WikiDer > Geteilter Körper

In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Spaltkörper von a Polynom mit Koeffizienten in einem Körper (Niederländisch) / Feld (Belgisch)${Anzeigestil K,}$ ein kleinstes Körper-/Felderweiterung des Feldes/Feldes, in dem das Polynom in Linear Faktoren aufgelöst werden kann. Ein Spaltkörper ist also a algebraische Erweiterung von ${Anzeigestil K.}$

Definition

EIN Spaltkörper eines Polynoms ${displaystyle p}$ des Abschlusses ${Anzeigestil n>0}$ über einen Körper ${Anzeigestil K,}$ also mit Koeffizienten in ${Anzeigestil K,}$ ist eine Erweiterung ${Anzeigestil L}$ von ${Anzeigestil K}$ worüber ${displaystyle p}$ kann in lineare Faktoren zerlegt werden und so, dass die Nullstellen ${Anzeigestil (a_{i})}$ der Polynomerweiterung ${Anzeigestil L}$ Über ${Anzeigestil K}$ generieren. d.h.

${displaystyle p(x)=cprod_{i=1}^{n}(x-a_{i}),cin K,a_{1},ldots ,a_{n}in L}$

und

${displaystyle L=K(a_{1},ldots ,a_{n})}$

Ein gespaltener Körper ${Anzeigestil L}$ ist eine Erweiterung des Mindestgrades über ${Anzeigestil K,}$ in welchem ${displaystyle p}$ auseinanderfallen. Es kann gezeigt werden, dass solche Spaltkörper existieren und Isomorphismus nachdem er einzigartig war. Der Freiheitsgrad in diesem Isomorphismus ist bekannt als Galois-Gruppe von ${displaystyle p,}$ Angenommen, die Nullstellen des Polynoms algebraisch sein, also mit Möhren sind zu schreiben.