WikiDer > Relativistischer Impuls

Das relativistischer Impuls ist die größe von der Relativitätstheorie die an die Stelle der Impuls von dem klassische Mechanik. Der Impuls eines Objekts hängt von der Masse und der Geschwindigkeit. Angelegenheiten Impulserhaltung, das heißt, der Impuls bleibt erhalten, wenn zwei (oder mehr) Objekte Kraft aufeinander ausüben. Innerhalb der spezielle Relativitätstheorie Es ist notwendig, neue Transformationen von Ort, Zeit und damit Geschwindigkeit einzuführen, um sicherzustellen, dass diese Relativitätsprinzip erfüllen. Bei diesen relativistischen Transformationen bleibt der Impuls der klassischen Mechanik nicht mehr erhalten. Dies macht es notwendig, eine neue Definition zu entwickeln.

Der relativistische Impuls spielt dabei eine entscheidende Rolle spezielle Relativitätstheorie zum Beschreiben Dynamik, also die Bewegung von Objekten durch Kräfte. Mit dem relativistischen Impuls wird die relativistische Masse und der relativistische Energie definiert werden, durch die man zum . gelangt Masse-Energie-Beziehung: die Berühmten ${displaystyle E=mc^{2}}$. Es ist auch möglich die relativistische Kraft definieren.

Notwendigkeit und Definition

In dem klassische Mechanik Der Impuls eines bewegten Objekts ist definiert als das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit:

${displaystyle mathbf {} p_{classic}(v)=mv}$.

Die aktuelle Einheit ist 'kg m/s'.

Wenn zwei Objekte kollidieren oder anderweitig eine Kraft aufeinander ausüben, ändert sich der Gesamtimpuls aufgrund des Gesetzes von . nicht Impulserhaltung. Wenn eine äußere Kraft auf ein Objekt ausgeübt wird, ändert sich der Impuls. Die Impulszunahme pro Sekunde ist gleich der Kraft. Innerhalb der spezielle Relativitätstheorie erfüllt diese Definition jedoch nicht. Dies zeigt sich schon daran, dass der Impuls endlos zunehmen kann, wenn man lange genug Kraft ausübt. Dies legt nahe, dass die Geschwindigkeit auch endlos zunehmen kann, während eine Geschwindigkeit innerhalb der Relativitätstheorie niemals die Lichtgeschwindigkeit überschreiten kann. Es gibt andere Einwände, aber sie zeigen zumindest die Notwendigkeit, den Impuls neu zu definieren.

Innerhalb der spezielle Relativitätstheorie benutzt es die? Lorentz-Transformation möglich, den Ort, die Zeit und die Geschwindigkeit eines Objekts in verschiedenen Inertialrahmen. Dies betrifft die relativistische Kinematik. Damit gehen wir weiter zum relativistische Dynamik. Für die Definition des Impulses nehmen wir die Masse 'm' (in kg) an, die das Objekt in Ruhe oder bei Geschwindigkeiten weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit hat. Bewegt sich das Objekt mit einer Geschwindigkeit 'v' (in m/s), dann ist der relativistische Impuls definiert als:

${displaystyle p(v)={frac {mv}{sqrt {1-{frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=gamma (v)mv}$.

Die Einheit dieses Moments ist 'kg m/s', genau wie in der klassischen Mechanik. ${Displaystil-Gamma (v)=1/{sqrt {1-(v/c)^{2}}}}$ das Lorentzfaktor.

Wenn die Geschwindigkeit viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ("c") ist, kann der Nenner aus diesem Bruch vernachlässigt werden und der Impuls ist gleich dem Produkt der Masse (m₀) und Geschwindigkeit.

Bei größeren Geschwindigkeiten wird der Nenner (viel) kleiner als 1, so dass der relativistische Impuls größer ist als der klassische. Nähert sich die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, wird der Impuls unendlich groß. Dies drückt das Prinzip der Relativitätstheorie dass die Lichtgeschwindigkeit nicht erreicht werden kann. Der Impuls gibt dies tatsächlich besser an als die Geschwindigkeit selbst. Denn wenn sich ein Objekt der Lichtgeschwindigkeit nähert, kann es immer noch durch Krafteinwirkung beschleunigt werden. Die Kraft bewirkt eine stetige Zunahme der Geschwindigkeit, aber bei gleicher Zunahme des Impulses nimmt die Geschwindigkeit immer weniger zu. Um die Lichtgeschwindigkeit zu erreichen, braucht es unendlich viel Zeit oder eine unendlich große Kraft.

