WikiDer > Сумма нормально распределенных случайных величин

Sum of normally distributed random variables

В теория вероятности, расчет сумма нормально распределенных случайных величин это пример арифметики случайные переменные, который может быть довольно сложным из-за распределения вероятностей вовлеченных случайных величин и их взаимосвязей.

Это не следует путать с сумма нормальных распределений который образует распределение смеси.

Независимые случайные величины

Позволять Икс и Y быть независимый случайные переменные которые нормально распределенный (а значит, и вместе), то их сумма также нормально распределяется. т.е. если

тогда

Это означает, что сумма двух независимых нормально распределенных случайных величин является нормальной, причем ее среднее значение является суммой двух средних, а ее дисперсия - суммой двух дисперсий (т. Е. Квадрат стандартного отклонения представляет собой сумму квадраты стандартных отклонений).[1]

Для справедливости этого результата предположение, что Икс и Y независимы, не могут быть отброшены, хотя их можно ослабить до предположения, что Икс и Y находятся совместно, а не по отдельности, как обычно.[2] (Видеть вот для примера.)

Результат о среднем сохраняется во всех случаях, в то время как результат для дисперсии требует некоррелированности, но не независимости.

Доказательства

Доказательство с использованием характеристических функций

В характеристическая функция

суммы двух независимых случайных величин Икс и Y это просто продукт двух отдельных характеристических функций:

из Икс и Y.

Характеристическая функция нормального распределения с математическим ожиданием μ и дисперсией σ2 является

Так

Это характеристическая функция нормального распределения с математическим ожиданием и дисперсия

Наконец, напомним, что никакие два различных распределения не могут иметь одинаковую характеристическую функцию, поэтому распределение Икс + Y должно быть именно это нормальное распределение.

Доказательство с использованием сверток

Для независимых случайных величин Икс и Y, распространение жZ из Z = Икс + Y равняется свертке жИкс и жY:

При условии жИкс и жY нормальные плотности,

Подставляем в свертку:

Определение , и завершение квадрата:

Выражение в интеграле представляет собой нормальное распределение плотности на Икс, поэтому интеграл равен 1. Требуемый результат следующий:

С использованием теорема свертки

Можно показать, что преобразование Фурье гауссиана, , является[3]

Посредством теорема свертки:

Геометрическое доказательство

Сначала рассмотрим нормализованный случай, когда Икс, Y ~ N(0, 1), так что их PDF-файлы находятся

и

Позволять Z = Икс + Y. Тогда CDF за Z будет

Этот интеграл берется по полуплоскости, лежащей под прямой Икс+y = z.

Ключевое наблюдение заключается в том, что функция

радиально симметричен. Итак, мы вращаем координатную плоскость вокруг начала координат, выбирая новые координаты так что линия Икс+y = z описывается уравнением куда определяется геометрически. Из-за радиальной симметрии имеем , и CDF для Z является

Это легко интегрировать; мы находим, что CDF для Z является

Для определения стоимости Обратите внимание, что мы повернули плоскость так, чтобы линия Икс+y = z теперь работает вертикально с Икс-перехват равно c. Так c это просто расстояние от начала координат до линии Икс+y = z вдоль серединного перпендикуляра, который пересекает линию в ее ближайшей точке к началу координат, в данном случае . Итак, расстояние , и CDF для Z является , т.е.

Сейчас если а, б являются любыми действительными константами (не равными нулю!), то вероятность того, что находится с помощью того же интеграла, что и выше, но с ограничивающей линией . Работает тот же метод вращения, и в этом более общем случае мы обнаруживаем, что ближайшая точка на линии к началу координат находится на (подписанном) расстоянии

прочь, так что

Тот же аргумент в более высоких измерениях показывает, что если

тогда

По сути, мы закончили, потому что

В общем, если

тогда

Коррелированные случайные величины

В случае, если переменные Икс и Y являются совместно нормально распределенными случайными величинами, то Икс + Y по-прежнему нормально распространяется (см. Многомерное нормальное распределение), а среднее - это сумма средних. Однако дисперсия не складывается из-за корреляции. В самом деле,

где ρ - корреляция. В частности, всякий раз, когда ρ <0, дисперсия меньше суммы дисперсий Икс и Y.

Расширения этого результата можно сделать для более чем двух случайных величин, используя ковариационная матрица.

Доказательство

В этом случае (с Икс и Y с нулевым средним), необходимо учитывать

Как и выше, делается замена

Этот интеграл сложнее упростить аналитически, но его легко вычислить с помощью программы символьной математики. Распределение вероятностей жZ(z) задается в этом случае выражением

куда

Если вместо этого Z = Икс − Y, то получаем

который также можно переписать с помощью

Стандартные отклонения каждого распределения очевидны при сравнении со стандартным нормальным распределением.

Рекомендации

  1. ^ Лимоны, Дон С. (2002), Введение в случайные процессы в физике, Издательство Университета Джона Хопкинса, стр. 34, ISBN 0-8018-6866-1
  2. ^ Лимоны (2002), стр. 35–36.
  3. ^ Дерпанис, Константинос Г. (20 октября 2005 г.). «Преобразование Фурье гауссиана» (PDF).

Смотрите также