WikiDer > Bakers Theorem

In dem Transzendenztheorie, eine Unterregion der Mathematik, gibt dem Bakers Theorem eine untere Grenze für Linearkombinationen von Logarithmen von algebraische Zahlen.

Das Gestell ist bewährt von und benannt nach dem britischMathematikerAlan Baker. Bakers Theorem sammelte viele frühere Ergebnisse der transzendentalen Zahlentheorie und löste ein Problem, das fast fünfzehn Jahre zuvor gestellt worden war. Aleksander Gelfond war gefragt worden. Baker benutzte dies, um die Transzendenz vieler Zahlen zu beweisen, um effektive Grenzen für die Lösungen einiger diophantische Gleichungen und um das Problem zu lösen, alles zu finden imaginärquadratische Felder mit Klassennummer 1.

Geschichte

Zur Vereinfachung der Notation führen wir die Sammlung${Anzeigestil L}$ von von Null verschiedenen Logarithmen algebraische Zahlen, das ist

${displaystyle L={lambda in mathbb {C} :e^{lambda }in {overline {mathbb {Q} }}^{imes }}.}$

Mit dieser Notation lassen sich verschiedene Ergebnisse der transzendentalen Zahlentheorie viel einfacher ausdrücken, zum Beispiel die Satz von Hermite-Lindemann wird die Aussage, dass jedes Nicht-Null-Element von ${Anzeigestil L}$ ist transzendent.

Bewährt 1934 Aleksander Gelfond und Theodor Schneider unabhängig voneinander die Satz von Gelfond-Schneider. Dieses Ergebnis wird üblicherweise wie folgt formuliert: if ${Anzeigestil a}$ algebraisch und ungleich 0 oder 1 und wenn ${displaystyle b}$ algebraisch und irrational ist, dann ${Anzeigestil a^{b}}$ transzendent. In ähnlicher Weise sagt der Satz, dass wenn ${displaystyle lambda_{1}}$ und ${displaystyle lambda_{2}}$ Elemente von ${Anzeigestil L}$ sind diejenigen linear unabhängig über den rationalen Zahlen sind, dass sie über den algebraischen Zahlen linear unabhängig sind. Also wenn ${displaystyle lambda_{1}}$ und ${displaystyle lambda_{2}eq 0}$ Elemente von ${Anzeigestil L}$ sind, dann ist der Quotient ${Displaystil-Lambda _{1}/Lambda _{2}}$ entweder eine rationale oder eine transzendente Zahl, aber es kann keine algebraische irrationale Zahl wie such2 sein.

Während dieses Ergebnis der "rationalen linearen Unabhängigkeit impliziert algebraische lineare Unabhängigkeit" für zwei Elemente von ${Anzeigestil L}$ für sein und Schneiders Ergebnis ausreichen, hielt es Gelfond für entscheidend, dieses Ergebnis auf beliebig viele Elemente auszudehnen ${Anzeigestil L}$. Aus Gelfond, 1952

...man darf annehmen ... dass das drängendste Problem in der Theorie der transzendenten Zahlen die Untersuchung der Transzendenzmaße endlicher Mengen von Logarithmen algebraischer Zahlen ist.

Dieses Problem wurde vierzehn Jahre später von Alan Baker gelöst und hat seitdem zahlreiche Anwendungen nicht nur in der Transzendenztheorie, sondern auch in der algebraische Zahlentheorie und das Studium von diophantische Gleichungen. Baker bekam das 1970 Feldmedaille sowohl für diese Arbeit als auch für ihre Anwendungen in den diophantischen Gleichungen.

Gestell

Mit der obigen Notation ist der Satz von Baker eine Verallgemeinerung des Satzes von Gelfond-Schneider. Konkret lautet die Erklärung wie folgt:

wenn ${displaystyle lambda _{1},ldots lambda _{n}}$ Elemente von ${Anzeigestil L}$ über den rationalen Zahlen linear unabhängig sind, dann gilt für alle algebraischen Zahlen ${displaystyle eta _{0}, eta _{1},ldots eta _{n}}$ die nicht alle gleich 0 sind, haben wir
${Displaystil-Quad | eta _{0} eta _{1}lambda _{1} ldots eta _{n}lambda _{n}|>H^{-C}}$
in welchem ${Anzeigestil H}$ das Maximum der Höhen des ${displaystyle eta }$'s und ${Anzeigestil C}$ ist eine effektive berechenbare Zahl, die von abhängt ${displaystyle n,}$ das ${ Anzeigestil Lambda }$'s und das Maximum ${displaystyle d}$ der Grade von ${displaystyle eta }$s. (Wenn ${displaystyle eta_{0}}$ ungleich Null ist, die Annahme, dass die ${ Anzeigestil Lambda }$s sind linear unabhängig, verfallen). Insbesondere ist diese Zahl ungleich Null, also sind 1 und de ${ Anzeigestil Lambda }$s linear unabhängig über die algebraischen Zahlen.