Ergebnis: Relativistische Dynamik

Sobald der relativistische Impuls definiert ist, ist es möglich, die Bewegung von Objekten durch Kräfte zu beschreiben. Dafür sind andere Mengen definiert.^[1]. Für den Anfang gibt es die relativistische Masse. In Anlehnung an die klassischen Definitionen des Impulses als Produkt aus Masse und Geschwindigkeit definiert man a relativistische Masse${Anzeigestil m_{R}(v)=mgamma(v)}$. Diese Masse nimmt mit der Geschwindigkeit zu und wird unendlich, wenn die Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Dies gibt einen einfachen Einblick, warum es so schwierig ist, ein Teilchen oder Objekt zu beschleunigen, wenn es sich bereits der Lichtgeschwindigkeit nähert. Zur dynamischen Bewegungsbeschreibung im spezielle Relativitätstheorie diese relativistische Masse ist nicht wirklich notwendig. Einige Wissenschaftler ziehen es vor, nur Ruhemasse zu verwenden.

Eine zweite Größe ist Macht. Wie in der klassischen Mechanik wird dies auch in der Relativitätstheorie als Impulsänderung über die Zeit definiert: ${Anzeigestil F(v)=dp(v)/dt}$. Eine Kraft gibt es natürlich nur, wenn sich die Geschwindigkeit und damit der Impuls mit der Zeit ändert.

Eine dritte sehr wichtige Größe ist die Energie. Dies folgt wiederum aus der Kraftdefinition, denn die Energieänderung eines Objekts ist gleich der angelegten Arbeit, also das Produkt aus Kraft und zurückgelegtem Weg. Daraus folgt, dass die Energie eines sich bewegenden Objekts mit zunehmender Geschwindigkeit mit . zunimmt ${Anzeigestil E=(mgamma (v)-m)c^{2}=Delta mc^{2}}$. Dies veranschaulicht die Masse-Energie-Beziehung. Die Untersuchung inelastischer Stöße zeigt, dass auch andere Energieformen zu Massenänderungen führen, woraus sich das bekannte ${Displaystil E=mc^{2}gamma (v)=m_{R}c^{2}}$.

Transformation von Impuls (und Energie)

Wenn die Ruhemasse (m) und die Geschwindigkeit (v) eines Objekts bekannt sind, kann der Impuls berechnet werden. Ein sich bewegender Beobachter beobachtet das Objekt mit einer anderen Geschwindigkeit (v') und damit auch mit einem anderen Impuls. Es ist möglich, die Transformation des Impulses direkt zu studieren. Für einen Beobachter, der sich mit der Geschwindigkeit 'u' in die gleiche Richtung wie das Objekt bewegt, mit Transformation der relativistische Geschwindigkeit: ${displaystyle v'=(v-u)/(1-uv/c^{2})}$. Infolgedessen transformiert sich auch die Lorentzfaktor:

${displaystyle gamma (v')={frac {1}{sqrt {1-({frac {v/cu/c}{1-uv/c^{2}}})^{2}}}}={ frac {1-uv/c^{2}}{sqrt {(1-(v/c)^{2})(1-(u/c)^{2})}}}=gamma (v)gamma (u)(1-uv/c^{2})}$

Bei dieser Transformation findet man für den Impuls:

${displaystyle mathbf {} p(v')=gamma (v')mv'=gamma (u)gamma (v)m(v-u)=gamma (u)(p(v)-gamma (v)mu)}$

Für den Beobachter wird der Impuls also um die Lorentzfaktor (${Anzeigestil-Gamma (u)}$). Hinzu kommt ein zusätzlicher Beitrag, der von der Geschwindigkeit des Beobachters abhängt. Letzteres geschieht auch mit dem Impuls im klassische Mechanik.

Es lohnt sich, auch die Energie umzuwandeln ${displaystyle mathbf {} E=gamma (v)mc^{2}}$ denn es geht fast genauso:

${displaystyle mathbf {} E(v')=gamma (v')mc^{2}=gamma (u)gamma (v)m(1-uv/c^{2})c^{2}=gamma ( u)(E(v)-p(v)mu)}$

Wenn 'u' und 'v' nicht die gleiche Richtung haben, müssen die Impulskomponenten parallel und senkrecht zu 'u' unterschieden werden. Es stellt sich heraus, dass sich die parallele Komponente wie oben transformiert, während sich die senkrechte Komponente aufgrund der Transformation nicht ändert^[1]. Damit gelangt man zur allgemeinen Transformation:

${displaystyle mathbf {} p_{||}'=gamma (u)(p_{||}-gamma (v)mu)=gamma (u)(p_{||}-Eu/c^{2})}$

${displaystyle mathbf {} p_{perp }'=p_{perp }}$

${displaystyle mathbf {} E'=gamma (u)(E-gamma (v)außer)=gamma (u)(E-p_{||}u)}$

Beachten Sie, dass diese Transformation der Lorentz-Transformation für Raum und Zeit. Impuls und Energie sind innerhalb der Relativitätstheorie als Raum und Zeit aufeinander bezogen.

