WikiDer > Суперпуанкаре алгебра

Super-Poincaré algebra

В теоретическая физика, а суперпуанкаре алгебра является продолжением Алгебра Пуанкаре включить суперсимметрия, связь между бозоны и фермионы. Они примеры алгебры суперсимметрии (без центральные сборы или внутренние симметрии) и являются Супералгебры Ли. Таким образом, суперпуанкаре алгебра является Z2-квалифицированный векторное пространство с градуированной скобкой Ли такой, что четная часть является Алгебра Ли содержащую алгебру Пуанкаре, а нечетная часть построена из спиноры на котором есть антикоммутационное отношение со значениями в четной части.

Неформальный набросок

Алгебра Пуанкаре описывает изометрии Пространство-время Минковского. От теория представлений группы Лоренца, известно, что группа Лоренца допускает два неэквивалентных комплексных спинорных представления, получивших название и .[nb 1] Принимая их тензорное произведение, получается ; такие разложения тензорных произведений представлений на прямые суммы дается Правило Литтлвуда-Ричардсона.

Обычно такое разложение трактуется как относящееся к определенным частицам: так, например, пион, что является хиральный векторная частица, состоит из кварк-антикварковая пара. Однако можно было также определить с самим пространством-временем Минковского. Это приводит к естественному вопросу: принадлежит ли пространство-время Минковского присоединенное представительство, то можно продолжить симметрию Пуанкаре на фундаментальное представление? Что ж, может: это в точности алгебра суперпуанкаре. Возникает соответствующий экспериментальный вопрос: если мы живем в присоединенном представлении, то где же прячется фундаментальное представление? Это программа суперсимметрия, что экспериментально не обнаружено.

История

Алгебра Суперпуанкаре была впервые предложена в контексте теории Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса, как средство избежать выводов Теорема Коулмана – Мандулы. То есть теорема Коулмана – Мандулы - это запретная теорема, которая утверждает, что алгебра Пуанкаре не может быть расширена дополнительными симметриями, которые могут описывать внутренние симметрии наблюдаемого спектра физических частиц. Однако теорема Коулмана – Мандулы предполагала, что расширение алгебры будет осуществляться с помощью коммутатора; этого предположения и, следовательно, теоремы можно избежать, рассматривая антикоммутатор, то есть используя антикоммутирующий Числа Грассмана. Предложение заключалось в рассмотрении алгебра суперсимметрии, определяемый как полупрямой продукт из центральное расширение супер-алгебры Пуанкаре компактным Алгебра Ли внутренних симметрий.

Определение

Простейшее суперсимметричное расширение алгебры Пуанкаре содержит два Спиноры Вейля со следующим антикоммутационным соотношением:

и все другие антикоммутационные отношения между Qs и пs исчезают.[1] В приведенном выше выражении генераторы перевода и являются Матрицы Паули. Индекс пробегает ценности Над индексом ставится точка напомнить, что этот индекс преобразуется в соответствии с неэквивалентным сопряженным спинорным представлением; нельзя случайно сжимать эти два типа индексов. Матрицы Паули можно рассматривать как прямое проявление Правило Литтлвуда-Ричардсона упоминалось ранее: они указывают, как тензорное произведение двух спиноров можно перевыразить в виде вектора. Индекс конечно колеблется в измерениях пространства-времени

С ним удобно работать Спиноры Дирака вместо спиноров Вейля; спинор Дирака можно рассматривать как элемент ; он состоит из четырех компонентов. В Матрицы Дирака таким образом, также четырехмерны и могут быть выражены как прямые суммы матриц Паули. Тогда тензорное произведение дает алгебраическое отношение к Метрика Минковского что выражается как:

и

Тогда это дает полную алгебру[2]

которые должны быть объединены с обычными Алгебра Пуанкаре. Это замкнутая алгебра, поскольку все Тождества Якоби удовлетворены и могут иметь явные матричные представления. Следуя этой логике рассуждений, мы супергравитация.

SUSY в пространстве-времени Минковского 3 + 1

В (3 + 1) Минковского, пространство-время Теорема Хаага – Лопушанского – Сониуса утверждает, что SUSY-алгебра с N спинорными генераторами выглядит следующим образом.

