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Kettingregel

Das Kettenregel ist ein Formel zur Bestimmung der Derivat von a zusammengesetzte Funktion. Viele Funktionen bestehen aus einer Reihe elementarer Funktionen, deren Ableitungen bekannt sind.

Wenn die Funktion ${displaystyle f=gcirc h}$ die Zusammensetzung besteht aus den Funktionen ${displaystyle g}$ und ${displaystyle h}$ , So ${Anzeigestil f(x)=g(h(x))}$ , dann ist:

{Anzeigestil f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x)}

,

oder mit Differentialquotienten geschrieben, wobei man auch die Komposition mit uses ${displaystyle f}$ weist darauf hin und sagt das ${displaystyle f}$ durch ${displaystyle h}$ von ${Anzeigestil x}$ hängt davon ab:

{displaystyle {frac {{m {d}}f}{{m {d}}x}}={frac {{m {d}}f}{{m {d}}h}}cdot {frac {{ m {d}}h}{{m {d}}x}}}

Formalisierung

spät ${Displaystil U}$ und ${Anzeigestil V}$ Öffnen Intervalle sein und ${displaystyle g:U oder mathbb {R}}$ und ${displaystyle h:V o mathbb {R}}$ Funktionen mit ${displaystyle h(V)subsetq U}$ . wenn ${displaystyle h}$ ist im Punkt differenzierbar ${Anzeigestil ain V}$ und ${displaystyle g}$ im Punkt differenzierbar ${Anzeigestil h(a)in U}$ , dann ist die Zusammensetzung ${displaystyle gcirc h:V o mathbb {R} }$ differenzierbar in ${Anzeigestil a}$ , und es gilt:

{displaystyle (gcirc h)'(a)=g'left(h(a))ight)cdot h'(a).}

Skizze eines Beweises

{displaystyle (gcirc h)'(x)=}

{displaystyle =lim _{x o a}{frac {(gcirc h)(x)-(gcirc h)(a)}{x-a}}}

{displaystyle =lim _{x o a}{frac {g(h(x))-g(h(a))}{x-a}}}

{displaystyle =lim _{xoa}links[{frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}cdot {frac {h(x)- h(a)}{xa}}Nacht]}

{displaystyle =lim _{xoa}{frac {g(h(x))-g(h(a))}{h(x)-h(a)}}cdot lim_{xoa}{frac {h( x)-h(a)}{xa}}}

{displaystyle =g'(h(x))cdot h'(x)}

Dieser Nachweis ist nicht immer gültig. Ein Beispiel hierfür ist die Konstantenfunktion. Dann gilt das

{Anzeigestil h(x)=h(a)}

so dass im Beweis durch 0 geteilt würde.

Anwendung

Beispiele

Die Funktion

{Anzeigestil f(x)=sin(x^{2})}

ist die Zusammensetzung der Funktionen

{Anzeigestil g(y)=sin(y)}

und

{Anzeigestil h(x)=x^{2}}

Die Ableitung von ${displaystyle f}$ kann durch die Kettenregel bestimmt werden:

{Anzeigestil f'(x)=g'(h(x))cdot h'(x)=cos(x^{2})cdot 2x}

Die Kettenregel ermöglicht es auch, die Ableitung von Funktionen zu bestimmen, die aus mehr als zwei Funktionen bestehen. Betrachten Sie die Funktion:

{displaystyle f(x)=sin left(e^{cos(2x)}ight)}

Diese Funktion ist eine "Kette"

{displaystyle f=dcirc ccirc bcirc a}

der Funktionen:

{Anzeigestil a(x)=2x}

{Anzeigestil b(y)=cos(y)}

{Anzeigestil c(z)=e^{z}}

{Anzeigestil d(t)=sin(t)}

Die Ableitungen dieser Funktionen sind:

