WikiDer > Теорема Зейферта – ван Кампена

В математика, то Теорема Зейферта – ван Кампена из алгебраическая топология (названный в честь Герберт Зайферт и Эгберт ван Кампен), иногда просто называют теорема ван Кампена, выражает структуру фундаментальная группа из топологическое пространство ${ displaystyle X}$ в терминах фундаментальных групп двух открытых, соединенный путём подпространства, покрывающие ${ displaystyle X}$. Поэтому его можно использовать для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.

Теорема Ван Кампена для фундаментальных групп^[1]

Позволять Икс - топологическое пространство, представляющее собой объединение двух открытых и линейно связанных подпространств U₁, U₂. Предположим U₁ ∩ U₂ путь связный и непустой, и пусть Икс₀ быть точкой в U₁ ∩ U₂ который будет использоваться в качестве основы для всех фундаментальных групп. Карты включения U₁ и U₂ в Икс побудить групповые гомоморфизмы ${ displaystyle j_ {1}: pi _ {1} (U_ {1}, x_ {0}) to pi _ {1} (X, x_ {0})}$ и ${ displaystyle j_ {2}: pi _ {1} (U_ {2}, x_ {0}) to pi _ {1} (X, x_ {0})}$. потом Икс связан ли путь и ${ displaystyle j_ {1}}$ и ${ displaystyle j_ {2}}$ образуют коммутатив выталкивание диаграмма:

естественный морфизм k является изоморфизмом, то есть фундаментальной группой Икс это бесплатный продукт фундаментальных групп U₁ и U₂ с объединением ${ displaystyle pi _ {1} (U_ {1} cap U_ {2}, x_ {0})}$.^[2]

Обычно морфизмы, индуцированные включением в эту теорему, сами по себе не инъективны, и более точная версия утверждения выражается в терминах выталкивания групп.

Теорема ван Кампена для фундаментальных группоидов

К сожалению, приведенная выше теорема не вычисляет фундаментальную группу окружности, которая является наиболее важным базовым примером в алгебраической топологии. Причина в том, что круг не может быть реализован как объединение двух открытых множеств со связным пересечением. Эту проблему можно решить, работая с фундаментальный группоид ${ displaystyle pi _ {1} (X, A)}$ на установить A базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации. Таким образом, для круга используются две базовые точки.^[3]

Эта группоид состоит из гомотопических классов относительно конечных точек путей в Икс точки соединения А ∩ Икс. В частности, если Икс стягиваемое пространство, и А состоит из двух различных точек Икс, тогда ${ displaystyle pi _ {1} (X, A)}$ легко увидеть, что он изоморфен группоиду, который часто пишут ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ с двумя вершинами и ровно одним морфизмом между любыми двумя вершинами. Этот группоид играет роль в теории группоидов, аналогичную роли группы целых чисел в теории групп.^[4] Группоид ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ также позволяет группоидам понятие гомотопии: это объект единичного интервала в категории группоидов.

Связное объединение двух несвязных пространств с множеством базовых точек

Категория группоидов допускает все копределы и, в частности, все выталкивания.

Теорема. Пусть топологическое пространство Икс покрыты внутренностями двух подпространств Икс₁, Икс₂ и разреши А быть набором, который встречает каждый компонент пути Икс₁, Икс₂ и Икс₀ = Икс₁ ∩ Икс₂. потом А встречает каждый компонент пути Икс и диаграмма п морфизмов, индуцированных включением

представляет собой выталкивающую диаграмму в категории группоидов.^[5]

Эта теорема дает переход от топологии к алгебре, полностью определяя фундаментальный группоид ${ displaystyle pi _ {1} (X, A)}$; затем нужно использовать алгебру и комбинаторику, чтобы определить фундаментальную группу в некоторой базовой точке.

Одна из интерпретаций теоремы состоит в том, что она вычисляет гомотопические 1-типы. Чтобы убедиться в его полезности, можно легко найти случаи, когда Икс является связным, но представляет собой объединение внутренних частей двух подпространств, каждое из которых содержит, скажем, 402 компонента пути и пересечение которых имеет, скажем, 1004 компонента пути. Интерпретация этой теоремы как вычислительного инструмента для «фундаментальных групп» требует некоторого развития «комбинаторной теории группоидов».^[6][7] Из этой теоремы следует вычисление фундаментальной группы круга как группы целых чисел, поскольку группа целых чисел получается из группоида ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ идентифицируя в категории группоидов две его вершины.

Существует версия последней теоремы, когда Икс покрыт союзом интерьеров семьи ${ displaystyle {U _ { lambda}: lambda in Lambda }}$ подмножеств.^[8][9]

Напрашивается вывод, что если А встречает каждую компоненту пути всех 1,2,3-кратных пересечений множеств ${ displaystyle U _ { lambda}}$, тогда А отвечает всем компонентам пути Икс и диаграмма

${ displaystyle bigsqcup _ {( lambda, mu) in Lambda ^ {2}} pi _ {1} (U _ { lambda} cap U _ { mu}, A) rightrightarrows bigsqcup _ { lambda in Lambda} pi _ {1} (U _ { lambda}, A) rightarrow pi _ {1} (X, A)}$

морфизмов, индуцированных включениями, есть уравнитель в категории группоидов.

[...] люди по-прежнему упорно сохраняются, при расчете с основными группами, при установлении единой базовой точки, вместо того, чтобы умело выбирая весь пакет точек, инвариантного относительно симметрий ситуации, которая, таким образом, заблудиться на пути. В определенных ситуациях (например, теоремы спуска для фундаментальных групп а ля ван Кампен) гораздо элегантнее, даже незаменим для понимания чего-либо, работать с фундаментальными группоидами относительно подходящего пакета базовых точек [...]

— Александр Гротендик, Программа Esquisse d'un (Раздел 2, английский перевод)

Эквивалентные составы

На языке комбинаторная теория групп, если ${ displaystyle X}$ - топологическое пространство; ${ displaystyle U}$ и ${ displaystyle V}$ - открытые линейно связные подпространства в ${ displaystyle X}$; ${ Displaystyle U cap V}$ непусто и линейно связно; и ${ displaystyle w in U cap V}$; тогда ${ displaystyle pi _ {1} (X, w)}$ это бесплатный продукт с амальгамированием из ${ displaystyle pi _ {1} (U, w)}$ и ${ displaystyle pi _ {1} (V, w)}$, относительно (не обязательно инъективных) гомоморфизмов ${ Displaystyle I: pi _ {1} (U cap V, w) to pi _ {1} (U, w)}$ и ${ Displaystyle J: pi _ {1} (U cap V, w) to pi _ {1} (V, w)}$. Данный групповые презентации:

${ displaystyle { begin {align} pi _ {1} (U, w) & = langle u_ {1}, cdots, u_ {k} mid alpha _ {1}, cdots, alpha _ {l} rangle pi _ {1} (V, w) & = langle v_ {1}, cdots, v_ {m} mid beta _ {1}, cdots, beta _ {n} rangle pi _ {1} (U cap V, w) & = langle w_ {1}, cdots, w_ {p} mid gamma _ {1}, cdots, гамма _ {q} rangle end {выровненный}}}$

объединение может быть представлено^[10] так как

${ displaystyle pi _ {1} (X, w) = left langle u_ {1}, cdots, u_ {k}, v_ {1}, cdots, v_ {m} left | alpha _ {1}, cdots, alpha _ {l}, beta _ {1}, cdots, beta _ {n}, I (w_ {1}) J (w_ {1}) ^ {- 1} , cdots, I (w_ {p}) J (w_ {p}) ^ {- 1} right. right rangle.}$

В теория категорий, ${ Displaystyle pi _ {1} (X, ш)}$ это выталкиваниев категории групп диаграммы:

${ Displaystyle pi _ {1} (U, w) получает pi _ {1} (U cap V, w) to pi _ {1} (V, w).}$

Примеры

2-сфера

Можно использовать теорему Ван Кампена для вычисления фундаментальных групп топологических пространств, которые можно разложить на более простые пространства. Например, рассмотрим сферу ${ Displaystyle S ^ {2}}$. Выберите открытые наборы ${ Displaystyle А = S ^ {2} setminus {п }}$ и ${ Displaystyle В = S ^ {2} setminus {s }}$ где п и s обозначают северный и южный полюса соответственно. Тогда у нас есть свойство, что А, B и А ∩ B являются связными множествами с открытым путем. Таким образом, мы видим, что существует коммутативная диаграмма, включающая А ∩ B в А и B а затем еще одно включение из А и B в ${ Displaystyle S ^ {2}}$ и что существует соответствующая диаграмма гомоморфизмов между фундаментальными группами каждого подпространства. Применение теоремы Ван Кампена дает результат

${ displaystyle pi _ {1} (S ^ {2}) = pi _ {1} (A) cdot pi _ {1} (B) / ker ( Phi).}$

Однако А и B оба гомеоморфны р² который является односвязным, поэтому оба А и B имеют тривиальные фундаментальные группы. Отсюда ясно, что основная группа ${ Displaystyle S ^ {2}}$ тривиально.

