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In dem Lineare Algebra ist ein lineare Kombination${Anzeigestil w}$ von endlich viel Elemente${Displaystil u_{1},u_{2},Punkte,u_{n}}$ von einem Vektorraum${Anzeigestil V}$ über einen Körper (Ned) / Feld (Be)${Anzeigestil K}$, ein Summe von Vielfaches dieser Elemente. Genauer genannt ${Anzeigestil w}$ eine Linearkombination von ${Displaystil u_{1},u_{2},Punkte,u_{n}}$ wenn:

${displaystyle w=a_{1}u_{1} a_{2}u_{2} Punkte a_{n}u_{n}=Summe _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}qquad quad mathrm {with} quad a_{i}in K}$

Die Linearkombinationen der Vektoren${Displaystil u_{1},u_{2},Punkte,u_{n}}$ bilden genau die linearer Unterraum die durch diese Vektoren dargestellt wird hervorgebracht.

Auch für eine zufällige Teilmenge${Displaystil Usubset V}$ heiß ${Anzeigestil w}$ ein lineare Kombination von ${Displaystil U}$ wenn ${Anzeigestil w}$ ist eine Linearkombination endlich vieler Elemente aus ${Displaystil U}$.

Auch in diesem Fall sind die Linearkombinationen der Vektoren aus ${Displaystil U}$ der durchlaufende lineare Unterraum ${Displaystil U}$ ist erzeugt.

Beispiele und Gegenbeispiele

lass den Körper ${Anzeigestil K}$ das Sammlung${displaystyle mathbb {R} }$ des reale Nummern sei und sei der Vektorraum ${Anzeigestil V}$ das Euklidischer Raum${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ sein. Betrachten Sie die Vektoren

${displaystyle e_{1}=(1,0,0),e_{2}=(0,1,0)}$ und ${displaystyle e_{3}=(0,0,1)}$.

Dann ist jeder Vektor in ${displaystyle mathbb {R} ^{3}}$ eine Linearkombination von ${displaystyle e_{1},e_{2}}$ und ${displaystyle e_{3}}$.

Um dies zu sehen, nimm einen beliebigen Vektor ${displaystyle a=(1,2,3)in mathbb {R} ^{3}}$, und schreibe:

${displaystyle a=(a_{1},a_{2},a_{3})=(a_{1},0,0) (0,a_{2},0) (0,0,a_{3} )=a_{1}(1,0,0) a_{2}(0,1,0) a_{3}(0,0,1)=a_{1}e_{1} a_{2}e_{ 2} a_{3}e_{3}.}$

Der Vektor ${displaystyle e_{3}}$ ist jedoch keine Linearkombination von ${displaystyle e_{1}}$ und ${displaystyle e_{2}}$. Es gibt keine Zahlen ${displaystyle a_{1}}$ und ${displaystyle a_{2}}$ Wofür

${displaystyle e_{3}=(0,0,1)=a_{1}e_{1} a_{2}e_{2}=a_{1}(1,0,0) a_{2}(0, 1.0)=(a_{1},a_{2},0)}$