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Smithkaart

EIN Smith-Karte, Smith-Diagramm oder Smith-Diagramm, entwickelt von Phillip H. Smith, ist in der Praxis der Übertragungsleitungen ein Nomogramm zum Umwandeln der beiden Komplex Parameter von der Linie, die Reflexionsfaktor ${Anzeigestil Gamma }$ und der Impedanz ${Anzeigestil Z}$ .

Berechnung der Eingangsimpedanz ${displaystyle Z_{i}}$ , der mit der Lastimpedanz ${displaystyle Z_{L}}$ verwandt durch die Beziehung:

{displaystyle Z_{i}=Z_{0}{frac {Z_{L} Z_{0} anh(gamma L)}{Z_{0} Z_{L} anh(gamma L)}}}

,

war in der Vergangenheit, vor der Verwendung Computers, eine mühsame Aufgabe für die "manuelle" Berechnung. Heutige Computer führen eine solche Berechnung beispielsweise mit Programmen wie Ahorn oder Excel leicht, so dass die Verwendung von Smith-Karten in der Praxis mehr oder weniger obsolet ist.

Es stellte sich jedoch heraus, dass es eine relativ einfache grafische Methode gibt, die sogenannte Smith-Map, die auf der Beziehung zwischen der Impedanz ${Anzeigestil Z}$ und der Reflexionskoeffizient ${Anzeigestil Gamma }$ an jedem Punkt der Linie.

{displaystyle Z=Z_{0}{frac {1 Gamma }{1-Gamma }}}

und umgekehrt

{displaystyle Gamma ={frac {Z-Z_{0}}{Z Z_{0}}}}

Das Verfahren ermittelt über geeignete Kreiskoordinaten den entsprechenden Reflexionskoeffizienten am Leitungsende an der Lastimpedanz. Der Reflexionskoeffizient am Anfang der Linie kann dann einfach durch die Beziehung bestimmt werden:

{displaystyle Gamma _{0}=Gamma _{L}e^{-2gamma L}}

,

was bei verlustfreien Leitungen nur eine durch die Länge bestimmte Phasenverschiebung bedeutet. Anschließend wird die diesem Reflexionskoeffizienten zugeordnete Eingangsimpedanz wieder aus den Kreiskoordinaten gelesen.

Hintergrund Smith-Karte

Im Folgenden verwenden wir immer die relative Impedanz

{displaystyle z={frac {Z}{Z_{0}}}}

Das Nomogramm basiert auf den folgenden Beobachtungen:

Name

{Anzeigestil Gamma = x jy}

und

{displaystyle z=r ji}

dann ist:

{displaystyle z=r ji={frac {1 Gamma }{1-Gamma }}={frac {1 x jy}{1-x-jy}}={frac {1-x^{2}-y^{ 2} 2jy}{(1-x)^{2}y^{2}}}}

So

{displaystyle r={frac {1-x^{2}-y^{2}}{(1-x)^{2} y^{2}}}}

und

{displaystyle i={frac {2y}{(1-x)^{2} y^{2}}}}

Was bedeutet

{displaystyle r(1-x)^{2} ry^{2}=1-x^{2}-y^{2}}

oder sonst geschrieben:

{displaystyle left({frac {1}{1 r}}ight)^{2}=left(x-{frac {r}{1 r}}ight)^{2} y^{2}}

für fest ${displaystyle r}$ Sind das Kreise um die Mitte? ${displaystyle({frac {r}{1 r}},0)}$ mit Radius ${displaystyle {frac {1}{1r}}}$ .

Ebenso ist:

{Anzeigestil i(1-x)^{2} iy^{2}=2y}

oder sonst geschrieben:

{displaystyle left({frac {1}{i}}ight)^{2}=(x-1)^{2} left(y-{frac {1}{i}}ight)^{2}}

für fest ${Anzeigestil i}$ Sind das Kreise um die Mitte? ${Anzeigestil (1.1/i)}$ mit Radius ${displaystyle 1/i}$ .