Сумма пробелов клина

Учитывая два заостренные места ${ Displaystyle (Х, х)}$ и ${ displaystyle (Y, y)}$ мы можем сформировать их сумма клина, ${ displaystyle (X vee Y, p)}$, взяв частное ${ Displaystyle X coprod Y}$ путем определения двух своих базовых точек.

Если ${ displaystyle x}$ допускает стягиваемую открытую окрестность ${ Displaystyle U подмножество X}$ и ${ displaystyle y}$ допускает стягиваемую открытую окрестность ${ Displaystyle V подмножество Y}$ (что имеет место, например, если ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ находятся Комплексы CW), то мы можем применить теорему ван Кампена к ${ displaystyle X vee Y}$ принимая ${ displaystyle X vee V}$ и ${ displaystyle U vee Y}$ как два открытых множества, и мы заключаем, что фундаментальной группой клина является бесплатный продукт фундаментальных групп двух пространств, с которых мы начали:

${ displaystyle pi _ {1} (X vee Y, p) cong pi _ {1} (X, x) * pi _ {1} (Y, y)}$.

Ориентируемые поверхности рода g

Более сложный пример - вычисление фундаментальной группы род п ориентируемая поверхность S, иначе известный как род n поверхностная группа. Можно построить S используя его стандартный фундаментальный многоугольник. Для первого открытого набора А, выберите диск в центре многоугольника. Выбирать B быть дополнением в S центральной точки А. Тогда пересечение А и B кольцо, которое, как известно, гомотопический эквивалент к кругу (и поэтому имеет ту же фундаментальную группу, что и). потом ${ Displaystyle pi _ {1} (A cap B) = pi _ {1} (S ^ {1})}$, который является целым числом, и ${ Displaystyle pi _ {1} (A) = pi _ {1} (D ^ {2}) = {1}}$. Таким образом, включение ${ displaystyle pi _ {1} (A cap B)}$ в ${ Displaystyle pi _ {1} (А)}$ отправляет любой генератор в тривиальный элемент. Однако включение ${ displaystyle pi _ {1} (A cap B)}$ в ${ Displaystyle pi _ {1} (В)}$ нетривиально. Чтобы понять это, сначала нужно вычислить ${ Displaystyle pi _ {1} (В)}$. Это легко сделать, как можно деформационный отвод B (который S с удалением одной точки) на ребра, помеченные

${ displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1}.}$

Это пространство известно как сумма клина из 2п круги (также называемые букет кругов), фундаментальная группа которого, как известно, изоморфна группе свободная группа с 2п генераторы, которые в данном случае могут быть представлены самими ребрами: ${ Displaystyle {A_ {1}, B_ {1}, cdots, A_ {n}, B_ {n} }}$. Теперь у нас достаточно информации, чтобы применить теорему Ван Кампена. Генераторы - это петли ${ Displaystyle {A_ {1}, B_ {1}, cdots, A_ {n}, B_ {n} }}$ (А односвязен, поэтому он не вносит никаких генераторов) и существует ровно одно отношение:

${ displaystyle A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} A_ {2} B_ {2} A_ {2} ^ {- 1} B_ {2} ^ {- 1} cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} = 1.}$

Используя образующие и соотношения, эта группа обозначается

${ displaystyle left langle A_ {1}, B_ {1}, cdots, A_ {n}, B_ {n} left | A_ {1} B_ {1} A_ {1} ^ {- 1} B_ {1} ^ {- 1} cdots A_ {n} B_ {n} A_ {n} ^ {- 1} B_ {n} ^ {- 1} right. Right rangle.}$

Простая связность

Если Икс это пространство, которое можно записать как объединение двух открытых односвязный наборы U и V с участием U ∩ V непустой и соединенный путём, тогда Икс просто связано.^[11]

Обобщения

Как объяснялось выше, эта теорема была расширена Рональд Браун в несвязный случай с помощью фундаментального группоида ${ displaystyle pi _ {1} (X, A)}$ на съемочной площадке А базовых точек. Теорема для произвольных покрытий с ограничением А удовлетворяет всем тройным пересечениям множеств покрытия, это дано в статье Брауна и Абдула Разака Саллеха.^[12] Теорема и доказательство для фундаментальной группы, но с использованием некоторых методов группоидов, также приведены в Дж. Питер Мэйкнига.^[13] Версия, допускающая более двух перекрывающихся наборов, но с А синглтон также дается в Аллен Хэтчеркнига ниже, теорема 1.20.

