WikiDer > Abwechselnde Reihenfolge

In dem MathematikerAnalyse ist ein abwechselnde Reihenfolge ein Serie deren Begriffe abwechselnd positiv und negativ sind. Ein Beispiel ist die Serie:

${Displaystyle-Summe _{n=1}^{infty}(-1)^{n}=-1 1-1 1cdots }$

Als alternierende Folge absolut konvergiert, konvergiert auch die alternierende Reihe selbst. Dies bedeutet jedoch nicht, dass jede konvergierende alternierende Reihe absolut konvergieren muss. Ein Beispiel, bei dem dies nicht der Fall ist, ist die harmonische Reihe.

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n}}=1 { frac {1}{2}} { frac {1}{3}} { frac {1}{4} } cdot }$

Diese Reihe konvergiert nicht, aber die alternierende Reihe konvergiert gegen ln 2.

${displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n 1}}=1-{ frac {1}{2}} { frac {1}{3} }-{ frac {1}{4}}cdots =ln 2}$

Ein allgemeineres Kriterium für die Konvergenz einer alternierenden Reihe ist das Kriterium von Leibniz. Dies besagt, dass, wenn die Warteschlange${displaystyle a_{n}}$ monoton abfällt und gegen Null konvergiert, die alternierende Reihe

${Anzeigestilsumme _{n=0}^{infty}(-1)^{n},a_{n}}$.

auch konvergiert.