{Anzeigestil a'(x)=2}

{displaystyle b'(a)=-sin(a)}

{displaystyle c'(b)=e^{b}}

{Displaystil d'(c)=cos(c)}

Die Ableitung der ursprünglichen Funktion ist das Produkt aller separaten Ableitungen der Links, kurz geschrieben als:

{Anzeigestil f'(x)=d'(c)cdot c'(b)cdot b'(a)cdot a'(x)}

So:

{displaystyle f'(x)=cos(c(b(a(x))))cdot e^{b(a(x))}cdot (-sin(a(x)))cdot 2}

und nach Fertigstellung

{displaystyle f'(x)=-2cdot sin(2x)cdot e^{cos(2x)}cdot cos(e^{cos(2x)})}

Umkehrfunktion

Mit der Kettenregel lässt sich eine Beziehung zwischen den Ableitungen einer Funktion herstellen ${displaystyle f}$ und seine Umkehrung ${displaystyle f^{-1}}$ .

Schließlich gilt: ${Anzeigestil f(f^{-1})(x)=x}$ , so dass nach der Kettenregel:

{displaystyle (fcirc f^{-1})'(x)=f'(f^{-1}(x))(f^{-1})'(x)=1}

,

so dass

{displaystyle (f^{-1})'(x)={frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}}

.

Anwendung

Die Ableitung von Arkussinus:

{displaystyle arcsin '(x)={frac {1}{sin '(arcsin(x))}}={frac {1}{cos(arcsin(x))}}={frac {1}{sqrt {1 -sin ^{2}(arcsin(x))}}}={frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}

gegenseitig

Die Kettenregel kann auch verwendet werden, um die Ableitung des Kehrwertes zu bestimmen ${Anzeigestil g(x)=1/f(x)}$ einer Funktion ${Anzeigestil f(x)}$ . Schließlich gilt: ${Anzeigestil g(x)=((hcirc f)(x)}$ , mit ${Anzeigestil h(y)=1/y}$ , so dass nach der Kettenregel:

{displaystyle {frac {m {d}}{{m {d}}x}}left({frac {1}{f(x)}}ight)=g'(x)=h'(f(x) )cdot f'(x)=-{frac {1}{(f(x))^{2}}}cdot f'(x)=-{frac {f'(x)}{(f(x) )^{2}}}}

Mehr als eine Variable

Annehmen ${displaystyle f=gcirc h}$ ist die Zusammensetzung der vektorwertigen Funktionen ${displaystyle g}$ und ${displaystyle h}$ in mehr als einer Variablen. Beispielsweise

{displaystyle h:Dsubset mathbb {R} ^{m} o Essubset mathbb {R} ^{n}, g:E o mathbb {R} ^{p}, f=gcirc h:D o mathbb {R} ^{ p}}

Dann hat das Konzept Unterscheidbarkeit noch Sinn machen, und wenn die Funktionen ${displaystyle g}$ und ${displaystyle h}$ an den richtigen Stellen differenzierbar sind, sind ihre Ableitungen an diesen Stellen lineare Abbildungen:

{displaystyle h'(x):mathbb {R} ^{m} oder mathbb {R} ^{n}, g'(h(x)):mathbb {R} ^{n} oder mathbb {R} ^{ p}}

Das mehrdimensionale Kettenregel sagt das in diesem Fall ${displaystyle f}$ ist auch differenzierbar in ${Anzeigestil x}$ , und die sind abgeleitet, da Verbindung lineare Abbildung ist von den Ableitungen von ${displaystyle h}$ und ${displaystyle g}$

{Anzeigestil f'(x)=g'(h(x))circ h'(x)}

Stellt man sich die beteiligten linearen Abbildungen als rechteckige Matrizen (bestehend aus allen möglichen partielle Ableitungen), dann ist die Matrix von ${Anzeigestil f'(x)}$ gleich dem Produkt der Matrizen von ${Anzeigestil g'(h(x))}$ und ${Anzeigestil h'(x)}$ . Ausdrücklich: