WikiDer > Производная Шварца

Schwarzian derivative

В математика, то Производная Шварца, названный в честь немецкого математика Герман Шварц, - некоторый оператор, инвариантный относительно всех Преобразования Мебиуса. Таким образом, это происходит в теории сложная проективная линия, и, в частности, в теории модульные формы и гипергеометрические функции. Он играет важную роль в теории однолистные функции, конформное отображение и Пространства Тейхмюллера.

Определение

Шварцианская производная от голоморфная функция $ж$ одного комплексная переменная $z$ определяется

{ Displaystyle (Sf) (z) = left ({ frac {f '' (z)} {f '(z)}} right)' - { frac {1} {2}} left ( {f '' (z) over f '(z)} right) ^ {2} = { frac {f' '' (z)} {f '(z)}} - { frac {3} {2}} left ({f '' (z) over f '(z)} right) ^ {2}.}

Эта же формула определяет производную Шварца C³ функция одного реальная переменнаяАльтернативные обозначения

{ Displaystyle {е, z } = (Sf) (z)}

часто используется.

Характеристики

Шварцианская производная любого Преобразование Мёбиуса

{ displaystyle g (z) = { frac {az + b} {cz + d}}}

равно нулю. Наоборот, преобразования Мёбиуса - единственные функции с этим свойством. Таким образом, производная Шварца точно измеряет степень, в которой функция не может быть преобразованием Мёбиуса.

Если грамм является преобразованием Мёбиуса, то композиция грамм о ж имеет ту же производную Шварца, что и ж; а с другой стороны, производная Шварца от ж о грамм дается Правило цепи

{ Displaystyle (S (е circ g)) (z) = (Sf) (g (z)) cdot g '(z) ^ {2}.}

В более общем смысле, для любых достаточно дифференцируемых функций ж и грамм

{ Displaystyle S (е circ g) = left (S (f) circ g right) cdot (g ') ^ {2} + S (g).}

Это делает производную Шварца важным инструментом в одномерном динамика ^[1] поскольку это означает, что все итерации функции с отрицательным шварцианом также будут иметь отрицательный шварциан.

Представляем функцию двух комплексных переменных^[2]

{ Displaystyle F (z, w) = log left ({ frac {f (z) -f (w)} {z-w}} right),}

его вторая смешанная частная производная дается выражением

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} F (z, w)} { partial z , partial w}} = {f ^ { prime} (z) f ^ { prime} (w ) над (f (z) -f (w)) ^ {2}} - {1 over (zw) ^ {2}},}

а производная Шварца дается формулой:

{ Displaystyle (Sf) (ш) = left.6 cdot { partial ^ {2} F (z, w) over partial z , partial w} right vert _ {z = w} .}

Производная Шварца имеет простую формулу обращения, заменяющую зависимые и независимые переменные. Надо

{ Displaystyle (Sw) (v) = - left ({ frac {dw} {dv}} right) ^ {2} (Sv) (w)}

что следует из теорема об обратной функции, а именно, что ${ displaystyle v '(w) = 1 / w'.}$

Дифференциальное уравнение

Производная Шварца фундаментально связана с линейной обыкновенное дифференциальное уравнение в комплексной плоскости.^[3] Позволять ${ displaystyle f_ {1} (z)}$ и ${ displaystyle f_ {2} (z)}$ быть двумя линейно независимый голоморфный решения

{ displaystyle { frac {d ^ {2} f} {dz ^ {2}}} + Q (z) f (z) = 0.}

Тогда отношение ${ Displaystyle г (г) = е_ {1} (г) / е_ {2} (г)}$ удовлетворяет

{ Displaystyle (Sg) (z) = 2Q (z)}

над доменом, на котором ${ displaystyle f_ {1} (z)}$ и ${ displaystyle f_ {2} (z)}$ определены, и ${ displaystyle f_ {2} (z) neq 0.}$ Верно и обратное: если такой грамм существует и голоморфна на односвязный домен, то два решения ${ displaystyle f_ {1}}$ и ${ displaystyle f_ {2}}$ можно найти, и кроме того, это уникальные вплоть до общий масштабный коэффициент.

Когда линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка может быть приведено к указанной выше форме, в результате Q иногда называют Q-значение уравнения.

Обратите внимание, что гауссовский гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к указанной выше форме, и таким образом связаны пары решений гипергеометрического уравнения.

