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Sommatie

Für das Rechtsverständnis Summe, sehen Erinnerung

Summe ist der summieren einer Gruppe Zahlen, das Ergebnis ist die Summe oder die Summe. Eine unendliche Summe wird oft als a Serie.

Notation

In der Mathematik gibt es eine kompakte und effektive Möglichkeit, eine Summation anzugeben, in der Mathematik geschieht dies mit gedaan ${Anzeigestil Sigma }$ , das Großbuchstabe sigma von dem griechisches Alphabet, oft in einem größeren Format, wie z ${Summe des Anzeigestils}$ .

Syntax

Eine Summe sieht so aus:

{Displaystyle-Summe _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m} x_{m 1} x_{m 2} ldots x_{n-2} x_{n-1} x_{n}}

Die Nummer ${Anzeigestil i}$ - ein sogenanntes Dummy-Variable - bezeichnet die Index Auf. Die Nummer ${displaystyle m}$ ist der untere Grenze der Summation, und die Zahl ${displaystyle n}$ das Obergrenze der Summe.

Die Erwähnung ${displaystyle i=m}$ gibt an, dass die Summation mit dem beginnt Begriff mit Index die Zahl ${displaystyle m}$ . Jeder nachfolgende Term hat einen um 1 höheren Index als der vorherige, und die Summation endet mit dem Term mit Index ${displaystyle n}$ .

So ist mit ${displaystyle a_{i}=i^{2}}$ :

{Anzeigestil Summe _{i=2}^{4}a_{i}=Summe _{i=2}^{4}i^{2}=2^{2} 3^{2} 4^{2} =4 9 16=29}

Die Tatsache, dass der Index eine Dummy-Variable ist, bedeutet, dass für den Index ein anderer Buchstabe, zum Beispiel der Buchstabe ${displaystyle k}$ , kann verwendet werden:

{Anzeigestil Summe _{i=m}^{n}x_{i}=Summe _{k=m}^{n}x_{k}}

Mit ${displaystyle k}$ als Index wird die obige Summation zu:

{Anzeigestil Summe _{k=2}^{4}a_{k}=Summe _{k=2}^{4}k^{2}=2^{2} 3^{2} 4^{2} =4 9 16=29}

Nicht jeder Begriff muss den Index enthalten. Beispielsweise:

{Anzeigestilsumme _{n=4}^{8}1=1 1 1 1 1=5}

Formale Definition

Die Summation einer endlichen Anzahl von Termen wird formal rekursiv definiert durch:

{Anzeigestilsumme _{i=m}^{m-1}x_{i}=0}

und für ${displaystyle ngeq m}$ :

{Anzeigestil Summe _{i=m}^{n}x_{i}=x_{n} Summe _{i=m}^{n-1}x_{i}}

Dies definiert auch die Summe der Nullterme, dies ist Null, und die Summe, wenn die Anzahl der Terme eins ist, ist gleich dem Term. Auch in diesen Fällen ist die Anzahl der Terme ${displaystyle x_{i}}$ im ${Anzeigestilsumme _{i=m}^{n}x_{i}}$ gleicht ${Anzeigestil n-m 1}$ . Das Definieren dieser trivialen Summationen ist oft in Fällen nützlich, in denen die untere und/oder die obere Grenze der Summation von einer Variablen abhängt.

Einstein-Summenkonvention

Laut der Einstein-Summenkonvention, weit verbreitet in der Theorie Physik und vor allem für generelle Relativität Summationszeichen werden weggelassen und ein Index wird automatisch summiert, wenn er in einem Ausdruck enthalten ist beide Kovariante wenn Kontravariante verhindert.

In Programmiersprachen

Die Summation kann auch verwendet werden in Programmiersprachen, Ein paar Beispiele:
Im Python:

Summe(X[ich:nein1])

Und das in fortran (oder matlab):

Summe(X(ich:nein))

Im C/C /C#/Java man kann diesen Code verwenden, vorausgesetzt n, m und x sind int-Typen. Das x eins Array ist. Und das ${Anzeigestil m<=n}$ :

intich;intSumme=0;zum(ich=ich;ich<=nein;ich)Summe =X[ich];

endliche Summen

Für verschiedene endliche Summen lässt sich das Ergebnis in einer einfachen Formel zusammenfassen. Beispielsweise

{Displaystyle-Summe _{i=1}^{n}i={ frac {1}{2}}n(n 1)}

{Displaystyle-Summe _{i=1}^{n}i^{2}={ frac {1}{6}}n(n 1)(2n 1)}

{Displaystyle-Summe _{i=1}^{n}i^{3}={ frac {1}{4}}n^{2}(n 1)^{2}}

Eine häufig verwendete Formel ist

{Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}a^{k}={frac {a^{n 1}-a}{a-1}}}

, vor dem

{displaystyle aeq 1}

Unendliche Summen

Eine unendliche Summe heißt auch a Serie erwähnt. Das mögliche Ergebnis ist die Grenze der Teilsummen.

Aus der obigen Formel für ${Anzeigestilsumme _{k=1}^{n}a^{k}}$ folgt, wenn wir es nicht tun ${displaystyle n}$ aber unendlich viele Begriffe summieren die Formel für die geometrische Reihe ist wie folgt: