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Das Ambiente (es Oberfläche von a Ball) ist ein zweidimensionale Vielfalt weil diese Fläche durch a . dargestellt werden kann Sammlung von zweidimensional Karten.

In dem Differentialgeometrie und differentielle Topologie, Teilbereiche der Mathematik, ist ein Vielfalt ein topologischer Raum die lokal, d. h. in einem hinreichend kleinen Teil, auf der euklidischer Raum von einem bestimmten Abmessungen scheint.^[1] EIN Linie, aber auch a Kreis sind also eindimensionale Varianten, eine 8-förmige Figur (wie die ( Lemniskate von Bernoulli) nicht, denn im Doppelpunkt, der Schnittpunkt der durchgezogenen Linie, wie groß der Maßstab auch gewählt wird, d.h. wie sehr man diesen Punkt auch heranzoomt, es gibt keine Ähnlichkeit mit einem eindimensionalen euklidischen Raum. EIN eben und ein Ambiente (die Oberfläche von a Ball) sind zweidimensionale Varietäten. Wenn wir uns auf der Erde umschauen, erscheint die Erde flach und wir werden nicht sofort bemerken, dass die Erde kugelförmig ist. Sorten gibt es auch in beliebig höheren Dimensionen. Formaler, jeder Punkt von a ${displaystyle n}$-dimensionale Vielfalt a Umfeld Das homöomorph ist mit a offene Teilmenge des ${displaystyle n}$-dimensional Platz${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.

Der Begriff Vielfalt umfasst eine Reihe verschiedener Konzepte von "gekrümmter RaumAlle Definitionen haben die folgende Philosophie gemeinsam:

Eine Vielfalt ist a topologischer Raum Betrieb in ausreichend kleinen Umgebungen von jedem Punkt sieht aus wie die ${displaystyle n}$-dimensional euklidischer Raum, aber global ganz anders Struktur kann haben

Obwohl Varietäten in der Nähe jedes Punktes (lokal) euklidischen Räumen ähneln, kann die globale Struktur einer Varietät komplizierter sein. Beispielsweise ist jeder Punkt auf der bekannten zweidimensionalen Kugelfläche von einem kreisförmigen Bereich umgeben, der wie in einer geografischen Karte zu einem kreisförmigen Bereich der Ebene abgeflacht werden kann. Allerdings unterscheidet sich die Atmosphäre "im Großen" von der des Flugzeugs: in der Sprache der Topologie sie sind nicht homöomorph. Die Struktur einer Mannigfaltigkeit wird durch eine Sammlung von Karten wer zusammen a Atlas bildet, in Analogie zu einem geografischen Atlas, der aus Karten der Oberfläche des Boden existiert.

Die "lokale Ähnlichkeit" kann weiter spezifiziert werden durch bijektiv topologisch Bilder, Karten genannt, deren Zusammensetzung auf den überlappenden Regionen ihrer Domänen muss einer bestimmten Klasse angehören. Je nach gewählter Klasse spricht man von a topologische Vielfalt (Homöomorphismen), a differenzierbar oder glatte Sorte (Diffeomorphismen) oder ein komplexe Vielfalt (komplexe differenzierbare Homöomorphismen). Einige Definitionen erfordern eine zusätzliche Struktur, zum Beispiel a Riemann-Sorte ist eine glatte Sorte mit a positiv definitquadratische Form.

Der Begriff der Sorten ist für viele Teile der Geometrie und die Moderne mathematische Physik, weil dieses Konzept komplizierte Strukturen ausdrücken und verstehen in Bezug auf relativ gut verstandene Eigenschaften von einfacheren Leerzeichen. Zum Beispiel ist ein Verteiler typischerweise mit a . ausgestattet differenzierbare Struktur das erlaubt unterscheiden und te integrieren und ein Riemann-Metrik, die es ermöglicht Entfernungen und Ecken messen. Symplektische Sorten Funktion innerhalb der klassische Mechanik wenn Phasenräume in dem Hamilton-Formalismus, während vierdimensional Lorentz-Sorten das Freizeit in dem generelle Relativität zu modellieren.

