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EIN polygonale Zahl ist eine Zahl, die die Anzahl der Kugeln einer Figur mit . in einem Scheitelpunkt verschachtelt ist regelmäßige Vielecke. In der Antike wurde entdeckt, dass man Zahlen darstellen kann, indem man eine Reihe von Figuren wie Reiskörner oder Samen in einer Figur anordnet, dies wird als . bezeichnet figurative Zahlen. Die polygonalen Zahlen sind ein Beispiel dafür. Die bekanntesten Polygontypen sind die are Dreieckszahlen und Quadratzahl.

Die ähnlichen Polygone, immer mit einer Seite größer, die eine polygonale Zahl bilden, haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt. Alle Polygone hier mit Seiten von mindestens einer teilen sich auch teilweise beide Seiten, die an diesem Scheitel liegen.

Für Polygone ist die Fermat. Polygonaler Zahlensatz, die besagt, dass jede positive ganze Zahl die Summe von höchstens ${displaystyle n}$${displaystyle n}$-Winkel.

Es ${displaystyle(n1)}$-das ${displaystyle k}$-Winkelnummer ${displaystyle v_{n 1}}$ erhält man durch Zugabe ${Anzeigestil k-2}$ Seiten mit für jede Seite ${displaystyle n}$ Kugeln und verlängert eine Seite der vorherigen Figur um eine Kugel. Das führt zu dem wiederkehrende Beziehung:

${Anzeigestil v_{n 1}=v_{n} (k-2)n 1}$

Bei einer größeren Anzahl von Winkeln ist zu beachten, dass die Polygone einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben und von diesem Scheitelpunkt aus die Seiten in die gleiche Richtung zusammenfallen.

Die folgende Abbildung ist ein Beispiel für sechseckige Zahlen:

1		6		15		28

wenn ${Anzeigestil z}$ die Anzahl der Seiten eines Polygons ist, dann ist die Formel für die ${displaystyle n}$e ${Anzeigestil z}$Winkelzahl gegeben durch

${displaystyle V_{z}(n)=({ frac {1}{2}}z-1)n^{2}-({ frac {1}{2}}z-2)n={ frac {1 }{2}}n{(z-2)n-(z-4)}}$

Jede polygonale Zahl lässt sich auch in Dreieckszahlen ausdrücken ${Displaystil V_{3}}$, nämlich

${Anzeigestil V_{z}(n)=V_{3}(n) (z-3)V_{3}(n-1)}$

Eine Tabelle der ersten polygonalen Zahlen lautet:

Name	Formel	nein								OEIS
		1	2	3	4	5	6	7	8
Dreieckszahl	${displaystyle { frac {1}{2}}n(n 1)}$	1	3	6	10	15	21	28	36	Warteschlange A000217 im OEIS
Quadratzahl	${displaystyle n^{2}}$	1	4	9	16	25	36	49	64	Warteschlange A000290 im OEIS
fünfeckige Zahl	${displaystyle { frac {1}{2}}n(3n-1)}$	1	5	12	22	35	51	70	92	Warteschlange A000326 im OEIS
sechseckige Zahl	${Anzeigestil n(2n-1)}$	1	6	15	28	45	66	91	120	Warteschlange A000384 im OEIS
siebeneckige Zahl	${displaystyle { frac {1}{2}}n(5n-3)}$	1	7	18	34	55	81	112	148	Warteschlange A000566 im OEIS
achteckige Zahl	${Anzeigestil n(3n-2)}$	1	8	21	40	65	96	133	176	Warteschlange A000567 im OEIS
achteckige Zahl	${displaystyle { frac {1}{2}}n(7n-5)}$	1	9	24	46	75	111	154	204	Warteschlange A001106 im OEIS
Winkelzahl	${Anzeigestil n(4n-3)}$	1	10	27	52	85	126	175	232	Warteschlange A001107 im OEIS
Winkelzahl	${displaystyle { frac {1}{2}}n(9n-7)}$	1	11	30	58	95	141	196	260	Warteschlange A051682 im OEIS
sechseckige Zahl	${Anzeigestil n(5n-4)}$	1	12	33	64	105	156	217	288	Warteschlange A051624 im OEIS

Zentrierte Polygone

Es gibt einen Unterschied zwischen den Polygonen, die von einem Scheitelpunkt und zentrierte Polygone. Polygone mit in einem Scheitelpunkt verschachtelten Polygonen und zentrierte Polygone für dasselbe Polygon sind nicht identisch. wenn ${Anzeigestil z}$ die Anzahl der Seiten eines Polygons ist, dann ist die Formel für die zentrierte ${displaystyle n}$e ${Anzeigestil z}$-Winkelnummer anders als üblich ${displaystyle n}$e ${Anzeigestil z}$-Winkelnummer.

Die verschiedenen Polygone, die ein zentriertes Polygon bilden, haben nicht dieselben Punkte.

• 

  22 ist die vierte fünfeckige Zahl.

• 

  31 ist die vierte zentrierte fünfeckige Zahl.

Webseiten

• Warteschlange A086270 im OEIS. Polygone
• (und) MathWorld. Polygonale Zahl.