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In dem Mathematik ist ein lineares Bild ungefähr a Bild dass die Linearkombinationen speichert, was bedeutet, dass sowohl die Addition als auch die Skalarmultiplikation erhalten bleiben. Das Bild der Summe der Vektoren ist gleich der Summe der Bilder, und das Bild eines (skalaren) Vielfachen eines Vektors ist gleich dem gleichen Vielfachen des Bildes. Diese Bilder zeigen interessante Eigenschaften und spielen eine wichtige Rolle in der Lineare Algebra von Vektorräume und Module.

Definition

Ein Bild ${Anzeigestil f:V oder W}$, bei welchem ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$Vektorräume über einen Körper (Niederländischer Begriff; in Belgien: Feld) ${Anzeigestil K}$ sei heiß linear wie für jedes Paar ${Anzeigestil x,yin V}$ und jedes Element ${Anzeigestil Lambda in K}$:

${Anzeigestil f(x y)=f(x) f(y)}$

und

${Anzeigestil f (Lambda x) = Lambda f (x)}$.

Solange nicht explizit von der Tatsache Gebrauch gemacht wird, dass Skalare ungleich Null a umkehren haben, geht die obige Definition nahtlos in allgemeinere lineare Abbildungen zwischen Module über einen Kommutativ Ring. Die Theorie bleibt eine Weile analog, nur dass nicht jedes Modul eine Basis hat (notwendig ua für den Dimensionssatz).

In einem nichtkommutativen Ring kann man möglicherweise von a . sprechen linke lineare Karte zwischen linken Modulen.

Lineare Bilder kombinieren

Die Sammlung ${displaystyle mathrm {Lin} (V,W)}$ aller linearen Abbildungen eines festen Vektorraum${Anzeigestil V}$ zu einem festen Vektorraum ${Anzeigestil W}$, beides über den Körper ${Anzeigestil K}$, ist mit einem geeigneten Zusatz und Multiplikation mit einem Skalar selbst auch ein Vektorraum über ${Anzeigestil K}$.

Für die linearen Bilder ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil W}$ wird die Summe ${Anzeigestil f g}$ definiert als die lineare Karte, die jedem Element zugeordnet ist ${displaystyle vin V}$ die Summe der Bilder unten ${displaystyle f}$ und ${displaystyle g}$ fügt hinzu:

${Anzeigestil (f g) (v) = f (v) g (v)}$

und wird zu einem Element ${Anzeigestil Lambda in K}$ das Vielfache ${Anzeigestil Lambda f}$ definiert als die lineare Karte, die jedem Element zugeordnet ist ${displaystyle vin V}$ es ${ Anzeigestil Lambda }$- Vielfaches des Bildes unten ${displaystyle f}$ fügt hinzu:

${Anzeigestil (Lambda f) (v) = Lambda f (v)}$

Die Sammlung ${displaystyle mathrm {Lin} (V,W)}$ ist ein Unterraum des Vektorraums ${Displaystil V^{W}}$ Über ${Anzeigestil K}$ der Funktionen von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil W}$.

Aus den linearen Bildern ${Anzeigestil f:V oder W}$ und ${displaystyle h:W o U}$, in welchem ${Anzeigestil V,W}$ und ${Displaystil U}$ Vektorräume über dem Körper ${Anzeigestil K}$ Sein ist auch das Komposition ein lineares Bild:

${Anzeigestil (hcirc f)(v)=h(f(v))}$.

Nullraum und Bildraum

Der Nullraum ${displaystyle N_{f}}$ oder Ader eines linearen Bildes ${displaystyle f}$ ist die Menge aller durchlaufenden Vektoren ${displaystyle f}$ auf der Nullvektor sind angezeigt. Das Bild der Domäne von ${displaystyle f}$, der Bereich, wird auch als . bezeichnet Bildraum${displaystyle B_{f}}$ von ${displaystyle f}$. Sowohl der Nullraum als auch der Bildraum einer linearen Abbildung sind wieder ein linearer Raum.