Der englische Begriff mannigfaltig (Vielfalt) wird in niederländischen Texten auch oft als Synonym für Vielfalt verwendet. Für ein algebraische Vielfalt verwendet Englisch den Begriff? algebraische Vielfalt.

Die 2-Kugel in 3 Dimensionen, projiziert von einem ihrer Punkte auf der gegenüberliegenden Seite Schnittstelle. Diese Projektion bestimmt einen Homöomorphismus zwischen ${displaystyle mathbb {R} ^{2}}$ und ein offenes Umfeld von dem Anlaufstelle. Jeder Punkt der Ambiente als Kontaktpunkt fungieren kann, so macht diese Konstruktion die Atmosphäre abwechslungsreich.

Geschichte

sehen Geschichte der Sorten für den Hauptartikel zu diesem Thema.

Das Studium der Mannigfaltigkeiten vereint viele wichtige Bereiche der Mathematik: Es verallgemeinert Konzepte wie Kurven und Oberflächen sowie Ideen aus dem Lineare Algebra und der Topologie.

Motivierende Beispiele

Abbildung 1: Die Vier Karten stellen jeweils einen Teil des Kreises auf a . dar offenes Intervall und zusammen decken sie den ganzen Kreis ab.

Eine Fläche ist eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, was bedeutet, dass die Mannigfaltigkeit lokal um jeden Punkt auf der euklidischen Ebene herum erscheint. Die Erdoberfläche lässt sich beispielsweise durch eine Sammlung von Karten beschreiben, die zusammen einen Weltatlas bilden. Während keine der einzelnen Karten ausreicht, um die gesamte Oberfläche der Welt abzudecken, befindet sich jeder Ort der Welt auf mindestens einer Karte.

Kreis

Das Kreis ist ein einfaches, nicht triviales Beispiel für a topologische Vielfalt. Topologie sagt nichts über die Krümmung aus, daher wird ein kleines Stück Kreis genauso behandelt wie ein kleines Stück a Linie. Betrachten Sie zum Beispiel die obere Hälfte des Einheitskreis, beschrieben durch die Gleichung ${Displaystil x^{2} y^{2}=1}$ in dem Kartesisches Koordinatensystem mit ${Anzeigestil y>0}$ (symbolisch angezeigt durch den gelben Bogen in Abbildung 1). jeder punkt ${displaystyle (x,y)=(x,{sqrt {1-x^{2}}})}$ dieses Halbkreises wird eindeutig beschrieben durch seine ${Anzeigestil x}$-Koordinate. Das Projektion auf der ${Anzeigestil x}$-Achse ist a kontinuierlich und invertierbar, Bild des oben offenen Halbkreises auf dem Intervall${Anzeigestil (-1,1)}$.

Eine solche Funktion wird zusammen mit der offenen Fläche zu einem Karte erwähnt. Ebenso gibt es Karten für den unteren (roten), linken (blauen) und rechten (grünen) Teil des Kreises. Zusammen decken diese Teile den gesamten Kreis ab und die vier Karten bilden zusammen ein Atlas für den Kreis.

Die oberen und rechten Karten überlappen sich; ihr Querschnitt liegt im Viertel des Kreises, wo beide both ${Anzeigestil x}$- als die ${Anzeigestil y}$Koordinaten sind positiv. Die beiden Karten ${displaystyle chi _{ ext{top}}}$ und ${displaystyle chi _{ ext{right}}}$ jeder zeigt diesen Teil im Intervall an ${Anzeigestil(0.1)}$.