Impulserhaltung (einfacher Fall)

Die Definition des relativistischen Impulses muss so sein, dass es Impulserhaltung gilt in jeder Hinsicht Inertialrahmen. Betrachten wir dies zunächst für einen einfachen Fall eines symmetrischen zentralen elastischen Stoßes zwischen den Teilchen 'A' und 'B'. Dies lässt sich in einer Dimension beschreiben. Teilchen 'A' hat die Geschwindigkeit 'v' vor der Kollision und die Geschwindigkeit '-v' nach der Kollision. Teilchen 'B' hat vor der Kollision die Geschwindigkeit '-w'. Aus Symmetrie ergibt sich dann, dass dieses Teilchen nach der Kollision die Geschwindigkeit 'w' haben muss. Untersuchen Sie nun den Impuls in einem System S', das sich mit der Geschwindigkeit 'u' in die gleiche Richtung wie 'A' und 'B' bewegt.

Bei dieser Kollision bleibt der Impuls erhalten, sofern das Verhältnis zwischen m_ein und M_B ist richtig. Wegen der Symmetrie ist das Vorzeichen des Impulses vor und nach dem Stoß umgekehrt, die Summe muss also gleich Null sein:

${displaystyle mathbf {} p_{A0} p_{B0}=gamma (v)m_{A}v-gamma (w)m_{B}w=0}$

Daraus folgt das gewünschte Massenverhältnis. Betrachten wir nun den Impuls in einem System S', das sich mit der Geschwindigkeit 'u' in die gleiche Richtung wie 'A' und 'B' bewegt. In diesem System finden wir mit dem Geschwindigkeitstransformation die Geschwindigkeiten und dann die Impulse vor der Kollision:

${displaystyle mathbf {} p'_{A0}=gamma ((vu)/(1-uv/c^{2}))m_{A}((vu)/(1-uv/c^{2}) =gamma (u)gamma (v)m_{A}(vu)}$

${displaystyle mathbf {} p'_{B0}=gamma ((-wu)/(1 uv/c^{2}))m_{B}((-wu)/(1 dein/c^{2}) =gamma (u)gamma (w)m_{B}(-wu)}$

Wie im vorherigen Abschnitt ist die Transformation der Lorentzfaktor.

Diese Ausdrücke ähneln denen für das System S, jedoch mit zusätzlichen Begriffen.

Für den Gesamtimpuls finden wir:

${displaystyle mathbf {} p'_{A0} p'_{B0}=gamma (u)gamma (v)m_{A}(vu) gamma (u)gamma (w)m_{B}(-wu)= -gamma (u)(gamma (v)m_{A} gamma (w)m_{B})u}$

Analog finden wir nach der Kollision:

${displaystyle mathbf {} p'_{A1}=gamma (u)gamma (v)m_{A}(-v-u)}$

${displaystyle mathbf {} p'_{B1}=gamma (u)gamma (w)m_{B}(w-u)}$

${displaystyle mathbf {} p'_{A1} p'_{B1}=-gamma (u)(gamma (v)m_{A} gamma (w)m_{B})u}$

Der Gesamtimpuls ist in S' nicht mehr Null, sondern hat sich vor und nach der Kollision in gleicher Weise verändert. Daher bleibt auch in diesem System (und damit in allen vergleichbaren Systemen) der Impuls erhalten.

Dieser einfache Fall erforderte einiges an Mathematik. Vieles davon war analog zu dem, was bei der Transformation von Impuls (und Energie) geschah.

Verwenden Sie es für den allgemeinen Fall besser.

Impuls- und Energieerhaltung (allgemeiner Fall)

Mit diesen Transformationen ist es viel einfacher zu zeigen, dass Impulserhaltung (und Energie) ist invariant zwischen Inertialrahmen. Stellen Sie sich dazu zwei Teilchen 'A' und 'B' vor, die miteinander kollidieren oder anderweitig eine Kraft aufeinander ausüben. Dies wird in zwei Systemen beobachtet: S und S'. Unter Verwendung der Transformationsformeln für Impuls und Energie wird der Gesamtimpuls und die Gesamtenergie vor der Kollision geschrieben als:

${displaystyle mathbf {} p'_{A||} p'_{B||}=gamma (u)(p_{A||}-E_{A}u/c^{2} p_{B|| })-E_{B}u/c^{2})=gamma (u)((p_{A||} p_{B||})-(E_{A} E_{B})u/c^ {2})}$

${displaystyle mathbf {} p'_{Aperp } p'_{Bperp }=p_{Aperp } p_{Bperp }}$

${displaystyle mathbf {} E'_{A} E'_{B}=gamma (u)(E_{A}-p_{A||} E_{B}-p_{B||}))=gamma ( u)((E'_{A} E'_{B})-(p_{A||} p_{B||}))}$

Während nach der Kollision:

${displaystyle mathbf {} p'_{A||1} p'_{B||1}=gamma (u)((p_{A||1} p_{B||1})-(E_{A1 } E_{B1})u/c^{2})}$

${displaystyle mathbf {} p'_{Aperp 1} p'_{Bperp 1}=p_{Aperp 1} p_{Bperp 1}}$

${displaystyle mathbf {} E'_{A1} E'_{B1}=gamma (u)((E_{A1} E_{B1})-(p_{A||1} p_{B||1}) )}$

wenn Impuls (und Energie) im System S erhalten ist:

${displaystyle mathbf {} p_{A||} p_{B||}=p_{A||1} p_{B||1}}$   ,  ${displaystyle mathbf {} p_{Aperp } p_{Bperp }=p_{Aperp 1} p_{Bperp 1}}$   ,  ${displaystyle mathbf {} E_{A} E_{B}=E_{A1} E_{B1}}$,

findet man leicht mit den obigen Transformationen:

${displaystyle mathbf {} p'_{A||} p'_{B||}=p'_{A||1} p'_{B||1}}$   ,  ${displaystyle mathbf {} p'_{Aperp } p'_{Bperp }=p'_{Aperp 1} p'_{Bperp 1}}$   ,  ${displaystyle mathbf {} E'_{A} E'_{B}=E'_{A1} E'_{B1}}$.

Das bedeutet, dass Impuls (und Energie) auch in S' erhalten bleiben. Seit der Umwandlung von ${displaystyle p_{||}}$ hängt von der Energie ab und umgekehrt, ist es nicht möglich, Impuls- und Energieerhaltung getrennt nachzuweisen. Dies gilt auch im klassische Mechanik. In symmetrischen Fällen kann die Impulserhaltung separat untersucht werden, da die Symmetrie dann die Energieerhaltung gewährleistet. Für den allgemeinen Fall ist der obige Ansatz jedoch unvermeidlich.

Vierpuls

Da Energie und Impuls verwandt sind, werden sie in einem komplexeren Ansatz mit Met . beschrieben vier Vektoren:

${displaystyle links[E,cpight]}$

wahr ${Anzeigestil E}$ ist die Energie und der relativistische Impuls ${displaystyle p}$ (dreipulsig):

${displaystyle E=gamma mc^{2}}$   ,  ${displaystyle p=gamma pl}$

Es gibt auch eine Invarianz.

Die Länge der Vierpuls eines Teilchens ist wie folgt definiert:

${displaystyle [E,cp]^{2}=c^{2}pcdot p-E^{2}}$

Diese Länge ist invariant (bleibt konstant). Das heißt, alle Beobachter finden für ein bestimmtes Teilchen denselben Wert. Dies folgt aus den Transformationsformeln für 'p' und 'E'.

Umleitung

Innerhalb der . sein spezielle Relativitätstheorie mit Kraft und Bewegung rechnen zu können relativistische Dynamik), genügt es, dass ein relativistischer Impuls so definiert ist, dass Impulserhaltung ist in allen gültig Inertialrahmen.

Es bleibt jedoch die Frage, ob eine andere Definition möglich ist. Man kann von allen möglichen Funktionen 'p(v)' ausgehen und untersuchen, welche zufriedenstellend sind. Kürzlich wurde dies von Hu . kurz und elegant beschrieben^[2].

Im allgemeinsten Fall sind 'v' und 'p(v)' dreidimensionale Vektoren. Es ist jedoch leicht zu erkennen, dass p(v) immer die gleiche Richtung wie v hat, während sein Betrag nur vom Betrag von v abhängt. Dies liegt daran, dass sich die Funktion nicht durch räumliche Drehungen ändern darf, z.B. um 'v' selbst :

${displaystyle mathbf {} p(v)=h(|v|)v}$

Es ist nun wichtig, die Funktion 'h(|v|)' zu bestimmen, damit die resultierende Funktion p(v) dem Erhaltungssatz genügt. Dies ist bei eindimensionalen Kollisionen nicht möglich, aber möglich, wenn zwei Dimensionen angenommen werden.

