WikiDer > Geschwindigkeitstransformation

Relativistische Geschwindigkeit ist ein Konzept, das mit der spezielle Relativitätstheorie und zeigt an, wie die Geschwindigkeit einer Bewegung von Beobachtern in verschiedenen Inertialrahmen. Berechnet wird dies mit Lorentz-Transformation. Das Konzept der relativistischen Geschwindigkeit ist notwendig, um Widersprüche zwischen Elektromagnetismus und klassische Mechanik aus der Welt zu helfen.

Galileo-Transformation

In dem klassische Mechanik tut das? Galileo-Transformation. Geschwindigkeiten lassen sich leicht voneinander subtrahieren. Die Geschwindigkeiten sind gekennzeichnet durch Vektoren. Sie haben Größe und Richtung. Wenn ein Objekt eine Geschwindigkeit hat ${displaystyle {vec {v}}}$ und die Person, die das Objekt wahrnimmt, bewegt sich mit einer Geschwindigkeit ${displaystyle {vec {u}}}$, dann hat das Objekt eine Geschwindigkeit in Bezug auf den Beobachter:

${displaystyle {vec {v'}}={vec {v}}-{vec {u}}}$

Dadurch kann für den Beobachter nicht nur der Betrag, sondern auch die Richtung der Geschwindigkeit unterschiedlich sein.

Relativistische Geschwindigkeitstransformationtrans

Innerhalb der spezielle Relativitätstheorie obiger Ansatz ist nicht möglich. Angenommen, der Beobachter nimmt einen Lichtstrahl wahr. Der Lichtstrahl bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit 'c'. Nach der klassischen Transformation hätte der Lichtstrahl für einen sich bewegenden Beobachter eine langsamere Geschwindigkeit (wenn sich der Beobachter in die gleiche Richtung wie der Lichtstrahl bewegt) oder sogar eine höhere Geschwindigkeit (wenn sich der Beobachter in die andere Richtung bewegt). Dies ist nicht möglich, da ein Lichtstrahl nach der speziellen Relativitätstheorie für jeden Beobachter die gleiche Geschwindigkeit hat, solange er sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Indem sie sich konsequent daran halten, Lorentz-Transformation abgelenkt.

Wenn sich ein Objekt in einem System S mit Geschwindigkeit bewegt ${displaystyle {vec {v}}}$ mit Komponenten ${displaystyle v_{x}}$, ${displaystyle v_{y}}$ und ${displaystyle v_{z}}$ ein Beobachter bewegt sich mit der Geschwindigkeit 'u' in positiver Richtung entlang der x-Achse. Dann sind die Geschwindigkeiten des Objekts im Beobachtersystem S':

${displaystyle v_{x}'={frac {v_{x}-u}{1-uv_{x}/c^{2}}}}$

${displaystyle v_{y}'={frac {1}{gamma (u)}}{frac {v_{y}}{1-uv_{x}/c^{2}}}={sqrt {1-( u/c)^{2}}}{frac {v_{y}}{1-uv_{x}/c^{2}}}}$

${displaystyle v_{z}'={frac {1}{gamma (u)}}{frac {v_{z}}{1-uv_{x}/c^{2}}}={sqrt {1-( u/c)^{2}}}{frac {v_{z}}{1-uv_{x}/c^{2}}}}$

Hier ist ${displaystyle gamma (u)={frac {1}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}}$ das Lorentzfaktor.

Vereinfachte Herleitung: Parallele Geschwindigkeiten

Die Transformation lässt sich am einfachsten beschreiben, wenn sich der Betrachter parallel zum Objekt bewegt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit verläuft diese Bewegung entlang der x-Achse und beginnt im Ursprung, so dass sie durch x = v t beschrieben wird. Bewegt sich der Beobachter mit der Geschwindigkeit 'u' in die gleiche Richtung, so finden wir mit Hilfe der Lorentz-Transformation:

${displaystyle x'={frac {x-ut}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}={frac {vt-ut}{sqrt {1-(u/c)^{2 }}}}={frac {vu}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}t}$

${displaystyle t'={frac {t-ux/c^{2}}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}={frac {t-uvt/c^{2}}{ sqrt {1-(u/c)^{2}}}}={frac {1-uv/c^{2}}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}t}$

Sowohl Ort als auch Zeit wurden im System des Beobachters transformiert. Beides ist proportional. Die Geschwindigkeit im Beobachtersystem ist die Proportionalitätskonstante.