${displaystyle chi _{ ext{top}}(x,{sqrt {1-x^{2}}})=x}$

${displaystyle chi _{ ext{right}}({sqrt {1-y^{2}}},y)=y}$

Es ist daher möglich, die invers von der oberen Karte, um von einem Punkt in enter einzutreten ${Anzeigestil(0.1)}$ den Kreis erreichen und dann über die rechte Karte zum Intervall zurückgehen. Die Funktion ${Anzeigestil T: (0,1) oder (0,1)}$ wer das beschreibt heißt Übergangsbild:

${displaystyle { egin{aligned}T(a)&=chi _{mathrm {right} }left(chi _{mathrm {top} }^{-1}(a)ight)/&=chi _{mathrm {right } }left(a,{sqrt {1-a^{2}}}ight)/&={sqrt {1-a^{2}}}.end{aligned}}}$

Abbildung 2: Abbildung eines Kreises als Mannigfaltigkeit, basierend auf der Steigung, die den gesamten Kreis bis auf einen Punkt abdeckt

Die obigen Karten sind nicht der einzige Atlas. Eine Karte muss nicht unbedingt eine Projektion sein und die Anzahl der Karten ist frei wählbar. Es gibt auch die Karten:

${displaystyle chi _{ ext{minus}}(x,y)={frac {y}{1 x}}=s}$

und

${displaystyle chi _{ ext{plus}}(x,y)={frac {y}{1-x}}=t}$

Darin ist ${displaystyle s}$ die Steigung der Linie durch den festen "Drehpunkt" ${Anzeigestil (-1.0)}$ und der punkt ${Anzeigestil(x,y)}$ auf dem Kreis. Analog ist ${displaystyle t}$ relativ zum Drehpunkt bestimmt ${Anzeigestil (1.0)}$

Diese beiden Karten bilden auch einen Atlas mit einem Übergangsbild

${displaystyle t=T(s)={frac {1}{s}}}$

Beide Karten sind nicht in einem Punkt, nämlich ihrem Drehpunkt, definiert, so dass jede Karte alleine nicht ausreicht, um den ganzen Kreis abzudecken. Es kann nachgewiesen werden, dass es nicht möglich ist, den ganzen Kreis mit einer einzigen Karte zu beschreiben.

Ambiente

Das Ambiente ist ein Beispiel für eine Oberfläche. Das Einheitskugel, beschrieben durch die Gleichung:

${Displaystil x^{2} y^{2} z^{2}=1}$

kann durch einen Atlas mit sechs Karten für die Halbkugeln abgedeckt werden ${Anzeigestil x>0}$, ${Anzeigestil x<0}$, ${Anzeigestil y>0}$, ${Anzeigestil y<0}$, ${displaystyle z>0}$ und ${Anzeigestil z<0}$ die jeweils auf eine offene Kreisscheibe projiziert werden können. Zum Beispiel die halbe Kugel ${displaystyle z>0}$ auf die Scheibe projiziert ${Anzeigestil x^{2} y^{2}<1}$ in dem ${Anzeigestil xy}$-eben.

Wie beim Kreis ist es möglich, die gesamte Kugel bis auf einen Punkt auf einer Karte darzustellen. Grundsätzlich reicht ein Atlas mit zwei Karten.

Dieses Beispiel ist historisch bedeutsam, da es die verwendete Terminologie hervorgebracht hat. Es war klar geworden, dass die Erde nicht auf einer einzigen Karte dargestellt werden kann, daher wird ein Kartenatlas benötigt.

Karte

Die Beschreibung einer Sorte geht durch Karten die zusammen haben a Atlas Formen, mit denen die ganze Vielfalt abgedeckt wird. Eine Karte stellt gewissermaßen einen Teil der Vielfalt durch eine Korrespondenz zwischen diesem Teil und einem euklidischen Raum so dar, dass die Struktur erhalten bleibt.