Abbildung 1. Prinzip einer Smith-Karte

Die obige Abbildung 1 zeigt das Prinzip einer Smith-Karte. In der Abbildung stellen Vollkreise die Werte 0, 0,33, 1 und 3 des Realteils dar ${displaystyle r}$ der Impedanz ${Anzeigestil z}$ . Die Teile von Kreisen "quer" dazu sind die Linien für die Werte 2, 1, 0,5, 0 (=Achse), –0,5, –1 und –2 des Imaginärteils ${Anzeigestil i}$ der Impedanz ${Anzeigestil z}$ .

In der Abbildung ist eine (relative) Impedanz ${Anzeigestil z=0,33 0,5j}$ angegeben, also mit ${displaystyle mathrm {Re} (z)=0.33}$ und ${displaystyle mathrm {Im} (z)=0.5}$ . Der entsprechende Reflexionskoeffizient ${Anzeigestil Gamma }$ kann in den regulären rechtwinkligen Koordinaten gelesen werden, wird aber normalerweise in den Polarkoordinaten gelesen ${Anzeigestil |Gamma |}$ und ${displaystyle arg(Gamma)}$ gegeben. Der absolute Wert ${Anzeigestil |Gamma |}$ kann als Bruchteil des Radius des äußeren Kreises gefunden werden. Es gilt: ${Anzeigestil |Gamma |=0,6}$ und ${displaystyle arg(Gamma)=123^{circ }}$ .

Die folgende Abbildung zeigt eine in der Praxis verwendete Smith-Karte.

Smith-Karte für den praktischen Gebrauch

Anwendung

Für die Anwendung der Smith-Karte wird eine verlustfreie Leitung angenommen, oder eine Leitung, die bei der Signalfrequenz einen rein ohmschen Wellenwiderstand aufweist.

Die Verwendung einer Smith-Karte umfasst im Wesentlichen die folgenden drei Schritte.

Abbildung 2. Verwendung einer Smith-Karte

1.
Die angegebene Impedanz ${Anzeigestil z}$ wird auf dem Kreiskoordinatensystem für den Realteil aufgetragen ${displaystyle r}$ und der Imaginärteil ${Anzeigestil i}$ von ${Anzeigestil z}$ . Im zentralen rechtwinkligen Koordinatensystem bestimmt der eingezeichnete Punkt den Reflexionskoeffizienten ${Anzeigestil Gamma }$ vor dem. Dieses System wird der Einfachheit halber in Polarkoordinaten angegeben und bestimmt somit ${Anzeigestil |Gamma |}$ und ${displaystyle arg(Gamma)}$ . In Abbildung 2 ist die (relative) Impedanz ${Anzeigestil z=0,33 0,5j}$ ausgeschaltet.

2.
Bei einer verlustfreien Linie findet das Umkreisen des Ursprungs im richtigen Winkel den Reflexionskoeffizienten am Anfang (oder an einem anderen Punkt) der Linie. Bei Dämpfung durch die Leitung kann die Größe des Reflexionskoeffizienten angepasst werden. In Abbildung 2 entspricht die Länge der Linie (oder des entsprechenden Teils) einem Winkel ${Displaystil Phi =38,5^{circ }}$ . Durch Umrunden um etwa das Doppelte dieses Winkels wird der Reflexionskoeffizient am Anfang (oder anderswo) der Linie gefunden.

3.
Auf dem Kreiskoordinatensystem ist die entsprechende Impedanz ${displaystyle z'}$ gelesen werden. Im Fall von Abbildung 2 heißt das: ${Displaystil z'=1,25 1,6y}$ .

Kehrwert

Die Smith-Karte kann auch verwendet werden, um von einer (relativen) Impedanz zu konvertieren ${Anzeigestil z}$ der Kehrwert ${Displaystil 1/z}$ zu entscheiden. Schließlich gilt: