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In dem Zahlentheorie, eine Unterregion der Mathematik, untersucht die Transzendenztheorie sowohl qualitativ als auch quantitativ die transzendente Zahlen.

Transzendenz

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Das Fundamentalsatz der Algebra sagt uns, dass wenn eins ungleich Null ist Polynom mit Ganzzahl Koeffizienten hat, dass dieses Polynom dann mindestens eins hat Komplex hat Wurzel. Das heißt, für jedes Polynom ${Anzeigestil P}$ mit ganzzahligen Koeffizienten gibt es eine komplexe Zahl ${displaystyle alpha }$ ist, so dass ${Anzeigestil P(alpha)=0}$. Die Transzendenztheorie beschäftigt sich mit der umgekehrten Frage: Gibt es eine gegebene komplexe Zahl? ${displaystyle alpha }$, ein Polynom ${Anzeigestil P}$ mit ganzzahligen Koeffizienten, so dass ${Anzeigestil P(alpha)=0}$? Existiert kein solches Polynom, heißt die Zahl transzendent.

Allgemeiner gesagt handelt es sich bei der Transzendenztheorie um algebraische Unabhängigkeit von Zahlen. Eine Sammlung von Zahlen ${displaystyle {alpha _{1},alpha _{2},ldots ,alpha _{n}}}$ heißt algebraisch unabhängig über a Feld${Anzeigestil K}$, falls es kein von Null verschiedenes Polynom gibt ${Anzeigestil P}$ im ${displaystyle n}$ Variablen existiert mit Koeffizienten in ${Anzeigestil K}$ so dass ${Anzeigestil P(alpha_{1},alpha_{2},ldots,alpha_{n})=0}$. Die Bestimmung, ob eine gegebene Zahl transzendent ist, ist ein Spezialfall der algebraischen Unabhängigkeit, bei dem die Menge nur aus einer Zahl besteht.

Ein verwandtes, aber breiteres Konzept als "algebraisch" ist, ob es einen geschlossenen Ausdruck für eine Zahl gibt, einschließlich exponentieller, logarithmischer und algebraischer Operationen. Es gibt mehrere Definitionen von "geschlossener Form", und Fragen zur geschlossenen Form können oft auf Fragen zur Transzendenz reduziert werden.

Geschichte

Ansatz mit rationalen Zahlen: von Liouville bis Roth

Verwendung des Begriffs transzendent sich auf ein Objekt zu beziehen, das nicht algebraisch ist, stammt aus dem 17. Gottfried Leibniz bewiesen, dass die Sinusfunktion Nein algebraische Funktion früher gewesen.^[1] Die Frage, ob bestimmte Zahlenklassen transzendent sein können, stammt aus dem Jahr 1748^[2] dann Leonhard Euler^[3] dass die Zahl ${Displaystyle-Log _{a}b}$ war nicht algebraisch für Rationale Zahlen${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$, unter der Vorraussetzung, dass ${displaystyle b}$ nicht von der Form ${displaystyle b=a^{c}}$ ist für jede algebraische Zahl ${Anzeigestil c}$.

Eulers Behauptung wurde erst im 20. Jahrhundert bewiesen, aber fast hundert Jahre nachdem seine Behauptung erfolgreich war Joseph Liouville darin, die Existenz von Zahlen zu beweisen, die nicht algebraisch sind, was bis dahin nicht sicher war. Seine ursprünglichen Artikel zu diesem Thema in den 1840er Jahren skizzierten Argumente unter Verwendung von Kettenbrüche transzendente Zahlen zu konstruieren. Später, in den 1850er Jahren, gab er a notwendige Bedingung dass eine Zahl algebraisch ist, und somit eine hinreichende Bedingung dafür, dass eine Zahl transzendent ist.^[4] Dieses Transzendenzkriterium war jedoch nicht stark genug, um notwendig zu sein, und tatsächlich erkennt dieses Kriterium nicht, dass die Zahl ${displaystyle e}$ ist transzendent. Aber Liouvilles Arbeit sah eine größere Klasse transzendenter Zahlen vor, die jetzt zu seinen Ehren bekannt sind als Liouville-Zahlen.