Четная часть звездная супералгебра Ли прямая сумма Алгебра Пуанкаре и редуктивная алгебра Ли B (такая, что его самосопряженная часть является касательным пространством вещественной компактной группы Ли). Нечетная часть алгебры была бы

куда и являются конкретными представлениями алгебры Пуанкаре. (По сравнению с обозначениями, использованными ранее в статье, они соответствуют и , соответственно, также см. сноску, где были введены предыдущие обозначения). Оба компонента сопряжены друг с другом при спряжении *. V является N-мерное комплексное представление B и V* это его двойное представительство. Скобка Ли для нечетной части задается симметричным эквивариантный соединение {.,.} в нечетной части со значениями в четной части. В частности, его уменьшенное переплетение из к идеальный алгебры Пуанкаре, порожденной переводами, задается как произведение ненулевого сплетника из в (1 / 2,1 / 2) "сплетением сжатия" из к тривиальное представление. С другой стороны, его уменьшенное переплетение из является продуктом (антисимметричного) сплетения из to (0,0) и антисимметричный сплетник А из к B. Сопрягайте его, чтобы получить соответствующий случай для другой половины.

N = 1

B сейчас (называется R-симметрией) и V это одномерное представление с обвинять 1. А (определяемый выше сплетник) должен быть равен нулю, поскольку он антисимметричен.

На самом деле существует две версии N = 1 SUSY, один без (т.е. B нульмерна), а другая - с .

N = 2

B сейчас и V представляет собой двумерное дублетное представление с нулем обвинять. Сейчас же, А является ненулевым сплетником часть B.

В качестве альтернативы, V может быть двумерным дублетом с ненулевым обвинять. В этом случае, А должно быть равно нулю.

Еще одна возможность - позволить B быть . V инвариантен относительно и и распадается на одномерное повторение с заряд 1 и еще 1D повтор с зарядом -1. Спутник А было бы сложно с отображением реальной части на и отображение мнимой части на .

Или мы могли бы B будучи с V быть дублетом с нуля обвинения и А являясь сложным переплетением с отображением реальной части на а мнимая часть .

Это даже не исчерпывает всех возможностей. Мы видим, что существует более одного N = 2 суперсимметрия; аналогично, SUSY для N > 2 тоже не уникальны (на самом деле становится только хуже).

N = 3

Теоретически это допустимо, но мультиплетная структура автоматически становится такой же, как у мультиплета. N= 4 суперсимметричная теория. Так что это реже обсуждается по сравнению с N= 1,2,4 версии.

N = 4

Это максимальное количество наддув в теории без гравитации.

SUSY в различных измерениях

В измерениях 0 + 1, 2 + 1, 3 + 1, 4 + 1, 6 + 1, 7 + 1, 8 + 1, 10 + 1 и т. Д. Алгебра SUSY классифицируется положительным целым числомN.

В измерениях 1 + 1, 5 + 1, 9 + 1 и т. Д. Алгебра SUSY классифицируется двумя неотрицательными целыми числами (MN), хотя бы один из которых отличен от нуля. M представляет количество левосторонних SUSY и N представляет количество правосторонних SUSY.

Причина этого кроется в реальных условиях спиноры.

В дальнейшем d = 9 означает d = 8 + 1 в сигнатуре Минковского и т. Д. Структура алгебры суперсимметрии в основном определяется числом фермионных генераторов, то есть числом N умноженное на реальную размерность спинора в d Габаритные размеры. Это потому, что можно легко получить алгебру суперсимметрии более низкой размерности из алгебры более высокой размерности с помощью уменьшения размерности.

d = 11

Единственный пример - это N = 1 суперсимметрия с 32 перезарядами.

d = 10

Из d = 11, N = 1 SUSY, получаем N = (1, 1) нехиральная SUSY-алгебра, которую также называют суперсимметрией типа IIA. Есть также N = (2, 0) SUSY-алгебра, которая называется суперсимметрией типа IIB. У обоих по 32 наддува.

N = (1, 0) SUSY-алгебра с 16 суперзарядами является минимальной алгеброй Susy в 10 измерениях. Это также называется суперсимметрией типа I. Тип IIA / IIB / I теория суперструн имеет соответствующее имя SUSY-алгебру. Алгебра суперсимметрии гетеротических суперструн - это алгебра типа I.

Замечания

  1. ^ Представления с чертой являются сопряженными линейными, а без черточки - комплексными линейными. Цифра указывает на размер пространство представления. Еще одно более распространенное обозначение - написать (​12, 0) и (0, ​12) соответственно для этих представлений. Общее неприводимое представление тогда (м, п), куда м, н являются полуцелыми и физически соответствуют спиновому содержанию представления, которое изменяется от |м + п| к |мп| с целочисленными шагами, каждое вращение происходит ровно один раз.

Примечания

Рекомендации