In einem topologischer Raum${Anzeigestil X}$ ist ein Karte ein Paar ${Anzeigestil (U,phi)}$ in welchem ${displaystyle Usubseteq X}$ eine offene Teilmenge von ${Anzeigestil X}$ ist und ${displaystyle phi :U oder mathbb {R} ^{n}}$ ein Homöomorphismus von ${Displaystil U}$ auf seinem Bild in der euklidischer Raum${displaystyle R^{n}}$. Der Homöomorphismus ${Anzeigestil phi}$ wird manchmal als Karte selbst bezeichnet. weil ${Anzeigestil phi}$ an einem Punkt der Vielfalt eine Reihe im ${displaystyle R^{n}}$ fügt hinzu, wird ${Anzeigestil phi}$ ebenfalls Koordinierung erwähnt.

Übergangsbilder

Karten können sich überlappen, sodass ein Punkt einer Sorte in mehreren Karten erscheint. Wenn sich zwei Karten überschneiden, zeigen bestimmte Teile beider Karten das gleiche Gebiet der Sorte, so wie eine Karte von Europa und eine Karte von Asien beide Moskau enthalten können. Zwischen zwei überlappenden Karten kann eine Übergangsfunktion definiert werden, Übergangsbild die die Beziehung zwischen den beiden Karten des überlappenden Teils beschreibt. Von einem offenen Ball in ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ dann geht es durch die Umkehrung einer Karte zur Mannigfaltigkeit und dann durch die andere Karte zurück zu einer anderen (oder vielleicht gleichen) offenen Kugel in ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Das Übergangsbild, wie das Bild ${Anzeigestil T}$ im obigen Kreisbeispiel auch Koordinatentransformation erwähnt.

Das Übergangsbilder zwischen zwei Karten ${Anzeigestil (U,phi)}$ und ${Anzeigestil (V,psi)}$ sind die Funktionen

${Displaystyle Phi Circ Psi ^{-1}:psi (Ucap V) oder Phi (Ucap V)}$

und

${Anzeigestil psi circ phi ^{-1}:phi (Ucap V) oder psi (Ucap V)}$

Kompatible Karten

Um sicherzustellen, dass eine bestimmte Struktur durch die verschiedenen Karten richtig beschrieben wird, werden sogenannte kompatibel (ähnliche) Karten zusammen.

Zwei Karten ${Anzeigestil (U,phi)}$ und ${Anzeigestil (V,psi)}$ in einer topologischen Varietät namens ${Anzeigestil C}$-kompatibel wenn die beiden Übergangsbilder zwischen den Karten beide gleich sind Differenzierbarkeitsklasse${Anzeigestil C}$ sein.

Atlas

Die Beschreibung der meisten Sorten erfordert mehr als eine Karte. Ein bestimmter Kartensatz, der eine Sorte mit der gewünschten Struktur beschreibt, wird als a . bezeichnet Atlas. Dies sind Karten, die miteinander kompatibel sind. Ein Atlas ist nicht einzigartig, da jede Sorte mit verschiedenen Kartenkombinationen auf mehr als eine Weise abgedeckt werden kann.

EIN ${Anzeigestil C}$-Atlas auf einem topologischen Raum ${Anzeigestil X}$ ist eine Familie zu zweit ${Anzeigestil C}$-kompatible Karten ${displaystyle {(U_{i},phi _{i})}_{iin I}}$ deren offene Mengen ${Displaystil U_{i}}$ der raum ${Anzeigestil X}$Startseite:

${displaystyle X=igcup _{iin I}U_{i}}$

Kompatible Atlanten

Sonderfälle von Varietäten stellen zusätzliche Anforderungen an die Übergangsbilder der Atlanten. Zum Beispiel gibt es glatt Atlanten, deren Übergangsbilder glatte Funktionen, So ${displaystyle C^{infty }}$, sein. Manchmal wird weniger verlangt: von a ${Anzeigestil C^{k}}$-Atlas sind die Übergangsbilder der Klasse ${Anzeigestil C^{k}}$, So ${displaystyle k}$ mal stetig differenzierbar. EIN ${Displaystil C^{0}}$-atlas hat Übergangsbilder, die nur kontinuierlich sein müssen. Zwei Atlanten derselben Klasse heißen are kompatibel wie ihr Verband ist ein weiterer Atlas der gleichen Klasse. Damit gehören auch die Übergangsbilder zwischen einer Karte des einen Atlas und einer Karte des anderen zur Klasse der Atlanten. Mit anderen Worten, die Karten in einem Atlas sind mit jeder Karte des anderen kompatibel.