Das Kriterium von Liouville besagt im Wesentlichen, dass algebraische Zahlen nicht sehr gut durch rationale Zahlen angenähert werden können. Wenn also eine Zahl durch rationale Zahlen sehr gut approximiert werden kann, dann muss sie transzendent sein. Die genaue Bedeutung von "sehr gut angenähert" in Liouvilles Werk bezieht sich auf einen bestimmten Exponenten. Er hat gezeigt, dass wenn ${displaystyle alpha }$ ein algebraische Zahl des Grades ${displaystyle dgeq 2}$ ist und ${Anzeigestil Varepsilon }$ ist eine beliebige Zahl größer als Null, die die Ausdruck

${displaystyle left|alpha -{frac {p}{q}}ight|<{frac {1}{q^{d varepsilon }}}}$

dann kann es nur von einem befriedigt werden endlich Anzahl rationaler Zahlen ${displaystyle p/q}$. Dies als Transzendenzkriterium zu verwenden ist nicht trivial, da zu prüfen ist, ob es unendlich viele Lösungen ${Anzeigestil p/q}$ für jedes ${displaystyle dgeq 2}$ sein.

Im zwanzigsten Jahrhundert, Arbeit von Axel Thue,^[5]Carl Siegel,^[6] und Klaus Roth^[7] der Exponent in Liouvilles Werk von ${displaystyle d varepsilon }$ zu ${displaystyle d/2 1 varepsilon }$, und schließlich 1955 zu ${Displaystil 2 Varepsilon }$. Dieses Ergebnis, bekannt als Thue-Siegel-Roth .theorem, ist anscheinend das bestmögliche, denn wenn der Exponent ${Displaystil 2 Varepsilon }$ nur durch 2 ersetzt wird, ist das Ergebnis nicht mehr wahr. Serge Lang vermutete jedoch eine Verbesserung von Roths Ergebnis; insbesondere vermutete er, dass ${displaystyle q^{2} varepsilon }$ im Nenner rechts kann auf could reduziert werden ${displaystyle q^{2}log(q)^{1 varepsilon}}$.

Roths Arbeit beendete effektiv die Arbeit, die Liouville über hundert Jahre zuvor begonnen hatte. Roths Theorem ermöglichte es Mathematikern, die Transzendenz vieler weiterer Zahlen zu betrachten, wie z Champernowne-Konstante beweisen. Die Aussage ist jedoch immer noch nicht stark genug, um alle transzendente Zahlen erkennen; viele berühmte Konstanten einschließlich ${displaystyle e}$ und ${Anzeigestil pi}$ sind entweder nicht sehr zugänglich oder es ist nicht bekannt, ob sie im obigen Sinne sehr zugänglich sind.^[8]

Unterstützungsfunktionen: von Hermite bis Baker

Glücklicherweise wurden im 19. Jahrhundert auch andere Methoden entwickelt, um mit den algebraischen Eigenschaften von zu arbeiten ${displaystyle e}$, und damit auch von ${Anzeigestil pi}$, aufzumachen. Sie benutzten die Identität von Euler vor dem. Diese Arbeit konzentrierte sich auf die Verwendung der sog Unterstützungsfunktion. Diese sind Funktionen, die normalerweise viele Nullen auf dem hat Punkte in Betracht gezogen haben. Hier kann "viele Nullen" wörtlich viele Nullen bedeuten, aber auch nur eine Null, aber mit einem hohen Vielzahl, oder sogar viele Nullen alle mit hoher Multiplizität. Charles Hermite Verwendete Unterstützungsfunktionen im Jahr 1873, die die Funktionen sind ${displaystyle e^{kx}}$ für jeden der natürliche Zahlen${displaystyle k}$ damit die Transzendenz von ${displaystyle e}$ beweisen.^[9] Seine Arbeit wurde in den 1880er Jahren von aufgebaut Ferdinand von Lindemann.^[10] Lindemann wollte das beweisen ${displaystyle e^{alpha }}$ transzendent für nicht nullzer algebraische Zahlen${displaystyle alpha }$. Dies hat insbesondere bewiesen, dass ${Anzeigestil pi}$ ist transzendent, da ${displaystyle e^{pi }}$ ist algebraisch, also antwortete er die Frage aus der Antike ob es möglich war oder nicht Kreis zu Quadrat. Die Antwort war nein. Karl Weierstraße entwickelte diese Arbeit noch weiter und bewies schließlich 1885 die Lindemann-Weierstrass-Theorem.^[11]