${displaystyle v'={frac {x'}{t'}}={frac {v-u}{1-uv/c^{2}}}}$

Dies entspricht ${displaystyle v'_{x}}$ hier oben.

Mit Plus statt Minus haben wir die Formel zum "Summieren" von Geschwindigkeiten.

Allgemeine Ablenkung

Im Allgemeinen wird die Geschwindigkeit einer Bewegung mit drei Komponenten beschrieben: 'v_X', 'v_ja' und V_z'. Eine Bewegung kann mit Ort und Zeit beschrieben werden. Eine Bewegung entlang der x-Achse ausgehend vom Ursprung wird durch x = v t beschrieben. Wenn sich ein Beobachter mit der Geschwindigkeit 'u' in die gleiche Richtung bewegt, finden wir mit der Lorentz-Transformation:

${displaystyle x'={frac {(v-u)t}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}}$, ${displaystyle y'={frac {v_{y}t}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}}$, ${displaystyle z'={frac {v_{z}t}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}}$ und${displaystyle t'={frac {1-uv_{x}/c^{2}}{sqrt {1-(u/c)^{2}}}}t}$

Auf die gleiche Weise wie oben finden wir nun, wie die Geschwindigkeit transformiert wird:

${displaystyle v_{x}'={frac {v_{x}-u}{1-uv_{x}/c^{2}}}}$   ,  ${displaystyle v_{y}'=v_{y}{frac {sqrt {1-(u/c)^{2}}}{1-uv_{x}/c^{2}}}}$ und${displaystyle v_{z}'=v_{z}{frac {sqrt {1-(u/c)^{2}}}{1-uv_{x}/c^{2}}}}$

Der Unterschied zwischen der Geschwindigkeitskomponente in Richtung von 'u' und den beiden Geschwindigkeitskomponenten senkrecht dazu ist offensichtlich. Die parallele Komponente und die senkrechte Komponente der Geschwindigkeit werden oft verwendet

Invarianz der Lichtgeschwindigkeit

Die relativistische Geschwindigkeitstransformation ist notwendig, weil bei der klassischen Transformation die Lichtgeschwindigkeit nicht für alle Beobachter gleich ist. Mal sehen, wie das mit der neuen Transformation geht. Nehmen Sie die Bewegung eines Lichtstrahls wieder auf. Für einen Lichtstrahl, der sich mit der Geschwindigkeit v = c parallel zu 'u' bewegt, finden wir:

${displaystyle v'={frac {vu}{1-uv/c^{2}}}={frac {cu}{1-uc/c^{2}}}={frac {cu}{1-u /c}}={frac {cu}{1-u/c}}{frac {c}{c}}={frac {(cu)c}{cu}}=c}$

Für einen Lichtstrahl, der sich senkrecht zu 'u' bewegt, zum Beispiel mit 'v_y' = c, finden wir:

${displaystyle v_{x}'={frac {v_{x}-u}{1-uv_{x}/c^{2}}}={frac {-u}{1-u0/c^{2} }}=-u}$

${displaystyle v_{y}'=c{frac {sqrt {1-(u/c)^{2}}}{1-u0/c^{2}}}}=c{sqrt {1-(u/c )^{2}}}={Quadrat {c^{2}-u^{2}}}}$

${displaystyle v_{z}'=0{frac {sqrt {1-(u/c)^{2}}}{1-u0/c^{2}}}=0}$

Der Lichtstrahl im neuen System hat eine Geschwindigkeit:

${displaystyle v'={sqrt {v_{x}'^{2} v_{y}'^{2} v_{z}'^{2}}}=c}$

In beiden Fällen scheint sich der Lichtstrahl auch im neuen System mit Lichtgeschwindigkeit zu bewegen. Wenn man Lichtstrahlen in alle möglichen Richtungen untersucht, stellt sich dies immer als richtig heraus, so dass diese Transformation den Bedingungen der of spezielle Relativitätstheorie befriedigt.