Условия однолистности

Если ж это голоморфная функция на единичном диске, D, затем В. Краус (1932) и Нехари (1949) доказали, что необходимое условие за ж быть однозначный является^[4]

{ displaystyle | S (f) | leq 6 (1- | z | ^ {2}) ^ {- 2}.}

И наоборот, если ж(z) - голоморфная функция на D удовлетворение

{ Displaystyle | S (е) (z) | leq 2 (1- | z | ^ {2}) ^ {- 2},}

затем Нехари доказал, что ж однозначно.^[5]

В частности достаточное условие для однолистности^[6]

{ Displaystyle | S (е) | leq 2.}

Конформное отображение полигонов дуги окружности

Производная Шварца и связанное с ней обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка могут использоваться для определения Отображение Римана между верхней полуплоскостью или единичной окружностью и любым ограниченным многоугольником в комплексной плоскости, края которого являются дугами окружности или прямыми линиями. Для многоугольников с прямыми краями это сводится к Отображение Шварца – Кристоффеля, которое может быть получено напрямую без использования производной Шварца. В дополнительные параметры возникающие как константы интегрирования, связаны с собственные значения дифференциального уравнения второго порядка. Уже в 1890 году Феликс Кляйн изучили случай четырехугольника с точки зрения Дифференциальное уравнение Ламе.^[7]^[8]^[9]

Пусть Δ - дугообразный многоугольник окружности с углами $π$ α₁, ..., $π$ α_п по часовой стрелке. Позволять ж : ЧАС → Δ - голоморфное отображение, непрерывно продолжающееся до отображения между границами. Пусть вершины соответствуют точкам а₁, ..., а_п на действительной оси. потом п(Икс) = S(ж)(Икс) является вещественным для Икс реальный и не один из пунктов. Посредством Принцип отражения Шварца п(Икс) продолжается до рациональной функции на комплексной плоскости с двойным полюсом в точке а_я:

{ displaystyle p (z) = sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {(1- alpha _ {i} ^ {2})} {2 (z-a_ {i}) ^ {2}}} + { frac { beta _ {i}} {z-a_ {i}}}.}

Реальные числа β_я называются дополнительные параметры. На них действуют три линейных ограничения:

{ Displaystyle сумма бета _ {я} = 0}

{ displaystyle sum 2a_ {i} beta _ {i} + left (1- alpha _ {i} ^ {2} right) = 0}

{ displaystyle sum a_ {i} ^ {2} beta _ {i} + a_ {i} left (1- alpha _ {i} ^ {2} right) = 0}

которые соответствуют обращению в нуль коэффициентов при ${ displaystyle z ^ {- 1}, z ^ {- 2}}$ и ${ displaystyle z ^ {- 3}}$ в расширении п(z) вокруг z = ∞. Отображение ж(z) тогда можно записать как

{ Displaystyle е (г) = {и_ {1} (г) над и_ {2} (г)},}

куда ${ Displaystyle и_ {1} (г)}$ и ${ Displaystyle и_ {2} (г)}$ являются линейно независимыми голоморфными решениями линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

{ displaystyle u ^ { prime prime} (z) + { tfrac {1} {2}} p (z) u (z) = 0.}

Есть п−3 линейно независимых дополнительных параметра, определить которые на практике бывает сложно.

Для треугольника, когда п = 3, дополнительных параметров нет. Обыкновенное дифференциальное уравнение эквивалентно уравнению гипергеометрическое дифференциальное уравнение и ж(z) это Функция треугольника Шварца, который можно записать через гипергеометрические функции.

Для четырехугольника вспомогательные параметры зависят от одной независимой переменнойλ. Письмо U(z) = q(z)ты(z) для подходящего выбора q(z) обыкновенное дифференциальное уравнение принимает вид

{ Displaystyle a (z) U ^ { prime prime} (z) + b (z) U ^ { prime} (z) + (c (z) + lambda) U (z) = 0.}

Таким образом ${ Displaystyle д (г) и_ {я} (г)}$ являются собственными функциями Уравнение Штурма – Лиувилля. на интервале ${ Displaystyle [а_ {я}, а_ {я + 1}]}$ . Посредством Теорема об отделимости Штурма, ненулевое значение ${ Displaystyle и_ {2} (г)}$ силы λ быть наименьшим собственным значением.

Сложная структура на пространстве Тейхмюллера

Универсальное пространство Тейхмюллера определяется как пространство настоящий аналитик квазиконформные отображения единичного диска D, или эквивалентно верхняя полуплоскость ЧАС, на себя, причем два отображения считаются эквивалентными, если на границе одно получается из другого композицией с Преобразование Мёбиуса. Идентификация D с нижним полушарием Сфера Римана, любое квазиконформное отображение ж нижнего полушария естественно соответствует конформному отображению верхнего полушария ${ displaystyle { tilde {f}}}$ на себя. Фактически ${ displaystyle { tilde {f}}}$ определяется как ограничение на верхнюю полусферу решения Дифференциальное уравнение Бельтрами

{ displaystyle { frac { partial F} { partial { overline {z}}}} = mu (z) { frac { partial F} { partial z}},}

где μ - ограниченная измеримая функция, определяемая формулой

{ displaystyle mu (z) = { frac { left ({ frac { partial f} { partial { overline {z}}}} right)} { left ({ frac { partial f} { partial z}} right)}}}

в нижнем полушарии, расширен до 0 в верхнем полушарии.

Отождествление верхнего полушария с D, Липман Берс использовали производную Шварца для определения отображение

{ Displaystyle г = S ({ тильда {f}}),}

который вкладывает универсальное пространство Тейхмюллера в открытое подмножество U пространства ограниченных голоморфных функций грамм на D с единая норма. Фредерик Геринг показал в 1977 году, что U - внутренность замкнутого подмножества производных Шварца однолистных функций.^[10]^[11]^[12]

Для компактная риманова поверхность S рода больше 1, его универсальное перекрытие это единичный диск D на котором его фундаментальная группа Γ действует преобразованиями Мёбиуса. В Пространство Тейхмюллера из S можно отождествить с подпространством универсального пространства Тейхмюллера, инвариантного относительно Γ. Голоморфные функции грамм иметь свойство, которое

{ Displaystyle г (г) , дз ^ {2}}

инвариантно относительно Γ, поэтому определим квадратичные дифференциалы на S. Таким образом, пространство Тейхмюллера S реализуется как открытое подпространство конечномерного комплексного векторного пространства квадратичных дифференциалов на S.

Группа диффеоморфизмов окружности

Скрещенные гомоморфизмы

Свойство трансформации

{ Displaystyle S (е circ g) = left (S (f) circ g right) cdot (g ') ^ {2} + S (g).}

позволяет интерпретировать производную Шварца как непрерывный 1-коцикл или скрещенный гомоморфизм группы диффеоморфизмов окружности с коэффициентами в модуле плотностей степени 2 на окружности.^[13]Позволять F_λ(S¹) быть пространством тензорные плотности степени λ на S¹. Группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов S¹, Diff (S¹), действует на F_λ(S¹) через продвигать. Если ж является элементом Diff (S¹), то рассмотрим отображение

{ displaystyle f to S (f ^ {- 1}).}

На языке групповые когомологии цепное правило выше говорит, что это отображение является 1-коциклом на Diff (S¹) с коэффициентами в F₂(S¹). Фактически

{ displaystyle H ^ {1} ({ text {Diff}} ( mathbf {S} ^ {1}); F_ {2} ( mathbf {S} ^ {1})) = mathbf {R} }

а 1-коцикл, порождающий когомологии, есть ж → S(ж⁻¹). Вычисление 1-когомологий является частным случаем более общего результата

{ displaystyle H ^ {1} ({ text {Diff}} ( mathbf {S} ^ {1}); F _ { lambda} ( mathbf {S} ^ {1})) = mathbf {R } , , mathrm {for} , , lambda = 0,1,2 , , mathrm {and} , , (0) , , mathrm {в противном случае.}}

Обратите внимание, что если грамм это группа и M а грамм-модуль, то тождество, определяющее скрещенный гомоморфизм c из грамм в M можно выразить в терминах стандартных гомоморфизмов групп: он закодирован в гомоморфизме $φ$ из грамм в полупрямой продукт ${ displaystyle M rtimes G}$ так что состав $φ$ с проекцией ${ displaystyle M rtimes G}$ на грамм - карта идентичности; соответствие по карте C(грамм) = (c(грамм), грамм). Скрещенные гомоморфизмы образуют векторное пространство и содержат в качестве подпространства кограничные скрещенные гомоморфизмы б(грамм) = грамм ⋅ м − м за м в M. Простой аргумент усреднения показывает, что если K компактная группа и V топологическое векторное пространство, на котором K действует непрерывно, то высшие группы когомологий обращаются в нуль ЧАС^м(K, V) = (0) для м > 0. n, частное для 1-коциклов х с