Wir nehmen einen symmetrischen elastischen Stoß zwischen zwei identischen Teilchen ('A' und 'B') an. Teilchen 'A' hat eine Geschwindigkeit 'v' in (horizontaler) x-Richtung vor und nach der Kollision, während sich die Geschwindigkeit in (vertikaler) y-Richtung von 'w' auf '-w' ändert. Teilchen 'B' hat vor und nach der Kollision die horizontale Geschwindigkeit '-v', während sich die vertikale Geschwindigkeit von '-w' auf 'w' ändert. Dies ist eine vollständig symmetrische Darstellung eines nicht zentralen elastischen Stoßes. Von rechts Trägheitsrahmen Jeder elastische Stoß kann auf diese Weise beschrieben werden, aber das ist für die Herleitung nicht wichtig.

Wichtig ist, dass aufgrund der Symmetrie leicht zu erkennen ist, dass der Impuls in diesem System erhalten bleibt. Schließlich ist die Geschwindigkeit der beiden Teilchen gleich und ändert sich durch die Kollision nicht. Nur die vertikale Geschwindigkeitskomponente kippt. Dadurch ist der Gesamtimpuls vor und nach der Kollision sogar gleich Null.

Wir führen nun einen Beobachter mit der Horizontalgeschwindigkeit 'v' ein. Für diesen Beobachter hat Teilchen 'A' also eine horizontale Geschwindigkeit von Null. Die horizontale Geschwindigkeit des Teilchens 'B' folgt mit relativistisch Geschwindigkeitstransformation und ist ${displaystyle -2v/(1v^{2})}$.

Mit der gleichen Transformation findet man für die Vertikalgeschwindigkeiten (vor der Kollision):

Für Teilchen A: ${displaystyle {frac {w}{sqrt {1-v^{2}}}}}$.

Für Teilchen B: ${displaystyle -{frac {w{sqrt {1-v^{2}}}}{1v^{2}}}}$.

Nach der Kollision kehrt sich nur die Richtung der beiden vertikalen Geschwindigkeiten um.

Aber anders als im klassischen Fall ist die vertikale Geschwindigkeit der beiden Teilchen für diesen Beobachter nicht gleich.

Für den Impuls folgt auch für dieses System symmetrisch, dass die horizontale Komponente erhalten bleibt. Immerhin ist die Größe der Geschwindigkeit jedes der Teilchen nach der Kollision unverändert, die horizontale Geschwindigkeit von 'A' ist null und die von 'B' ändert sich nicht. Für die vertikale Komponente des Impulses gilt (vor der Kollision):

Für Teilchen A: ${displaystyle hleft({frac {w}{sqrt {1-v^{2}}}}ight){frac {w}{sqrt {1-v^{2}}}}}$

Für Partikel B:-${displaystyle hleft({sqrt {({frac {2v}{1 v^{2}}})^{2} ({frac {w{sqrt {1-v^{2}}}}{1 v^{ 2}}})^{2})}}ight){frac {w{sqrt {1-v^{2}}}}{1 v^{2}}}}$

Da der Vertikalimpuls der beiden Teilchen erst nach dem Stoß die Richtung ändert, müssen die beiden Impulse gleich groß sein. Daraus lässt sich die Funktion h() bestimmen. Dies ist jedoch unter der Annahme, dass w viel kleiner als v ist, viel einfacher.^[2]

Teilchen 'A' ist nun für den Beobachter nicht-relativistisch, so dass h() für dieses Teilchen gleich der (Ruhe-)Masse 'm' ist. Für Teilchen 'B' kann der Beitrag von w in h() weggelassen werden, so dass:

${displaystyle m{frac {w}{sqrt {1-v^{2}}}}=hleft(|{frac {2v}{1 v^{2}}}|ight){frac {w{sqrt {1 -v^{2}}}}{1 v^{2}}}}$

und somit:

${displaystyle hleft(|{frac {2v}{1 v^{2}}}|ight)=m{frac {1-v^{2}}{1 v^{2}}}=m{sqrt {1 -({frac {2v}{1 v^{2}}})^{2}}}=mgamma ({frac {2v}{1 v^{2}}})}$.

Dies zeigt, dass ${displaystyle mathbf {} h(|v|)=gamma (v)m}$, das Produkt von Restmenge und Lorentzfaktor. Obwohl dies noch nicht zeigt, dass die übliche Definition des Impulses das Gesetz von in allen Fällen erfüllt, Impulserhaltung. Das wurde oben schon gemacht. Es hat sich jedoch gezeigt, dass dies die einzig mögliche Definition für den relativistischen Impuls ist.