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Kolomvector

In dem Lineare Algebra ist ein Spaltenvektor ein ${Anzeigestil n imes 1}$ -Matrix, also eine Matrix bestehend aus einer einzelnen Spalte von ${displaystyle n}$ Elemente existiert. Es ist auch eine häufig verwendete Notation für a Vektor in Bezug auf seine Koordinaten. Formal ist es ein Vektor im Vektorraum von Spaltenvektoren einer gegebenen Dimension. Es gibt einen trivialen Isomorphismus mit der Menge von n-Tupeln. Wenn Matrix hat ${displaystyle mathbf {x} }$ formal die Elemente

{displaystyle x_{11},x_{21},dots ,x_{n1}}

,

aber als Vektor wird die konstante Spaltennummer 1 weggelassen, so dass die Matrixelemente selbst genauso geschrieben werden wie die Vektorkoordinaten:^[1]

{displaystyle mathbf {x} ={ egin{bmatrix}x_{1}/x_{2}/vdots /x_{n}end{bmatrix}}}

.

Hier kann die Multiplikation einer Matrix mit einem (Spalten-)Vektor betrachtet werden als Matrix-Multiplikation:

{displaystyle (Ab)_{i}=Summe _{r=1}^{n}a_{ir}b_{r}=a_{i1}b_{1} a_{i2}b_{2} cdots a_{in }b_{n}}

Die Anzahl der Spalten der Matrix ${Anzeigestil A}$ muss gleich der Dimension des Vektors . sein ${displaystyle mathbf {b} }$ . wenn ${displaystyle mathbf {b} }$ ist variabel, es repräsentiert a lineare Abbildung in Matrixschreibweise für endlichdimensionale Vektorräume.

Das transponiert eines Spaltenvektors ist a Zeilenvektor und umgekehrt.

Das Sammlung aller Spaltenvektoren bildet a Vektorraum, dass die Doppelraum der Menge aller Zeilenvektoren.

Notation

Um einen Spaltenvektor zwischen anderem Text anzuzeigen, wird ein Spaltenvektor manchmal als transponiert des entsprechenden Zeilenvektors.

{displaystyle mathbf {x} ={ egin{bmatrix}x_{1};x_{2};Punkte;x_{n}end{bmatrix}}^{m {T}}}

oder

{displaystyle mathbf {x} ={ egin{bmatrix}x_{1},x_{2},dots ,x_{n}end{bmatrix}}^{m {T}}}

(Elemente durch Kommas getrennt)

Einige Autoren verwenden die Konvention, sowohl Spalten- als auch Zeilenvektoren als Zeile zu notieren und die Elemente in einem Zeilenvektor durch Leerzeichen und die Elemente in einem Spaltenvektor durch Kommas zu trennen.

wenn ${displaystyle mathbf {x} }$ ist ein Zeilenvektor, werde ${displaystyle mathbf {x} }$ und ${displaystyle mathbf {x} ^{ ext{T}}}$ wie folgt angegeben:

{displaystyle mathbf {x} ={ egin{bmatrix}x_{1};x_{2};dots ;x_{m}end{bmatrix}}qquad mathbf {x} ^{m {T}}={ egin{bmatrix }x_{1},x_{2},Punkte,x_{m}Ende{bmatrix}}}

Beziehung zum internen Produkt

Betrachtet man zwei Vektoren ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ in einem euklidischer Raum wenn Spaltenvektoren, dann ist es internes Produkt davon gleich dem Matrixprodukt der transponierten von ${Anzeigestil x}$ mit ${Anzeigestil y}$ . wenn