Matrix

Das lineare Bild ${displaystyle mathbf {A} Doppelpunkt V o W}$ des ${displaystyle m}$-dimensionaler Vektorraum ${Anzeigestil V}$ zum ${displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum ${Anzeigestil W}$ zeigt die Basisvektoren ${displaystyle v_{1},ldots ,v_{m}}$ von ${Anzeigestil V}$ aus auf den vektoren

${displaystyle A_{1}=mathbf {A} v_{1},ldots ,A_{m}=mathbf {A} v_{m}in W}$,

die, wie alle Vektoren in ${Anzeigestil W}$, lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben ${displaystyle w_{1},ldots ,w_{n}}$ von ${Anzeigestil W}$:

${displaystyle A_{k}=mathbf {A} v_{k}=alpha _{k1}w_{1} ldots alpha _{kn}w_{n}}$

Die entsprechende ${Anzeigestil n imes m}$-Matrix ${Anzeigestil A=(A_{rk})}$ hat als Elemente die Koordinaten ${displaystyle alpha_{kr}}$, und es ist

${Displaystil A_{rk}=alpha_{kr}}$

Für einen Vektor ${Anzeigestil xin V}$, mit

${displaystyle x=xi _{1}v_{1} ldots xi _{m}v_{m}}$

gilt:

${displaystyle mathbf {A} x=eta _{1}w_{1} ldots eta _{n}w_{n}}$,

in welchem

${displaystyle { egin{bmatrix}eta _{1}/vdots /eta _{m}end{bmatrix}}=A{ egin{bmatrix}xi _{1}/vdots /xi _{m}end{bmatrix}} }$

Beispiele

Beispiel 1

Das identisches Bild ist linear. Das Projektion auf einen Vektor ist linear. Lineare Abbildungen über endlichdimensionale Vektorräume können durch a Matrix dargestellt werden, und umgekehrt kann man jeder endlichdimensionalen Matrix eine lineare Abbildung zuordnen.

Beispiel 2

Das Bild ${displaystyle D:C^{1} oder C^{0}:fmapsto f'}$ die eine differenzierbare Funktion auf ihre Ableitung abbildet, ist eine lineare Abbildung. Hier sind ${Displaystil C^{0},C^{1}}$ bzw. die Mengen von Funktionen und aller Funktionen, die mindestens einmal differenzierbar sind.

Beispiel 3

Das Bild ${displaystyle fcolon mathbb {R} ^{2} o mathbb {R} ^{2};(x,y)mapsto (x y,2x 3y)}$, ist linear. Die entsprechende Matrix lautet:

${displaystyle { start{bmatrix}1&1/2&3end{bmatrix}}}$

Das erste Element des Bildvektors ist gleich dem Standard-Innenprodukt des Argumentvektors ${Anzeigestil(x,y)}$ mit der obersten Zeile der Matrix; das zweite Element des Bildvektors ist gleich dem inneren Standardprodukt des Argumentvektors ${Anzeigestil(x,y)}$ mit der unteren Zeile der Matrix.

Beispiel 4

Das Bild ${displaystyle f:mathbb {Z} imes mathbb {Z} oder mathbb {Z} :(x,y)mapto 3x 6y}$ ist eine lineare Abbildung zwischen zwei Modulen über den Ring ${displaystyle mathbb {Z} }$. Der Kern dieses Bildes ist die ${displaystyle mathbb {Z} }$-Modul bestehend aus allen ganzzahligen Paaren der Form ${displaystyle(2z,-z)}$. Das Bild ist ${displaystyle 3mathbb {Z} }$, die Menge aller Triplikate.

Allgemeiner gesagt, alle abelsche Gruppe verstanden werden als ${displaystyle mathbb {Z} }$Modul und jedes Gruppenisomorphismus zwischen abelschen Gruppen wird eine lineare Karte.

Eigenschaften

Dimensionssatz

Der Dimensionssatz für lineare Abbildungen lautet: Sei ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ endlich dimensional Vektorräume sein und ${Anzeigestil f:V oder W}$ eine lineare Karte von ${Anzeigestil V}$ im ${Anzeigestil W}$. Dann ist:

${displaystyle dim(mathrm {Ker} (f)) dim(mathrm {Im} (f))=dim V}$,

bei welchem ${displaystyle mathrm {Im} (f)}$ es Statue und ${displaystyle mathrm {Ker} (f)}$ das Ader von ${displaystyle f}$ ist.

Davon Gestell folgt sofort:

Sie ${Anzeigestil f:V oder W}$ ein lineares Bild und ${Displaystil dim V = dim W}$, dann ist ${displaystyle f}$injektivdann und nur dann, wenn${displaystyle f}$surjektiv ist.

Es folgt wieder: wenn ${displaystyle f}$ ist injektiv oder surjektiv, dann ${displaystyle f}$ ein bijektion, also wegen der Linearität a Isomorphismus.