{ Displaystyle чи (ху) = чи (х) + х CDOT чи (у),}

усреднение по у, используя левый инвариант Мера Хаара на K дает

{ Displaystyle чи (х) = м-х CDOT м,}

с

{ displaystyle m = int _ {K} chi (y) , dy.}

Таким образом, путем усреднения можно предположить, что c удовлетворяет условию нормировки c(Икс) = 0 для Икс в гнили (S¹). Обратите внимание, что если какой-либо элемент Икс в грамм удовлетворяет c(Икс) = 0, тогда C(Икс) = (0,Икс). Но тогда, поскольку C является гомоморфизмом,C(xgx⁻¹) = C(Икс)C(грамм)C(Икс)⁻¹, так что c удовлетворяет условию эквивариантности c(xgx⁻¹) = Икс ⋅ c(грамм). Таким образом, можно предположить, что коцикл удовлетворяет этим условиям нормировки для Rot (S¹). На самом деле производная Шварца обращается в нуль всякий раз, когда Икс - преобразование Мёбиуса, соответствующее SU (1,1). Два других 1-цикла, обсуждаемых ниже, исчезают только на Rot (S¹) (λ = 0, 1).

Существует бесконечно малая версия этого результата, дающая 1-коцикл для Vect (S¹) алгебра Ли гладких векторные поля, а значит, и для Алгебра Витта, подалгебра тригонометрических полиномиальных векторных полей. Действительно, когда грамм является группой Ли и действие грамм на M гладко, существует алгебраическая версия скрещенного гомоморфизма Ли, полученная взятием соответствующих гомоморфизмов алгебр Ли (производных гомомотизмов в единице). Это также имеет смысл для Diff (S¹) и приводит к 1-коциклу

{ displaystyle s left (е , {d over d theta} right) = {d ^ {3} f over d theta ^ {3}} , (d theta) ^ {2} }

которое удовлетворяет тождеству

{ displaystyle s ([X, Y]) = X cdot s (Y) -Y cdot s (X).}

В случае алгебры Ли кограничные отображения имеют вид б(Икс) = Икс ⋅ м за м в M. В обоих случаях 1-когомологии определяется как пространство скрещенных гомоморфизмов по модулю кограниц. Естественное соответствие между гомоморфизмами групп и гомоморфизмами алгебр Ли приводит к "отображению включения ван Эста"

{ displaystyle H ^ {1} ( operatorname {Diff} ( mathbf {S} ^ {1}); F _ { lambda} ( mathbf {S} ^ {1})) hookrightarrow H ^ {1} ( operatorname {Vect} ( mathbf {S} ^ {1}); F _ { lambda} ( mathbf {S} ^ {1})),}

Таким образом, расчет можно свести к расчету Когомологии алгебры Ли. По непрерывности это сводится к вычислению скрещенных гомоморфизмов $φ$ алгебры Витта в F_λ(S¹). Из условий нормировки на скрещенный гомоморфизм групп вытекают следующие дополнительные условия для $φ$ :

{ displaystyle varphi ( Operatorname {Ad} (x) X) = x cdot varphi (X), , , varphi (d / d theta) = 0}

за Икс в гнили (S¹).

Следуя соглашениям Кац и Райна (1987), базис алгебры Витта дается формулой

{ displaystyle d_ {n} = ie ^ {in theta} , {d over d theta}}

так что [d_м,d_п] = (м – п) d_{м + п}. Основа для комплексирования F_λ(S¹) дан кем-то

{ displaystyle v_ {n} = e ^ {in theta} , (d theta) ^ { lambda},}

так что

{ displaystyle d_ {m} cdot v_ {n} = - (n + lambda m) v_ {n + m}, , , g _ { zeta} cdot v_ {n} = zeta ^ {n} v_ {n},}

за грамм_ζ в гнили (S¹) = Т. Это заставляет $φ (d п) = а п \cdot v п$ для подходящих коэффициентов $а п$ . Условие скрещенного гомоморфизма $φ ([Икс, Y]) = Икс φ (Y) - Y φ (Икс)$ дает рекуррентное соотношение для $а п$ :

