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Runge-Kutta-Methoden sein numerische Methoden zu Differentialgleichung wobei die Anfangsbedingung Schritt für Schritt zu lösen ist. Die Methoden sind nach den deutschen Mathematikern benannt Carl David Tolme Runge und Martin Wilhelm Kutta, die sie entwickelt und verbessert haben.

Runge-Kutta-Verfahren werden nach der Anzahl der Zwischenschritte unterschieden. Das ${Anzeigestil s}$-step Runge-Kutta-Methode bestimmt den Wert der Näherungslösung in einem nächsten Punkt mittels ${Anzeigestil s}$ Zwischenschritte, d.h. mit ${Anzeigestil s-1}$ Zwischenpunkte. Eine Runge-Kutta-Methode mit Schrittweite ${displaystyle h}$ ist in ordnung ${displaystyle p}$ wenn der lokale Kürzungsfehler der Auftrag${Anzeigestil O(h^{p} 1)}$ ist. Zu den Runge-Kutta-Methoden gehören die Eulers Methode, das Heun .s Methode und der Trapezmethode.

Methode

Eine Näherungslösung des Anfangsbedingungsproblems

${Anzeigestil x'(t)=f(t,x(t))}$

mit

${displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$

wird Schritt für Schritt, mit Schrittweite ${displaystyle h}$, bestimmt in Form von

${Anzeigestil x_{n}ungefähr x(t_{n})}$,

in welchem ${displaystyle t_{n}=t_{0}nh}$.

EIN ${Anzeigestil s}$-step-Methode berechnet den nächsten Wert, wenn

${displaystyle x_{n 1}=x_{n} hsumme _{j=1}^{s}b_{j}k_{j}}$

Die Koeffizienten ${displaystyle b_{j}}$ die verwendete Methode bestimmen. Die Zahlen ${displaystyle k_{j}}$ bilden die Zwischenschritte, das sind die Werte der Funktion ${displaystyle f}$ in bestimmten sogenannten Knoten:

${displaystyle k_{j}=f{ ig (}t_{n} hc_{j},y_{n} hsum _{l=1}^{s}a_{jl}k_{l}{ ig )},, j=1,ldots ,s}$

Darin sind ${displaystyle c_{j}}$ und ${displaystyle a_{jl}}$ weitere für das Verfahren charakteristische Koeffizienten.

Klassische Runge-Kutta-Methode

Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung, oft kurz RK4 genannt, ist das klassische Verfahren, mit dem die Differentialgleichung

${displaystyle {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}=f(t,x)}$

mit Anfangsbedingung ${displaystyle x(t_{0})=x_{0}}$ wird numerisch mit 4 Zwischenschritten gelöst über:

${Anzeigestil t_{i 1}=t_{i} h}$

und

${displaystyle x_{i 1}=x_{i} { frac {1}{6}}(k_{1} 2k_{2} 2k_{3} k_{4}),}$

in welchem:

${displaystyle k_{1}=h f(t_{i},x_{i})}$

${displaystyle k_{2}=h flft(t_{i} {frac {h}{2}},x_{i} {frac {k_{1}}{2}}ight)}$

${displaystyle k_{3}=h fleft(t_{i} {frac {h}{2}},x_{i} {frac {k_{2}}{2}}ight)}$

${Anzeigestil k_{4}=h f(t_{i} h,x_{i} k_{3})}$

Beispiel

Betrachten Sie das Anfangswertproblem ${displaystyle {frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}={frac {-t}{x}}}$ mit der Anfangsbedingung ${Anzeigestil x(0)=1}$.

Die genaue Lösung ist ${Displaystil t^{2} x^{2}=1}$ (ein Kreis).

Wählen ${Anzeigestil h=0{,}1}$.

Die Startwerte sind ${displaystyle t_{0}=0}$ und ${displaystyle x_{0}=1}$.

Dann folgt:

${displaystyle k_{1}=0{,}0}$

${displaystyle k_{2}=-0{,}005}$

${displaystyle k_{3}=-0{,}00501253132832}$

${displaystyle k_{4}=-0{,}0100503778338}$

so dass ${displaystyle t_{1}=0{,}1}$ und ${displaystyle x_{1}=0{,}994987426585}$.

Durch Wiederholen dieses Vorgangs erhält man den Teil des Kreises im ersten Quadranten.

${displaystyle t}$	${Anzeigestil x}$
0,0	1,0
0,1	0,994987426585
0,2	0,979795852198
0,3	0,95393908717
0,4	0,916514893222
0,5	0,866024896597
0,6	0,799998909634
0,7	0,714140165921
0,8	0,599991210485
0,9	0,435832710519
1,0	0,0488018582123

Die genaue Lösung wäre für ${Anzeigestil t=1}$ der Wert ${Anzeigestil x=0}$ geben.

Die Methode ist äquivalent zu a taylor serie von 5 Begriffen. Das heißt, den Zeitschritt halbieren ${displaystyle h}$ der Fehler pro Schritt wird um den Faktor 32 reduziert. Da doppelt so viele Schritte ausgeführt werden, reduziert sich der Gesamtfehler um den Faktor 16.

Die Methode kann auch verwendet werden als ${Anzeigestil x}$ kein skalar, sondern a Spaltenvektor ist.

wenn ${displaystyle f}$ hängt nicht davon ab ${Anzeigestil x}$, ist die Methode äquivalent zu der Simpsons Regel zur numerischen Berechnung von a Integral-.