Im Jahr 1900 postuliert David Hilbert sind berühmt 23 Probleme. Es Hilberts siebtes Problem war laut Hilbert eine der schwierigsten. In dieser siebten Aufgabe fragte sich Hilbert, ob Zahlen der Form ${Anzeigestil a^{b}}$, wahr ${Anzeigestil a}$ und ${displaystyle b}$ algebraisch sein, ${Anzeigestil a}$ ungleich null oder eins ist, und ${displaystyle b}$ ist irrational, transzendent zu sein. Bewährt in den 1930er Jahren Aleksander Gelfond^[12] und Theodor Schneider^[13] dass all diese Zahlen tatsächlich transzendent waren. Sie nutzten eine nicht explizit unterstützte Funktion, deren Existenz durch die Siegels Lemma. Dieses Ergebnis, die Satz von Gelfond-Schneider, bewies die Transzendenz von Zahlen, wie z ${displaystyle e^{pi }}$ und der Gelfond-Schneider-Konstante.

Der nächste große Durchbruch auf diesem Gebiet erfolgte in den 1960er Jahren, als Alan Baker Fortschritte bei einem Problem gemacht, das Gelfond angesprochen hat lineare Formen in Logarithmen. Gelfond selbst hatte es geschafft, eine nicht triviale Untergrenze für Größe zu finden

${Anzeigestil | eta _{1}log alpha _{1} eta _{2}log alpha _{2}|}$,

wobei alle vier Unbekannten algebraisch sind, die ${displaystyle alpha }$ist weder null noch eins und die ${displaystyle eta }$irrational zu sein. Gelfond konnte jedoch keine ähnlichen unteren Schranken für die Summe von drei oder mehr Logarithmen finden. Der Beweis für die Bakers Theorem enthalten solche Grenzen. Als Nebenprodukt hat Baker es gelöst Klassennummernproblem von Gauss für Klasse Nummer eins. Für diese Arbeit gewann Baker den Fields-Medaille für seine Verwendung bei der Lösung diophantische Gleichungen. Aus rein transzendenter zahlentheoretischer Sicht hatte Baker bewiesen, dass wenn ${displaystyle alpha _{1},ldots ,alpha _{n}}$ sind algebraische Zahlen, keine davon ist null oder eins, und das ${displaystyle eta _{1},ldots , eta _{n}}$ sind algebraische Zahlen mit ${displaystyle 1, eta _{1},ldots , eta _{n}}$linear unabhängig über den rationalen Zahlen liegen, dass dann die Zahl

${displaystyle alpha _{1}^{ eta _{1}}alpha _{2}^{ eta _{2}}cdot ldots cdot alpha _{n}^{eta _{n}}}$

ist transzendent.^[14]