{ displaystyle (m-n) a_ {m + n} = (m + lambda n) a_ {m} - (n + lambda m) a_ {n}.}

Условие $φ$ (d/dθ) = 0, следует, что а₀ = 0. Из этого условия и рекуррентного соотношения следует, что с точностью до скалярных кратных оно имеет единственное ненулевое решение, когда λ равно 0, 1 или 2, в противном случае - только нулевое решение. Решение для $λ = 1$ соответствует групповому 1-коциклу ${ Displaystyle varphi _ {1} (е) = е ^ { простое простое} / е ^ { простое} , д тета}$ . Решение для $λ = 0$ соответствует групповому 1-коциклу $φ$ ₀(ж) = журналf ' . Соответствующие 1-коциклы алгебры Ли для λ = 0, 1, 2 даются с точностью до скалярного числа

{ displaystyle varphi _ { lambda} left (F {d over d theta} right) = {d ^ { lambda +1} F over d theta ^ { lambda +1}} , (d theta) ^ { lambda}.}

Центральные пристройки

Скрещенные гомоморфизмы, в свою очередь, порождают центральное расширение Diff (S¹) и ее алгебры Ли Vect (S¹), так называемой Алгебра Вирасоро.

Коприсоединенное действие

Группа Diff (S¹) и его центральное расширение также естественно возникают в контексте теории Тайхмюллера и теория струн.^[14] Фактически гомеоморфизмы S¹ индуцированные квазиконформными отображениями D точно квазисимметричные гомеоморфизмы из S¹; это в точности гомеоморфизмы, которые не отправляют четыре точки с перекрестное соотношение 1/2 к точкам с поперечным отношением около 1 или 0. Принимая граничные значения, универсальный Тейхмюллер может быть отождествлен с фактором группы квазисимметричных гомеоморфизмов QS (S¹) подгруппой преобразований Мёбиуса Moeb (S¹). (Его также можно естественным образом реализовать как пространство квазиокружности в C.) С

{ displaystyle operatorname {Moeb} ( mathbf {S} ^ {1}) subset operatorname {Diff} ( mathbf {S} ^ {1}) subset { text {QS}} ( mathbf { S} ^ {1})}

то однородное пространство Разница (S¹) / Моеб (S¹) естественным образом является подпространством универсального пространства Тейхмюллера. Это также естественно комплексное многообразие, и эта и другие естественные геометрические структуры совместимы со структурами в пространстве Тейхмюллера. Двойственный к алгебре Ли Diff (S¹) можно отождествить с пространством Операторы Хилла на S¹

{ displaystyle {d ^ {2} over d theta ^ {2}} + q ( theta),}

и сопряженное действие разницы (S¹) вызывает производную Шварца. Обратный к диффеоморфизму ж отправляет оператора Hill's в

{ displaystyle {d ^ {2} over d theta ^ {2}} + f ^ { prime} ( theta) ^ {2} , q circ f ( theta) + { tfrac {1 } {2}} S (f) ( theta).}

Псевдогруппы и связи

Производная Шварца и другой 1-коцикл, определенный на Diff (S¹) продолжается до биголоморфного между открытыми множествами на комплексной плоскости. В этом случае локальное описание приводит к теории аналитического псевдогруппы, формализуя теорию бесконечномерных групп и алгебр Ли, впервые изученную Эли Картан в 1910-е гг. Это связано с аффинными и проективными структурами на римановых поверхностях, а также с теорией шварцианских или проективных связностей, обсуждаемой Ганнингом, Шиффером и Хоули.

