WikiDer > Алгебра случайных величин

Algebra of random variables

В алгебра случайных величин предоставляет правила для символического манипулирования случайные переменные, избегая при этом слишком глубоко вникать в математически сложные идеи теория вероятности. Его символика позволяет обрабатывать суммы, произведения, отношения и общие функции случайных величин, а также иметь дело с такими операциями, как нахождение распределения вероятностей и ожидания (или ожидаемые значения), отклонения и ковариации таких комбинаций. В принципе, элементарная алгебра случайных величин эквивалентен обычным неслучайным (или детерминированным) переменным. Однако изменения, происходящие в распределении вероятностей случайной величины, полученной после выполнения алгебраические операции не прямолинейны. Следовательно, поведение различных операторов распределения вероятностей, таких как ожидаемые значения, дисперсии, ковариации и моменты, может отличаться от наблюдаемого для случайной величины с использованием символьной алгебры. Можно определить некоторые ключевые правила для каждого из этих операторов, что приводит к различным типам алгебры для случайных величин, помимо элементарной символьной алгебры: алгебра ожиданий, алгебра дисперсии, алгебра ковариаций, алгебра моментов и т. Д.

Элементарная символьная алгебра случайных величин

Учитывая две случайные величины и возможны следующие алгебраические операции:

Во всех случаях переменная в результате каждой операции также является случайной величиной. Все коммутативный и ассоциативный Свойства обычных алгебраических операций справедливы и для случайных величин. Если какая-либо из случайных величин заменяется детерминированной переменной или постоянным значением, все предыдущие свойства остаются в силе.

Алгебра ожиданий для случайных величин

Ожидаемое значение случайной величины результат алгебраической операции между двумя случайными величинами может быть вычислен с использованием следующего набора правил:

  • Добавление:
  • Вычитание:
  • Умножение: . В частности, если и находятся независимый друг от друга, то: .
  • Разделение: . В частности, если и независимы друг от друга, то: .
  • Возведение в степень:

Если какая-либо из случайных величин заменяется детерминированной переменной или постоянным значением () предыдущие свойства остаются в силе с учетом того, что и поэтому, .

Если определяется как общая нелинейная алгебраическая функция случайной величины , тогда:

Вот некоторые примеры этого свойства:

Точное значение математического ожидания нелинейной функции будет зависеть от конкретного распределения вероятностей случайной величины. .

Алгебра дисперсий для случайных величин

Дисперсия случайной величины полученный в результате алгебраической операции между случайными величинами, можно вычислить с использованием следующего набора правил:

  • Добавление: . В частности, если и находятся независимый друг от друга, то: .
  • Вычитание: . В частности, если и независимы друг от друга, то: . То есть для независимые случайные величины дисперсия одинакова для сложений и вычитаний:
  • Умножение: . В частности, если и независимы друг от друга, то: .
  • Разделение: . В частности, если и независимы друг от друга, то: .
  • Возведение в степень:

куда представляет собой оператор ковариации между случайными величинами и .

Дисперсия случайной величины также может быть выражена непосредственно в терминах ковариации или в терминах ожидаемого значения:

Если какая-либо из случайных величин заменяется детерминированной переменной или постоянным значением () предыдущие свойства остаются в силе с учетом того, что и , и . Особые случаи - это сложение и умножение случайной величины на детерминированную переменную или константу, где:

Если определяется как общая нелинейная алгебраическая функция случайной величины , тогда:

Точное значение дисперсии нелинейной функции будет зависеть от конкретного распределения вероятностей случайной величины. .

Ковариационная алгебра случайных величин

Ковариация ( ) между случайной величиной в результате алгебраической операции и случайной величины можно рассчитать, используя следующий набор правил:

  • Добавление: . Если и находятся независимый друг от друга, то: .
  • Вычитание: . Если и независимы друг от друга, то: .
  • Умножение: . Если и независимы друг от друга, то: .
  • Разделение (ковариация по числителю): . Если и независимы друг от друга, то: .
  • Разделение (ковариация по знаменателю): . Если и независимы друг от друга, то: .
  • Возведение в степень (ковариация относительно базы): .
  • Возведение в степень (ковариация по мощности): .

Ковариация случайной величины также может быть выражена непосредственно через математическое ожидание:

Если любая из случайных величин заменяется детерминированной переменной или постоянным значением ( ) предыдущие свойства остаются в силе с учетом того, что , и .

Если определяется как общая нелинейная алгебраическая функция случайной величины , тогда:

Точное значение дисперсии нелинейной функции будет зависеть от конкретного распределения вероятностей случайной величины. .

Аппроксимации разложениями моментов в ряды Тейлора

Если моменты определенной случайной величины известны (или могут быть определены интегрированием, если функция плотности вероятности известно), то можно аппроксимировать математическое ожидание любой общей нелинейной функции как Разложение моментов в ряд Тейлора, следующее:

, куда среднее значение .

, куда это п-й момент о его значении. Обратите внимание, что по их определению и . Член первого порядка всегда равен нулю, но был сохранен для получения выражения в замкнутой форме.

Потом,

, где разложение Тейлора обрезается после -й момент.

В частности, для функций нормальные случайные величины, можно получить разложение Тейлора по стандартное нормальное распределение:[1]

, куда нормальная случайная величина, и - стандартное нормальное распределение. Таким образом,

, где моменты стандартного нормального распределения определяются как:

Аналогично для нормальных случайных величин также можно аппроксимировать дисперсию нелинейной функции в виде разложения в ряд Тейлора как:

, куда

, и

Алгебра комплексных случайных величин

в алгебраический аксиоматизация из теория вероятности, основная концепция - это не вероятность события, а скорее концепция случайная переменная. Распределения вероятностей определяются путем присвоения ожидание к каждой случайной величине. В измеримое пространство а вероятностная мера возникает из случайных величин и ожиданий с помощью хорошо известных теоремы представления анализа. Одна из важных особенностей алгебраического подхода состоит в том, что очевидно бесконечномерные распределения вероятностей не сложнее формализовать, чем конечномерные.

Предполагается, что случайные переменные обладают следующими свойствами:

  1. сложный постоянные возможны реализации случайной величины;
  2. сумма двух случайных величин является случайной величиной;
  3. произведение двух случайных величин - случайная величина;
  4. сложение и умножение случайных величин одновременно коммутативный; и
  5. существует понятие сопряжения случайных величин, удовлетворяющих (XY)* = Y*Икс* и Икс** = Икс для всех случайных величин Икс,Y и совпадающая с комплексным сопряжением, если Икс является константой.

Это означает, что случайные величины образуют сложные коммутативные * -алгебры. Если Икс = Икс* тогда случайная величина Икс называется "настоящим".

Ожидание E по алгебре А случайных величин является нормализованным положительным линейный функционал. Это означает, что

  1. E[k] = k куда k постоянная;
  2. E[Икс*Икс] ≥ 0 для всех случайных величин Икс;
  3. E[Икс + Y] = E[Икс] + E[Y] для всех случайных величин Икс и Y; и
  4. E[kX] = kE[Икс] если k является константой.

Можно обобщить эту схему, позволив алгебре быть некоммутативной. Это приводит к другим областям некоммутативной вероятности, таким как квантовая вероятность, теория случайных матриц, и свободная вероятность.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Эрнандес, Уго (2016). «Моделирование эффекта флуктуации в нелинейных системах с помощью дисперсионной алгебры - Приложение к светорассеянию идеальных газов». Отчеты ForsChem Research. 2016-1. Дои:10.13140 / rg.2.2.36501.52969.

дальнейшее чтение