гейзенберга двойная карта определяется
Канал измерения и подготовки не может быть картой идентичности. Это именно заявление нет теоремы о телепортации, что говорит о классической телепортации (не путать с телепортация с помощью запутывания) невозможно. Другими словами, квантовое состояние нельзя надежно измерить.
в дуальность каналов и состояний, канал является измеряемым и подготовленным тогда и только тогда, когда соответствующее состояние отделяемый. Фактически, все состояния, возникающие в результате частичного действия канала измерения и подготовки, разделимы, и по этой причине каналы измерения и подготовки также известны как каналы, разрушающие сцепленность.
Чистый канал
Рассмотрим случай чисто квантового канала на картине Гейзенберга. В предположении, что все конечномерно, унитальное CP-отображение между пространствами матриц
От Теорема Чоя о вполне положительных отображениях, должен принять форму
где N ≤ нм. Матрицы Kя называются Операторы Крауса из (после немецкого физика Карл Краус, кто их представил). Минимальное количество операторов Крауса называется рангом Крауса . Канал с рангом Крауса 1 называется чистый. Временная эволюция - один из примеров чистого канала. Эта терминология снова исходит из дуальности состояния канала. Канал чист тогда и только тогда, когда его дуальное состояние является чистым.
Телепортация
В квантовая телепортация, отправитель желает передать произвольное квантовое состояние частицы возможно удаленному получателю. Следовательно, процесс телепортации - это квантовый канал. Само устройство для процесса требует квантового канала для передачи одной частицы запутанного состояния к приемнику. Телепортация происходит путем совместного измерения отправленной частицы и оставшейся запутанной частицы. Результатом этого измерения является классическая информация, которая должна быть отправлена получателю для завершения телепортации. Важно отметить, что классическая информация может быть отправлена после того, как квантовый канал перестанет существовать.
В экспериментальных условиях
Экспериментально простая реализация квантового канала оптоволокно (или свободное пространство в этом отношении) передача одиночного фотоны. Одиночные фотоны могут передаваться на расстояние до 100 км по стандартной волоконной оптике, прежде чем потери станут преобладающими. Время прибытия фотона (запутанность временных интервалов) или поляризация используются в качестве основы для кодирования квантовой информации для таких целей, как квантовая криптография. Канал может передавать не только базовые состояния (например, | 0>, | 1>), но также их суперпозиции (например, | 0> + | 1>). В согласованность состояния сохраняется во время передачи по каналу. Сравните это с передачей электрических импульсов по проводам (классический канал), по которому может быть отправлена только классическая информация (например, нули и единицы).
Емкость канала
CB-норма канала
Прежде чем дать определение пропускной способности канала, предварительное понятие норма полной ограниченности, или cb-norm канала необходимо обсудить. При рассмотрении пропускной способности канала , нам нужно сравнить его с "идеальным каналом" . Например, когда алгебры ввода и вывода идентичны, мы можем выбрать быть картой идентичности. Такое сравнение требует метрика между каналами. Поскольку канал можно рассматривать как линейный оператор, возникает соблазн использовать естественный норма оператора. Другими словами, близость к идеальному каналу можно определить как
Однако норма оператора может возрасти, если мы тензор с картой идентичности на какой-то вспомогательной.
Чтобы сделать оператора Norm еще более нежелательным кандидатом, количество
может неограниченно увеличиваться как Решение состоит в том, чтобы ввести для любой линейной карты между C * -алгебрами cb-норма
Определение пропускной способности канала
Используемая здесь математическая модель канала такая же, как и классический.
Позволять быть каналом в картине Гейзенберга и быть выбранным идеальным каналом. Чтобы сравнение стало возможным, необходимо кодировать и декодировать Φ с помощью соответствующих устройств, т.е. мы рассматриваем композицию
где E кодировщик и D это декодер. В контексте, E и D - унитальные CP-карты с соответствующими доменами. Интересующая величина - это лучший сценарий:
причем нижняя грань берется по всем возможным кодировщикам и декодерам.