Andere Techniken: von Cantor bis Zilber

In den 1870er Jahren begann George Cantor mit der Entwicklung seiner Mengenlehre. Im Jahr 1874 veröffentlichte Cantor einen Artikel, in dem er bewiesen dass die algebraische Zahlen in einem Eins-zu-eins-Korrespondenz mit der Sammlung der natürliche Zahlen gebracht werden kann und dass die Abholung der transzendente Zahlen So unzählbar muss sein.^[15] Später, im Jahr 1891, benutzte Cantor sein berühmteres diagonales Argument um das gleiche Ergebnis zu beweisen.^[16] Obwohl Cantors Ergebnis oft als rein existentiell und damit unbrauchbar für die Konstruktion einer einzelnen transzendenten Zahl zitiert wird,^[17][18] die Beweise in den beiden oben genannten Artikeln geben Methoden zur Konstruktion transzendenter Zahlen^[19]

Obwohl Cantor die Mengenlehre verwendet hat, um die Fülle der transzendenten Zahlen zu beweisen, ist eine neuere Entwicklung die Verwendung der Modelltheorie in dem Bemühen, ein ungelöstes Problem im Transzendenten zu lösen solve Zahlentheorie beweisen. Das Problem ist die Bestimmung der Grad der Transzendenz des Feldes

${displaystyle K=mathbb {Q} (x_{1},ldots ,x_{n},e^{x_{1}},ldots ,e^{x_{n}})}$

für komplexe Zahlen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$, die über den rationalen Zahlen linear unabhängig sind. Stephen Schanuel postete es Verdacht dass die Antwort ${displaystyle n}$ aber es gibt keine bekannten Beweise. Veröffentlicht im Jahr 2004 Boris Zilber jedoch ein Artikel, der modelltheoretische Techniken verwendet, um Struktur um diesen Trab wie den zu schaffen komplexe Zahlen mit den Operationen Addition, Multiplikation und Exponentiation ausgestattet. Darüber hinaus trifft in dieser abstrakten Struktur die Vermutung von Schanuel tatsächlich zu.^[20]

Leider ist noch nicht bekannt, dass diese Struktur tatsächlich mit den mit den genannten Operationen ausgestatteten komplexen Zahlen identisch ist, es kann durchaus sein, dass Schanuels Vermutung falsch ist und es eine andere abstrakte Struktur gibt, die sich ähnlich wie die komplexen Zahlen verhält, wohin die Vermutung von Schanuel geht. Zilber gab mehrere Kriterien an, die beweisen würden, dass die fragliche Struktur ${displaystyle mathbb {C} }$, konnte aber das sogenannte starke exponentielle Abschluss-Axiom nicht beweisen. Der einfachste Fall dieses Axioms ist nun bewiesen,^[21], aber der Beweis, dass sie in voller Allgemeinheit gilt, ist erforderlich, um den Beweis von Schanuels Vermutung zu vervollständigen.

Ansätze

Ein typisches Problem in diesem Bereich der Mathematik ist es herauszufinden, ob eine gegebene Zahl transzendent ist. Kantor verwendet als Kardinalitätsargument um zu zeigen, dass es nur einen gibt zählbar Nummer algebraische Zahlen existiert, und daher sind fast alle Zahlen transzendent. Transzendente Zahlen sind daher der typische Fall; das mag so sein, aber es kann extrem schwierig sein zu beweisen, dass eine gegebene Zahl transzendent oder sogar nur irrational ist.

Aus diesem Grund arbeitet die Transzendenztheorie oft in Richtung eines quantitativeren Ansatzes. Also ein gewisses gegeben komplexe Zahl${displaystyle alpha }$ man fragt sich, wie nah ${displaystyle alpha }$ liegt in der Nähe einer algebraischen Zahl. Nimmt man zum Beispiel an, dass die Zahl ${displaystyle alpha }$ algebraisch ist, dann kann man zeigen, dass es einen sehr hohen Grad oder ein minimales Polynom mit sehr großen Koeffizienten haben muss? Wenn schließlich gezeigt werden kann, dass ein endlicher Grad oder eine endliche Größe des Koeffizienten ausreichend ist, muss die Zahl transzendent sein. Da eine Zahl ${displaystyle alpha }$dann und nur dann transzendent ist wie ${Anzeigestil P(alpha)eq 0}$ für jedes von Null verschiedene Polynom ${Anzeigestil P}$ mit ganzzahligen Koeffizienten kann dieses Problem angenähert werden, indem man die unteren Schranken der Form