Приложения фундаментального группоида на множестве базовых точек к Теорема Жордана, покрытия пространства, и орбитальные пространства приведены в книге Рональда Брауна.^[14] В случае пространств орбит удобно взять А чтобы включить все фиксированные точки действия. Примером может служить действие сопряжения на круге.

Ссылки на многомерные версии теоремы, дающие некоторую информацию о гомотопических типах, приведены в статье о многомерных теориях групп и группоидах.^[15] Таким образом, двумерная теорема ван Кампена, которая вычисляет неабелевы вторые относительные гомотопические группы, была дана Рональдом Брауном и Филипом Дж. Хиггинсом.^[16] Полный отчет и расширение всех измерений даны Брауном, Хиггинсом и Рафаэлем Сиверой,^[17] в то время как расширение п-кубов пространств дан Рональдом Брауном и Жан-Луи Лоде.^[18]

Фундаментальные группы также появляются в алгебраическая геометрия и являются основной темой Александр Гротендикпервый Séminaire de géométrie algébrique (SGA1). Там появляется версия теоремы ван Кампена, которая доказывается совершенно иным путем, чем в алгебраической топологии, а именно теорией спуска. Аналогичное доказательство работает в алгебраической топологии.^[19]

Смотрите также

• Многомерная алгебра
• Теория высших категорий
• Псевдокружность
• Рональд Браун (математик)

Заметки

использованная литература

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. (2002) Cambridge University Press, Кембридж, xii + 544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0
• Питер Мэй, Краткий курс алгебраической топологии. (1999) Издательство Чикагского университета, ISBN 0-226-51183-9 (В разделе 2.7 дается теоретико-категориальное представление теоремы как копредел в категории группоидов).
• Рональд Браун, Группоиды и теорема Ван Кампена, Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 17 (1967) 385-401.
• Обсуждение Mathoverflow по многим базовым моментам
• Рональд Браун, Топология и группоиды (2006) ООО «Буксург» ISBN 1-4196-2722-8
• Р. Браун и А. Разак, Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств, Архив. Математика. 42 (1984) 85-88. (В этой статье дается, вероятно, оптимальная версия теоремы, а именно группоидная версия теоремы для произвольного открытого покрытия и набора базовых точек, которые пересекают каждую компоненту пути каждого 1-2-3-кратного пересечения множеств крышка.)
• П.Дж. Хиггинс, Категории и группоиды (1971) Ван Ностранд Рейнхольд
• Рональд Браун, Теория многомерных групп (2007) (Дает общее представление о многомерных теоремах Ван Кампена, включающих несколько группоидов).
• Гринберг, Марвин Дж .; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология. Первый курс, Серия лекций по математике, 58, Бенджамин / Каммингс, ISBN 0805335579
• Зейферт, Х., Konstruction drei Dimensaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Акад. Лейпциг, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• Э. Р. ван Кампен. О связи между фундаментальными группами некоторых родственных пространств. Американский журнал математики, вып. 55 (1933), стр. 261–267.
• Браун Р., Хиггинс П. Дж., О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств, Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 36 (1978) 193–212.
• Браун, Р., Хиггинс, П. Дж., Сивера, Р., 2011 г., EMS Tracts in Mathematics Vol.15 (2011) Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды; (В первой из трех частей обсуждаются приложения 1- и 2-мерной версии теоремы Зейферта – ван Кампена. Последняя позволяет вычислять неабелевы вторые относительные гомотопические группы и, фактически, гомотопические 2-типы. Вторая часть применяется теорема Ван Кампена о высшей гомотопии для скрещенных комплексов, доказанная в части III.)
• "Результат теоремы Ван Кампена". PlanetMath.
• Р. Браун, Х. Кампс, Т. Портер: Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства II: теорема Ван Кампена », Теория и приложения категорий, 14 (2005) 200–220.
• Дилан Г.Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема ван Кампена (Обсуждает обобщенные версии теоремы ван Кампена применительно к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
• Р. Браун и Ж.-Л. Лодей, `` Теоремы Ван Кампена для диаграмм пространств, Топология 26 (1987) 311–334.

В этой статье использованы материалы из Теорема Ван Кампена на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.