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In dem abstrakte Algebra, eine Unterregion der Mathematik, ist ein Isomorphismus oder Isomorphismus (Altgriechisch: isos "gleich" und μορφή morph "Form") a bijektivBild${displaystyle f}$ damit beides ${displaystyle f}$ wie seins invers${displaystyle f^{-1}}$homomorph sein, das heißt, strukturerhaltend Bilder.

In der allgemeineren Einstellung der Kategorientheorie ist ein Isomorphismus ein Morphismus${Displaystil-Fkolon X oder Y}$ in einer Kategorie, für die es ein "Inverses" gibt ${displaystyle f^{-1}Doppelpunkt Y oder X}$ existiert, mit der Eigenschaft, dass beide ${displaystyle f^{-1}!f=id_{X}}$ wenn ${displaystyle ff^{-1}=id_{Y}}$.

Informell gesprochen ist ein Isomorphismus eine Art Abbildung zwischen Objekten, die eine Beziehung zwischen zwei Eigenschaften oder Operationen zeigt. Wenn zwischen zwei Strukturen ein Isomorphismus besteht, heißen die beiden Strukturen isomorph. Wenn man bestimmte Details ignoriert, die sich aus der Definition der Strukturen ergeben, dann sind isomorphe Strukturen gewissermaßen baugleich.

Nützlichkeit und Sinn

Isomorphismen werden in der Mathematik studiert, um Erkenntnisse aus einem Phänomen auf ein anderes zu übertragen. Wenn zwei mathematische Objekte isomorph sind, dann gilt jede Eigenschaft, deren Struktur durch einen Isomorphismus erhalten bleibt und die für eines der beiden mathematischen Objekte gilt, auch für das andere mathematische Objekt. Wenn ein Isomorphismus aus einem relativ unbekannten Teil der Mathematik zu einem gut untersuchten Teilgebiet gefunden werden kann, wo bereits viele Sätze bewiesen wurden und viele Methoden zur Verfügung stehen, um Antworten zu finden, dann kann diese isomorphe Funktion verwendet werden, um Probleme aus dem unbekannten Teilgebiet zu lösen ... in der Mathematik, wo man schon "festen Boden unter den Füßen" hat und die Probleme dadurch leichter verstanden und gelöst werden können.

Sonderfälle

Isomorphismen lassen sich am einfachsten definieren, indem man sich konkrete Situationen ansieht:

• In dem Lineare Algebra spricht man von Vektorraum-Isomorphismen. Annehmen ${Anzeigestil V}$ und ${Anzeigestil W}$ zwei Vektorräume sein. Ein Vektorraum-Isomorphismus von ${Anzeigestil V}$ zu ${Anzeigestil W}$ ist dann ein Morphismus von Vektorräumen ${displaystyle fcolon V o W}$, so dass es einen inversen Morphismus von Vektorräumen gibt ${displaystyle gcolon W o V}$ existiert, für die die Relationen erfüllt sind ${displaystyle fcirc g=id_{W}}$ und ${displaystyle gcirc f=id_{V}}$. Insbesondere die Vektorraum-Isomorphismen bijektiv Vektorraummorphismen. Wenn klar ist, dass Vektorräume verwendet werden, spricht man einfach von Morphismen und Isomorphismen.

• In dem Gruppentheorie man spricht von Gruppenisomorphismen oder Isomorphismen von Gruppen. Ein Isomorphismus der Gruppe ${Anzeigestil G}$ zur Gruppe ${Anzeigestil H}$ ist ein Morphismus von Gruppen ${displaystyle fcolon G oder H}$ so dass es einen Morphismus von Gruppen gibt ${displaystyle gcolon Hmapsto G}$ existiert mit ${displaystyle fcirc g=id_{H}}$ und ${displaystyle gcirc f=id_{G}}$.

• Zwei bestellte Kollektionen sind ordnungsisomorph, wenn es eine Bijektion mit entsprechender Ordnung gibt.

• Ganz analog kann man von Isomorphismen von Lügen-Algebras, Lügengruppen, euklidische Räume, Algebras, Felder(B)/Körper(NL), Ringe, Module, usw.

Definition

Annehmen ${Anzeigestil A}$ und ${Anzeigestil B}$ sind zwei Objekte mit ähnlicher Struktur, d. h. sie sind beide Lügenalgebren (oder Körper oder Vektorräume oder anderes). Ein Isomorphismus von ${Anzeigestil A}$ zu ${Anzeigestil B}$ ist dann ein Morphismus ${Anzeigestil A oder B}$ so dass es einen inversen Morphismus gibt ${Displaystil B oder A}$ existiert. Beachten Sie, dass das Wort Morphismus hier in Bezug auf die gewählte Struktur definiert ist.

Zwei Objekte sind isomorph, wenn zwischen ihnen ein Isomorphismus besteht.

Beispiele

• Ein Isomorphismus zwischen zwei metrische Räume heißt a Isometrie.
• Die Isomorphismen zwischen zwei affine euklidische Räume sind die Isometrien bezüglich der zum affinen euklidischen Raum gehörenden Metrik. Sie existieren nur mit gleichem Maße.
• Die Isomorphismen zwischen zwei Euklidische Vektorräume sind nur die Isometrien mit dem Ursprung als Fixpunkt. Sie existieren nur in gleichen Dimensionen.
• Betrachten Sie eine zweidimensionale (real oder komplex) Vektorraum${Anzeigestil V}$. Definiere das Bild von ${Anzeigestil V}$ zu sich selbst, was alle Vektoren mit einem festen Faktor von zwei multipliziert. Dann ist diese Abbildung ein Morphismus des Vektorraums ${Anzeigestil V}$ zu sich selbst. Der inverse Morphismus ist hier der Morphismus, der alle Vektoren durch zwei teilt. Insbesondere haben wir es mit einem Isomorphismus von Vektorräumen zu tun. Wenn sie jedoch euklidische Vektorräume sind, dann sind sie in dieser Eigenschaft nicht isomorph, denn dort sind sie internes Produkt und seine Ableitung Norm Teil der Struktur.
• Betrachten Sie die folgenden Gruppen: die Gruppe der positiven reellen Zahlen, die mit Multiplikation versehen sind, und die Gruppe aller reellen Zahlen, die mit der Addition versehen sind. Dann ist die logarithmische Funktion von der ersten Gruppe zur zweiten Gruppe, ein Isomorphismus von Gruppen. Der inverse Morphismus ist in diesem Fall der bekannte Exponentialfunktion. Außerdem sind die beiden Morphismen auch kontinuierlich (für die offensichtlichen Topologien). Wir haben also insbesondere Isomorphismen von topologische Gruppen.
• In der linearen Algebra ergibt sich folgendes Ergebnis. Zwei endlichdimensionale Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn ihre Dimensionen gleich sind. Diese Aussage muss sicherlich nicht für andere Objekte gelten, wie z Lügenalgebras.
• In einigen Theorien ist ein Isomorphismus nichts anderes als a bijektiv Morphismus. Dies ist beispielsweise bei Gruppen und Vektorräumen der Fall.

Siehe auch

• Morphismus
• Automorphismus
• Endomorphismus
• Kategorie (Mathematik)