Голоморфный псевдогруппа Γ на C состоит из коллекции биголоморфизмы $ж$ между открытыми наборами U и V в C который содержит карты идентичности для каждого открытого U, которая замкнута при ограничении на открытые, которая замкнута относительно композиции (когда это возможно), которая замкнута относительно взятия обратных и такая, что если биголоморфизм локально находится в Γ, то он тоже находится в Γ. Псевдогруппа называется переходный если, учитывая $z$ и $ш$ в C, существует биголоморфизм $ж$ в Γ такая, что $ж (z) = ш$ . Частным случаем транзитивных псевдогрупп являются те, которые плоский, т.е. содержат все сложные переводы $Т б (z) = z + б$ . Позволять грамм быть группой в составе формальный степенной ряд трансформации $F (z) = а 1 z + а 2 z 2 + ....$ с $а 1 \neq 0$ . Голоморфная псевдогруппа Γ определяет подгруппу А из грамм, а именно подгруппа, определенная разложением в ряд Тейлора около 0 (или "струя") элементов $ж$ группы Γ с $ж (0) = 0$ . Наоборот, если Γ плоский, он однозначно определяется А: биголоморфизм $ж$ на U содержится в Γ в том и только в том случае, если степенной ряд $Т - ж (а) \circ ж \circ Т а$ лежит в А для каждого $а$ в U: другими словами, формальный степенной ряд для $ж$ в $а$ дается элементом А с $z$ заменен на $z - а$ ; или короче все струи ж роды А.^[15]

Группа грамм имеет естественные гомоморфизмы на группу грамм_k из k-джеты, полученные взятием усеченного степенного ряда до члена z^k. Эта группа точно действует на пространстве многочленов степени k (усекая члены на порядок выше, чем k). Усечения аналогично определяют гомоморфизмы грамм_k на грамм_{k − 1}; ядро состоит из карт ж с ж(z) = z + bz^k, так абелева. Таким образом, группа грамм_k разрешима, что также ясно из того факта, что она имеет треугольную форму для базиса одночленов.

Плоская псевдогруппа Γ называется «определяется дифференциальными уравнениями» если есть конечное целое число k такой, что гомоморфизм А в грамм_k является точным и образ является замкнутой подгруппой. Самый маленький такой k считается порядок группы Г. Имеется полная классификация всех подгрупп А возникающие таким образом, удовлетворяющие дополнительным предположениям о том, что образ А в грамм_k комплексная подгруппа и что грамм₁ равно C*: это означает, что псевдогруппа также содержит преобразования масштабирования S_а(z) = az за а ≠ 0, т.е. содержит А содержит каждый многочлен az с а ≠ 0.

Единственная возможность в этом случае состоит в том, что k = 1 и А = {az: а ≠ 0}; или это k = 2 и А = {az/(1−bz) : а ≠ 0}. Первая - псевдогруппа, определяемая аффинной подгруппой комплексной группы Мёбиуса ( az + б преобразования, фиксирующие ∞); последняя является псевдогруппой, определяемой всей комплексной группой Мёбиуса.

Эта классификация легко сводится к алгебраической проблеме Ли, поскольку формальная алгебра Ли ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ из грамм состоит из формальных векторных полей F(z) d/дз с F формальный степенной ряд. Он содержит поля полиномиальных векторов с базисом d_п = z^п+1 d/дз (п ≥ 0), которая является подалгеброй алгебры Витта. Скобки Ли имеют вид [d_м,d_п] = (п − м)d_м+п. Они снова действуют на пространстве многочленов степени ≤ k по дифференциации - его можно отождествить с C[[z]]/(z^k+1) - и изображения d₀, ..., d_{k – 1} дают основу алгебры Ли грамм_k. Обратите внимание, что $Объявление(S а) d п = а - п d п$ . Позволять ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ обозначим алгебру Ли А: она изоморфна подалгебре алгебры Ли грамм_k. Это содержит d₀ и инвариантен относительно Ad (S_а). С ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ является подалгеброй Ли алгебры Витта, единственная возможность состоит в том, что она имеет базис d₀ или основа d₀, d_п для некоторых п ≥ 1. Существуют соответствующие групповые элементы вида ж(z)= z + bz^п+1 + .... Составление этого с переводами дает Т_–ж(е) ∘ ж ∘ Т_ε(z) = cz + дз² + ... с c, d ≠ 0. Если только п = 2, это противоречит виду подгруппы А; так п = 2.^[16]

Производная Шварца связана с псевдогруппой комплексной группы Мёбиуса. Фактически, если ж - биголоморфизм, определенный на V тогда $φ$ ₂(ж) = S(ж) - квадратичный дифференциал на V. Если грамм - бигомолорфизм, определенный на U и грамм(V) ⊆ U, S(ж ∘ грамм) и S(грамм) - квадратичные дифференциалы на U; более того S(ж) - квадратичный дифференциал на V, так что грамм_∗S(f) также является квадратичным дифференциалом на U. Личность