Topologische Vielfalt

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Formale Definition

Sie ${displaystyle n}$ ein positives natürliche Zahl. EIN topologische Dimensionsvielfalt ${displaystyle n}$ ist ein topologischer Raum, der die Trennungsaxiom${displaystyle T_{2}}$ (Hausdorff) und im Abzählbarkeitsaxiom${Displaystil A_{2}}$, und in der jeder Punkt eine zu homöomorphe Umgebung hat Euklidischer Raum${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$

Topologische Varietäten werden in dem Zweig der Mathematik studiert, der algebraische Topologie heiß.

Beispiele

Jeder offene Teilmenge${Anzeigestil G}$ von ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ Ist eingeschaltet trivial weise eine topologische Mannigfaltigkeit, denn um jeden Punkt ${displaystyle Gin G}$ lügt a offene Kugel innerhalb ${Anzeigestil G}$ und ${displaystyle n}$-dimensionale offene Kugeln sind homöomorph (sogar diffeomorph) mit ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$.

Eine einfache, aber nicht triviale Variante ist die ${displaystyle n}$-Ambiente, Dies ist das Kante des ${displaystyle(n1)}$-dimensional Kugel mit Center 0 und Strahl 1:

${displaystyle S^{n}={xin mathbb {R} ^{n 1};|x|=1}}$

In jedem Punkt ${displaystyle xin S^{n}}$ gibt es ein einzigartiges ${displaystyle n}$-dimensionale Tangentialhyperebene. Diese Tangentialhyperebene ${displaystyle H_{x}}$ ist isometrisch (und daher sicherlich homöomorph und diffeomorph) mit ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$. Das Zentralprojektion vom entgegengesetzten Punkt ${Anzeigestil (-x)}$ auf ${displaystyle H_{x}}$ ist ein Homöomorphismus (Diffeomorphismus) zwischen ${displaystyle S^{n}setminus {-x}}$ und ${Displaystil H_{x}}$.

Sanfte Vielfalt

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Formale Definition

EIN glatte Sorte (ebenfalls: differenzierbare Vielfalt oder ${displaystyle C^{infty }}$-Vielfalt) ist eine topologische Varietät ${Anzeigestil (M,A)}$ jetzt sofort differenzierbar" d.h ${displaystyle C^{infty }}$-Atlas ${Anzeigestil A}$, deren Übergangsabbildungen beliebig oft differenzierbar sind.

Glatte Sorten sind Gegenstand des Studiums der differentielle Topologie.

Die obigen Beispiele für topologische Varietäten können problemlos als glatte Varietäten interpretiert werden.

Jede glatte Sorte besitzt die wichtige zusätzliche Struktur von a berührenden Raum in jedem punkt und das begleitende Schlagstrahl.

Exotische Sorten

Die topologische Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit erfasst die differenzierbare Struktur nicht eindeutig. Es gibt glatte Varietäten, die untereinander nicht diffeomorph sind, deren zugrundeliegende topologische Varietäten jedoch homöomorph sind. Dies ist zum Beispiel bei der topologischen Varietät der Fall ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$. Man spricht von exotische Differentialstrukturen auf ${displaystyle mathbb {R} ^{4}}$ um sie von der trivialen glatten Struktur aus dem obigen Beispiel zu unterscheiden.

Ähnliches passiert in der ${Anzeigestil S^{7}}$, die siebte Dimension Ambiente.