Для передачи слов длины п, идеальный канал должен быть использован п раз, поэтому мы рассматриваем тензорную степень
В операция описывает п вводы, подвергающиеся операции независимо и является квантово-механическим аналогом конкатенация. Так же, m вызовов канала соответствует .
Количество
поэтому является мерой способности канала передавать слова длины п честно, будучи призванным м раз.
Это приводит к следующему определению:
- Неотрицательное действительное число р является достижимая скорость относительно если
- Для всех последовательностей где и , у нас есть
Последовательность можно рассматривать как представление сообщения, состоящего, возможно, из бесконечного числа слов. Условие предельного супремума в определении гласит, что в пределе точная передача может быть достигнута путем вызова канала не более чем р умноженное на длину слова. Можно также сказать, что р это количество писем за один вызов канала, которое может быть отправлено без ошибок.
В пропускная способность канала относительно , обозначаемый это верхняя грань всех достижимых ставок.
Из определения совершенно очевидно, что 0 - это достижимая скорость для любого канала.
Важные примеры
Как было сказано ранее, для системы с наблюдаемой алгеброй , идеальный канал по определению тождественная карта . Таким образом, для чисто п размерной квантовой системы, идеальный канал - это тождественное отображение на пространстве п × п матрицы . В порядке небольшого злоупотребления обозначениями этот идеальный квантовый канал также будет обозначаться . Аналогично классическая система с выходной алгеброй будет иметь идеальный канал, обозначенный тем же символом. Теперь мы можем указать некоторые основные возможности канала.
Пропускная способность классического идеального канала относительно квантового идеального канала является
Это эквивалентно теореме о запрете телепортации: невозможно передать квантовую информацию по классическому каналу.
Кроме того, имеют место следующие равенства:
Вышесказанное говорит, например, что идеальный квантовый канал не более эффективен при передаче классической информации, чем идеальный классический канал. Когда п = м, лучшее, что можно достичь, это один бит на кубит.
Здесь уместно отметить, что обе указанные выше границы емкости могут быть нарушены с помощью запутанность. В схема телепортации с помощью запутывания позволяет передавать квантовую информацию по классическому каналу. Сверхплотное кодирование. достигает два бита на кубит. Эти результаты указывают на важную роль запутанности в квантовой коммуникации.
Классические и квантовые пропускные способности каналов
Используя те же обозначения, что и в предыдущем пункте, классическая емкость канала Ψ
то есть это пропускная способность по отношению к идеальному каналу в классической однобитовой системе. .
Аналогичным образом квантовая емкость из Ψ
где системой отсчета теперь является система с одним кубитом .
Верность канала
Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Июнь 2008 г.) |
Еще один показатель того, насколько хорошо квантовый канал сохраняет информацию, называется верность канала, и возникает из верность квантовых состояний.
Бистохастический квантовый канал
Бистохастический квантовый канал - это квантовый канал который единый,[2] т.е. .
Смотрите также
использованная литература
- ^ Видбрук, Кристиан; Пирандола, Стефано; Гарсия-Патрон, Рауль; Серф, Николас Дж .; Ральф, Тимоти С .; Шапиро, Джеффри Х .; Ллойд, Сет (2012). «Гауссова квантовая информация». Обзоры современной физики. 84 (2): 621–669. arXiv:1110.3234. Bibcode:2012RvMP ... 84..621Вт. Дои:10.1103 / RevModPhys.84.621.
- ^ Джон А. Холбрук, Дэвид В. Крибс и Раймонд Лафламм. «Бесшумные подсистемы и структура коммутанта в квантовой коррекции ошибок». Квантовая обработка информации. Том 2, номер 5, стр. 381-419. Октябрь 2003 г.
- М. Кейл и Р. Ф. Вернер, Как исправить небольшие квантовые ошибки, Lecture Notes in Physics Volume 611, Springer, 2002.
- Уайльд, Марк М. (2017), Квантовая теория информации, Издательство Кембриджского университета, arXiv:1106.1445, Bibcode:2011arXiv1106.1445W, Дои:10.1017/9781316809976.001.