{ Displaystyle S (е circ g) = g _ {*} S (f) + S (g)}

таким образом, является аналогом 1-коцикла для псевдогруппы биголоморфизмов с коэффициентами в голоморфных квадратичных дифференциалах. по аналогии ${ Displaystyle varphi _ {0} (е) = журнал е ^ { prime}}$ и ${ Displaystyle varphi _ {1} (е) = е ^ { прайм прайм} / е ^ { прайм}}$ являются 1-коциклами для одной и той же псевдогруппы со значениями в голоморфных функциях и голоморфных дифференциалах. В общем случае 1-коцикл можно определить для голоморфных дифференциалов любого порядка так, чтобы

{ displaystyle varphi (е circ g) = g _ {*} varphi (f) + varphi (g).}

Применение указанного выше идентификатора к картам включения j, следует, что $φ$ (j) = 0, а значит, если ж₁ это ограничение ж₂, так что ж₂ ∘ j = ж₁, тогда $φ$ (ж₁) = $φ$ (ж₂). С другой стороны, если взять локальный голоморфный поток, определяемый голоморфными векторными полями, - экспоненту векторных полей, - голоморфная псевдогруппа локальных биголоморфизмов порождается голоморфными векторными полями. Если 1-коцикл $φ$ удовлетворяет подходящим условиям непрерывности или аналитичности, он индуцирует 1-коцикл голоморфных векторных полей, также совместимый с ограничением. Соответственно, он определяет 1-коцикл на голоморфных векторных полях на C:^[17]

{ displaystyle varphi ([X, Y]) = X varphi (Y) -Y varphi (X).}

Ограничение на алгебру Ли полиномиальных векторных полей с базисом d_п = z^п+1 d/дз (п ≥ −1), их можно определить с помощью тех же методов когомологий алгебры Ли (что и в предыдущем разделе о скрещенных гомоморфизмах). Там расчет проводился для всей алгебры Витта, действующей на плотностях порядка k, а здесь это как раз для подалгебры, действующей на голоморфных (или полиномиальных) дифференциалах порядка k. Опять же, предполагая, что $φ$ исчезает при поворотах Cсуществуют ненулевые 1-коциклы, уникальные с точностью до скалярных кратных. только для дифференциалов степени 0, 1 и 2, заданных той же формулой производной

{ Displaystyle varphi _ {к} влево (p (z) {d over dz} right) = p ^ {(k + 1)} (z) , (dz) ^ {k},}

куда п(z) - многочлен.

1-коциклы определяют три псевдогруппы следующим образом: $φ$ _k(ж) = 0: это дает группу масштабирования (k = 0); аффинная группа (k = 1); и вся комплексная группа Мебиуса (k = 2). Итак, эти 1-коциклы - особые обыкновенные дифференциальные уравнения определяя псевдогруппу. Что еще более важно, их можно использовать для определения соответствующих аффинных или проективных структур и связностей на римановых поверхностях. Если Γ - псевдогруппа гладких отображений на р^п, топологическое пространство M называется Γ-структурой, если она имеет набор карт ж которые являются гомеоморфизмами открытых множеств V_я в M открывать наборы U_я в р^п такое, что для каждого непустого пересечения естественное отображение из $ж я (U я \cap U j)$ к $ж j (U я \cap U j)$ лежит в Γ. Это определяет структуру гладкого п-многообразие, если Γ состоит из локальных диффеоморфимов, и риманова поверхность, если п = 2 - так что р² ≡ C—И Г состоит из биголоморфизмов. Если Γ - аффинная псевдогруппа, M как говорят, имеет аффинную структуру; и если Γ псевдогруппа Мёбиуса, M называется проективной структурой. Таким образом, поверхность рода один задана как C/ Λ для некоторой решетки Λ ⊂ C имеет аффинную структуру; и род п > 1 поверхность, заданная как фактор верхней полуплоскости или единичного круга по фуксовой группе, имеет проективную структуру.^[18]

Ганнинг (1966) описывает, как этот процесс может быть обращен вспять: для рода п > 1, существование проективной связи, определяемой с помощью производной Шварца $φ$ ₂ и доказанный с использованием стандартных результатов по когомологиям, может использоваться для отождествления универсальной накрывающей поверхности с верхней полуплоскостью или единичным кругом (аналогичный результат верен для рода 1 с использованием аффинных связностей и $φ$ ₁).

Navigation