${Anzeigestil |P(a)|>F(A,d)}$

wobei die rechte Seite eine beliebige positive Funktion ist, die von einem bestimmten Maß abhängt ${Anzeigestil A}$ der Größe der Koeffizienten von ${Anzeigestil P}$ und ihre Abschlüsse ${displaystyle d}$, und so dass diese unteren Schranken für alle ${Anzeigestil Peq 0}$ anwenden. Eine solche Grenze wird Transzendenzmaß genannt.

Der Fall von ${displaystyle d=1}$ ist der "Klassiker" diophantischer Ansatz. Dieser Fall erfordert untere Schranken für

${displaystyle |ax b|}$

Die Methoden der Transzendenztheorie und des diophantischen Ansatzes haben vieles gemeinsam: Sie verwenden beide das Konzept der Stützfunktion.

Wichtige Ergebnisse

Das Satz von Gelfond-Schneider war der große Fortschritt in der Transzendenztheorie im Zeitraum 1900-1950. In den 1960er Jahren wurde die Methode der Alan Baker Über lineare Formen in Logarithmen von algebraische Zahlen die Theorie der Transzendenz wiederbelebt, mit Anwendungen auf viele klassische Probleme und die diophantische Gleichungen.

Offene Punkte

Obwohl der Satz von Gelfond-Schneider bewies, dass eine große Klasse von Zahlen transzendent ist, war diese Klasse immer noch zählbar. Viele bekannte mathematische Konstanten sind noch nicht bekannt, ob sie transzendent sind oder nicht, und in einigen Fällen ist nicht einmal bekannt, ob sie rational oder irrational sind. Eine unvollständige Liste finden Sie im Artikel, transzendente Zahl.

Ein Hauptproblem der Transzendenztheorie besteht darin zu zeigen, dass eine gegebene Menge von Zahlen algebraisch unabhängig anstatt zu zeigen, dass die einzelnen Elemente transzendent sind. Also obwohl wir das wissen ${displaystyle e}$ und ${Anzeigestil pi}$ transzendent zu sein bedeutet nicht, dass ${Anzeigestil e pi}$ transzendent, noch irgendeine andere Kombination dieser beiden (außer ${displaystyle e^{pi }}$, das Konstante von Gelfond, die als transzendent bekannt ist). Ein weiteres großes Problem ist der Umgang mit Zahlen, die nichts mit der Exponentialfunktion zu tun haben. Die wichtigsten Ergebnisse in der Transzendenztheorie sind in der Regel rund ${displaystyle e}$ und die logarithmische Funktion zu drehen, was bedeutet, dass oft ganz neue Methoden erforderlich sind, um Zahlen elementar zu behandeln, die sich nicht elementar durch diese beiden Objekte ausdrücken lassen.

Es Vermutung von Schanuel würde das erste dieser Probleme teilweise lösen, da es sich um algebraische Unabhängigkeit handelt, und würde dies tatsächlich bestätigen confirm ${Anzeigestil e pi}$ ist transzendent. Die Vermutung dreht sich jedoch immer noch um die Exponentialfunktion und würde daher nicht unbedingt etwas über Zahlen sagen, wie z Apery . Konstante oder der Euler-Mascheronia-Konstante. Ein weiteres äußerst schwieriges ungelöstes Problem ist das sogenannte konstantes oder Identitätsproblem.^[22]

Fußnoten

Verweise

• (und) Gelfond, A, Transzendente und algebraische Zahlen, Dover Publications Inc., 1960.
• (und) Lang, S, Einführung in die transzendenten Zahlen, Addison Wesley Verlag, 1966.
• (und) Bäcker, A, Transzendentale Zahlentheorie, Cambridge University Press, 1975.