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Spezielle Relativitätstheorie
${displaystyle {E},=m,c^{2}}$
(das Masse-Energie-Beziehung)
Hintergrund Lichtgeschwindigkeit Trägheitsrahmen Maxwells Gesetze
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Das Lorentz-Transformation, benannt nach seinem Schöpfer, dem NiederländischPhysikerHendrik Anthony Lorentz, beschreibt den Übergang von einem Freizeit zu einem anderen, der sich mit konstanter Geschwindigkeit relativ zum ersten bewegt. Die Lorentz-Transformation gibt die Beziehung zwischen den räumlichen und zeitlichen Koordinaten der beiden Systeme an. Die Lorentz-Transformation bildet die Grundlage der spezielle Relativitätstheorie. Diese Theorie wurde aufgestellt, um die Widersprüche zwischen den Theorien der Elektromagnetismus und klassische Mechanik aus der Welt zu helfen.

Definition

In seiner einfachsten Form bewegt sich das System S' mit den Koordinaten ${Anzeigestil x',y',z'}$ für die Stelle und ${displaystyle t'}$ für die Zeit mit konstanter Geschwindigkeit bewegen moving ${Anzeigestil v}$ im positiven ${Anzeigestil x}$-Richtung des Systems S beschrieben durch die Koordinaten ${Anzeigestil x,y,z}$ für die Stelle und ${displaystyle t}$ für die Zeit. Das Lorentz-Transformation gibt die Beziehung zwischen den beiden Systemen an:

${displaystyle x'=gamma (x-vt)}$

${Anzeigestil y'=y}$

${displaystyle z'=z}$

${displaystyle t'=gamma left(t-{frac {vx}{c^{2}}}ight)}$

mit ${Anzeigestil c}$ das Lichtgeschwindigkeit und

${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-({frac {v}{c}})^{2}}}}}$

die sogenannte Lorentzfaktor.

Manchmal wählt man als Zeitkoordinatecoördi ${displaystyle au=ct}$, die Distanz, die Licht im Vakuum im Laufe der Zeit zurücklegt ${displaystyle t}$. Die Formeln für die Lorentz-Transformation haben dann die Form:

${displaystyle x'=gamma (x-eta au)}$

${Anzeigestil y'=y}$

${displaystyle z'=z}$

${displaystyle au '=gamma (au - eta x)}$

in welchem

${displaystyle eta={frac {v}{c}}}$

ist das Verhältnis zwischen Geschwindigkeit und Lichtgeschwindigkeit. Der Lorentzfaktor kann dann geschrieben werden als:

${displaystyle gamma ={frac {1}{sqrt {1-eta ^{2}}}}}}$

Situationen, in denen die Geschwindigkeit eine andere Richtung hat, können aus diesem Spezialfall leicht abgeleitet werden.

Die so definierten Lorentz-Transformationen werden manchmal als spezielle Lorentz-Transformationen bezeichnet. Es sind diese Transformationen, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.

Lorentz-Varianz

sehen lorentinische Varianz für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine Eigenschaft oder Größe, die sich bei einer Lorentz-Transformation nicht ändert, wird als Lorentzin-Variante bezeichnet. Zum Beispiel unter der oben genannten Form der Lorentz-Transformation:

${displaystyle au '^{2}-x'^{2}=gamma ^{2}(au - eta x)^{2}-gamma ^{2}(x-eta au)^{2}=}$

${displaystyle ={frac {{ ig (}(au - eta x) (x-eta au){ ig)}{ ig (}(au - eta x)-(x-eta au){ ig)}}{1 -eta ^{2}}}=}$

${displaystyle ={frac {(1-eta)( au x)(1 eta )( au -x)}{1-eta ^{2}}}= au ^{2}-x^{2}}$

Die Größe ${displaystyle au ^{2}-x^{2}}$ ist daher Lorentzin-Variante.

In einer physikalischen Situation eine Lorentzin-Varianteneigenschaft in allen Inertialrahmen mit gleichem Wert beobachtet. Lorentzin-Variante sind zum Beispiel die Lichtgeschwindigkeit, die, Masse, das elektrische Ladung, die Teilchenzahl.

Wenn außerdem jede Lösung einer Bewegungsgleichung nach der Lorentz-Transformation eine Lösung derselben Gleichung bleibt, ist diese Gleichung eine Lorentzin-Variante. Alle Grundgleichungen in der Physik seine Lorent-Phrase, einschließlich der Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus. Das heißt, die gleichen Gleichungen können verwendet werden, um die Physik aus einem beliebigen gewählten Inertialsystem zu beschreiben.

Allgemeine Lorentz-Transformation

Unter der oben definierten speziellen Lorentz-Transformation ist die Größe ${displaystyle au ^{2}-x^{2}}$ unveränderlich. Das ist nicht schwer zu erkennen:

${displaystyle s^{2}= au ^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

ist unveränderlich.

Diese Eigenschaft gilt auch für andere spezielle Lorentz-Transformationen. Es gibt aber auch andere lineare Transformationen der vierdimensionalen Raumzeit mit dieser Eigenschaft, also die Größe ${displaystyle s^{2}}$ unveränderlich verlassen. Alle diese Transformationen werden Lorentz-Transformationen genannt. Sie bilden a Gruppe: das Lorentz-Gruppe.

Kontraktion

sehen Lorentz-Kontraktion für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Eine der Eigenschaften der Raumzeit, die sich aus der Lorentz-Transformation ergibt, ist die Lorentz-Kontraktion: das Phänomen, dass ein bewegtes Objekt in Bewegungsrichtung kürzer erscheint als im Ruhezustand, während die zurückgelegte Strecke aus Sicht des bewegten Objekts kürzer ist Die Kontraktion spielt nur bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit eine signifikante Rolle. Dieser Effekt wird in a . verwendet Undulator auf einen Synchrotron.

Lorentz-Kontraktion wird auch . genannt Lorentz-FitzGerald-Kontraktion genannt, da die irisch Physiker George FitzGerald hatte die gleiche Kontraktion unabhängig von Lorentz vorgeschlagen.

Geschichte

Lorentz entdeckt in 1900 dass die Verwandlung später nach ihm benannt wurde Maxwell-Gleichungen unverändert (aber der deutsche Physiker Woldemar Voigt sie hat es vorher gefunden). Albert Einstein später entwickelte die spezielle Relativitätstheorie, die darauf basiert.

Die Lorentz-Gruppe

sehen Lorentz-Gruppe für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Die Lorentz-Transformationen (die Koordinatentransformationen der Minkowski-Raumzeit mit Lorentz bedeutet Varianz, die den Ursprung (0,0,0,0) in sich selbst übertragen, also auch Drehungen und alle Richtungen von v) bilden das sogenannte Lorentz-Gruppe.

Dies bildet somit die Alternative für die Menge von Galileo-Transformationen von dem klassische Mechanik Übertragung des Ursprungs (0,0,0,0) in sich selbst (also Übertragung des räumlichen Ursprungs in sich und das en absolute Zeit nicht ändern), die ebenfalls eine Gruppe bildet.

Eine Raumdimension

Die Lorentz-Transformation wird abgeleitet, indem nach Transformationen gesucht wird, bei denen die Lichtgeschwindigkeit invariant ist. Im Allgemeinen basiert dies auf zwei Dimensionen: der x-Koordinate und der Zeit. Geht man von einer linearen Transformation aus, kann man sie in der allgemeinsten Form schreiben als:

${displaystyle x'=px qt}$

${displaystyle t'=rx st}$

In diesem sind ${Anzeigestil x}$ und ${displaystyle t}$ im Laborsystem S, und ${displaystyle x'}$ und ${displaystyle t'}$ im Beobachtersystem S', das eine Geschwindigkeit hat ${Anzeigestil v}$ bewegt sich relativ zu S. Die Größen ${Anzeigestil p,,q,,r}$ und ${displaystyle s}$ Funktionen dieser Geschwindigkeit sind noch zu bestimmen.

Ein Lichtstrahl wird in S beschrieben durch:

${Anzeigestil x=ct}$

In S' hat es auch Lichtgeschwindigkeit und wird somit beschrieben durch:

${displaystyle x'=ct'}$

Das gleiche gilt für einen Lichtstrahl in die andere Richtung:

${displaystyle x=-ct}$

und

${displaystyle x'=-ct'}$

Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:

${displaystyle x'=pct qt=ct'=c(rct st)=rc^{2}t sct}$

und

${displaystyle -pct qt=-c(-rct st)=rc^{2}t-sct}$

Durch die Kombination dieser ist es leicht zu finden ${displaystyle q=rc^{2}}$ und ${displaystyle p=s}$. Die Transformation vereinfacht sich zu:

${displaystyle x'=sx rc^{2}t}$

${displaystyle t'=rx st}$

Betrachten Sie nun den Ursprung von S'. Dies wird beschrieben durch

${displaystyle x=vt}$,

aber auch von

${displaystyle x'=0}$,

so dass:

${displaystyle x'=svt rc^{2}t=0}$

Daraus folgt

${displaystyle r=-v/c^{2}s}$

und somit:

${Anzeigestil x'=s(v)(x-vt)}$

und

${displaystyle t'=s(v)(-vx/c^{2} t)}$

Jetzt muss nur noch die Funktion bestimmt werden ${Anzeigestil s(v)}$. Betrachten Sie dazu ein drittes System S", das sich mit Geschwindigkeit in Bezug auf S' bewegt ${displaystyle -v}$. Es folgt eine Transformation von S nach S“:

${displaystyle x''=s(v')(x'-v't')=s(-v)(x'vt')=}$

${Anzeigestil =s(-v)s(v)((x-vt) v(-vx/c^{2} t))=s(v)^{2}(1-(v/c)^{ 2})x}$

${displaystyle t''=s(v')(-v'x'/c^{2} t')=s(-v)(vx'/c^{2} t')=}$

${displaystyle =s(-v)s(v)(v(x-vt)/c^{2} (-vx/c^{2} t))=s(v)^{2}(1-( v/c)^{2})t}$

Aus Symmetriegründen wird hier verwendet: ${Anzeigestil s(-v)=s(v)}$. Denn bei qualitativen Veränderungen ist es egal, in welche Richtung man sich bewegt. Daraus folgt sofort, dass S und S“ sich nicht relativ zueinander bewegen, sodass S“ dasselbe System wie S sein muss mit: ${displaystyle x''=x}$ und ${displaystyle t''=t}$. Damit findet man schließlich:

${displaystyle s(v)={frac {1}{sqrt {1-(v/c)^{2}}}}}$

Damit wird die Lorentz-Transformation in einer Dimension abgeleitet, d. h. für die Ortskoordinate in Richtung ${Anzeigestil v}$. Um zu zeigen, dass nur eine lineare Transformation möglich ist, oder um die Transformation von Richtungen senkrecht zu zu zeigen ${Anzeigestil v}$ (Hier ${displaystyle y}$ und ${Anzeigestil z}$) erfordert eine etwas umfangreichere Analyse.

Zwei oder drei Raumdimensionen

In vielen Ableitungen der Lorentz-Transformation ist die Transformation von ${displaystyle y}$ und ${Anzeigestil z}$ (die Koordinaten senkrecht zur Bewegung des Beobachters) werden als trivial abgetan, da sie in jedem System den gleichen Wert haben.Es genügt nämlich zu überprüfen, dass die Lichtgeschwindigkeit bei einer gegebenen Transformation invariant ist (zum Beispiel mit Geschwindigkeitstransformation), um diese in der Relativitätstheorie verwenden zu können. Es stellt sich jedoch die Frage, ob die Transformationen ${displaystyle y}$ und ${Anzeigestil z}$ nicht transformieren sind die einzige Möglichkeit. Um dies etwas zu untersuchen, betrachten wir einen Lichtstrahl, der im System S vom Raum-Zeit-Ursprung in eine beliebige Richtung emittiert wird. Ein solcher Lichtstrahl kann rechtzeitig erfolgen ${displaystyle t=t_{1}}$ die Position ${displaystyle x=x_{1},,y=y_{1},,}$ erreichen, wo ${displaystyle x_{1}^{2} y_{1}^{2}=(ct_{1})^{2}}$.

Nach der Lorentz-Transformation wäre der Lichtstrahl in einem System S' vom Ursprung in der Zeit ${displaystyle t_{1}'=gamma (t_{1}-ux_{1}/c^{2})}$ die Position ${displaystyle x_{1}'=gamma (x_{1}-ut_{1}),,y_{1}'=y_{1}}$ erreichen. Wir prüfen den Abstand:

${displaystyle {sqrt {(gamma (x_{1}-ut_{1}))^{2} y_{1}^{2}}}=gamma {sqrt {(x_{1}-ut_{1})^ {2} (1-(u/c)^{2})((ct_{1})^{2}-x_{1}^{2})}}=}$

${displaystyle =gamma {sqrt {(ct_{1})^{2} (ux_{1}/c)^{2}-2x_{1}ut_{1}}}=gamma {sqrt {(ct_{1}) -ux_{1}/c)^{2}}}=ct_{1}'}$

Die angegebene Zeit entspricht daher auch der Distanz im System S'. In einer dritten Raumdimension wird ${displaystyle y_{1}^{2}}$ einfach ersetzen durch ${displaystyle y_{1}^{2} z_{1}^{2}}$, wodurch Sie leicht erkennen können, dass es richtig ist. Dies beweist keineswegs, dass die gegebene Lorentz-Transformation die einzig mögliche ist, aber wahrscheinlich sind nur Transformationen möglich, bei denen keine Kontraktion für die y- und z-Achse auftritt.