WikiDer > Quotientenregel

Das Quotientenregel ist eine Formel für die Derivat eines Quotienten von zwei Funktionen zu entscheiden.

Angenommen, die Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ kann geschrieben werden als ${Anzeigestil f(x)=g(x)/h(x)}$ mit ${Anzeigestil h(x)eq 0}$ und das ${displaystyle g}$ und ${displaystyle h}$ beide differenzierbar sind dann

${displaystyle f'(x)=left({frac {g(x)}{h(x)}}ight)^{prime }={frac {g'(x)h(x)-g(x)h '(x)}{links(h(x)ight)^{2}}}}$

Gebräuchlich ist auch die folgende abgekürzte Schreibweise:

${displaystyle f'=left({frac {g}{h}}ight)'={frac {g'h-gh'}{h^{2}}}}$

Die folgende Gedächtnisstütze wird auch verwendet:

${displaystyle f'={frac {wet-tan}{n^{2}}}}$

Hier steht "nass" für "Nenner mal Ableitung Zähler" und "tan" für "Zähler mal Ableitungsnenner" und "n²" für das Quadrat des Nenners.

Beweise

Der Beweis verwendet die Produktreihe und von der Kettenregel:

${displaystyle f(x)={frac {g(x)}{h(x)}}=g(x) (h(x))^{-1}}$

${displaystyle f'(x)={ ig (}g(x)(h(x))^{-1}{ ig)}'=g'(x)(h(x))^{-1} ( -1)g(x)(h(x))^{-2}h'(x)={frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h (x))^{2}}}}$

Beispiele

Beispiel 1

Erwägen ${Anzeigestil f(x)=(x^{2}-3x)/(x-1)}$. Die Anwendung der Quotientenregel ergibt

${displaystyle f'(x)=left({frac {x^{2}-3x}{x-1}}ight)^{prime }={frac {(x^{2}-3x)^{prime } (x-1)-(x^{2}-3x)(x-1)^{prime }}{(x-1)^{2}}}}$

${displaystyle quad ={frac {(2x-3)(x-1)-(x^{2}-3x)}{(x-1)^{2}}}}$

${displaystyle quad ={frac {x^{2}-2x 3}{(x-1)^{2}}}}$

Beispiel 2

Erwägen ${Anzeigestil g(x)=e^{2x}/sin(x)}$. Die Ableitung wird dann

${displaystyle g'(x)=left({frac {e^{2x}}{sin x}}ight)^{prime }={frac {left(e^{2x}ight)^{prime}sin xe^ {2x}(sin x)^{prime}}{sin ^{2}x}}={frac {e^{2x}(2sin x-cos x)}{sin ^{2}x}}}$