Glattes Bild, Diffeomorphismus

Ein kontinuierliches Bild ${displaystyle f:M oder N}$ zwischen zwei glatten Dimensionsvarianten ${displaystyle m}$ bzw. ${displaystyle n}$ heiß rutschig wenn seine Zusammensetzung mit zufälligen Karten (oder deren Umkehrung) eingeschaltet ist ${Anzeigestil M}$ und ${Displaystil N}$, ein unendlich differenzierbares Bild ${displaystyle mathbb {R} ^{m} oder mathbb {R} ^{n}}$ ergibt.

EIN Diffeomorphismus ist ein bijektion zwischen glatten Sorten, was in beiden Richtungen ein glattes Bild ist. Die Abbildung zeigt, dass diese letzte Forderung nicht überflüssig ist

${displaystyle f:mathbb {R} oder mathbb {R} :xmapsto x^{3}}$

Dies ist ein unendlich differenzierbarer Homöomorphismus des reale Nummern zu sich selbst, aber die Umkehrung ist in 0 nicht differenzierbar.

Querschnitt glatter Sorten

Das Überschneidung von zwei Untermannigfaltigkeiten einer glatten Mannigfaltigkeit ist im Allgemeinen Nein Vielfalt; dies ist jedoch gewährleistet, wenn sich die beiden Untermannigfaltigkeiten schneiden quer schneiden.

Riemann-Sorte

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EIN Riemann-Sorte besteht aus einer glatten Mannigfaltigkeit mit positiv definit quadratische Form auf jeden berührenden Raum (und so dass die Koeffizienten der quadratischen Form in jedem Koordinatensystem unendlich differenzierbar sind).

Die quadratische Form gibt dem Begriff "Länge" für Vektoren im Tangentialraum Bedeutung und (nach Integration) für Kurven in der Mannigfaltigkeit selbst.

Riemann-Sorten sind das Studienobjekt der Moderne Differentialgeometrie.

Symplektische Vielfalt

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EIN symplektische Vielfalt besteht aus einem glatte Sorte mit einem nicht entarteten, antisymmetrischen, geschlossenen bilineare Form. Symplectic Sorten sind es gewohnt, Phasenraum in der modellieren Hamiltonian Mechanik.

Symplektische Varietäten sind Gegenstand des Studiums der symplektische Geometrie.

Algebraische Vielfalt

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EIN algebraische Vielfalt entspricht der Philosophie aus der Einleitung, sofern wir ${displaystyle n}$-dimensionaler euklidischer Raum ersetzt durch ${displaystyle k^{n}}$, es ${displaystyle n}$-falten kartesisches Produkt von a algebraisch geschlossenKörper (in Belgien: Feld) mit sich selbst. Die Karten (Bilder) müssen algebraisch sein, d. h. die Koordinatentransformationen können ausgedrückt werden als algebraische Funktionen.

Das algebraische Geometrie Studien algebraische Sorten und verwandte Objekte.

Riemann-Oberfläche

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EIN Riemann-Oberfläche (nicht zu verwechseln mit a Riemann-Sorte) ist ein zweidimensionales glatte Sorte deren Koordinatentransformationen verstanden werden können als analytische Funktionen (indem man die beiden reellen Koordinaten mit den komplexen Zahlen 1 und identifiziert ${Anzeigestil i}$).

Komplexe Vielfalt

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EIN komplexe Vielfalt ist eine lokale Varietät der komplexen Zahlen in einer oder mehreren Dimensionen ${displaystyle mathbb {C} ^{n}}$ scheint. Man spricht von a analytische komplexe Mannigfaltigkeit wenn die Koordinatentransformationen analytische Funktionen sein. Eindimensionale analytische komplexe Mannigfaltigkeiten heißen Riemann-Oberflächen.

Literatur

• MIT, Fakultät für Mathematik, 18.965 Herbst 04 Vorlesungsnotizen, Tomasz S. Mrowka
• Loring W. Tu, Eine Einführung in Manifolds, Zweite Auflage, 2011, Universitext, Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3

Fußnoten