WikiDer > Dreiecksnummer

Driehoeksgetal

Die ersten sechs Dreieckszahlen

EIN Dreieckszahl ist ein Typ polygonale Zahl. Eine Dreieckszahl lässt sich grafisch durch eine Anzahl von Punkten in a . darstellen gleichseitiges Dreieck die gleichmäßig mit diesen Punkten gefüllt ist.

Da drei Punkte in Form eines gleichseitigen Dreieck platziert werden kann, die Zahl 3 ist also eine Dreieckszahl.

Es ${displaystyle n}$ - die Dreieckszahl ist die Nummer Punkte in einem Dreieck, wo dann ${displaystyle n}$ Punkte auf einem die Seide Lüge. 3 ist also die zweite (reelle) Dreieckszahl. Die ersten zehn Dreieckszahlen bestehen aus den nicht-negativen ganze Zahlen:^[1]

{Anzeigestil 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45}

Die Abbildung rechts zeigt die ersten sechs; das ${Anzeigestil 0}$ , es ${Anzeigestil 0}$ - die Dreieckszahl zählt nicht.

Definition

Es ${displaystyle n}$ -das Dreieckszahl ${displaystyle T_{n}}$ ist die Summe der ganzen Zahlen ${Anzeigestil 1}$ bis einschließlich ${displaystyle n}$ . In Formel:

{displaystyle T_{n}=1 2 3 ldots n=sum _{i=1}^{n}i}

Mit Hilfe von Gaußsche Summenformel folgt:

{displaystyle T_{n}={ frac {1}{2}}n(n 1)}

Dies ist geschrieben als Binomialkoeffizient:

{displaystyle T_{n}={n 1 wähle 2}}

Erläuterung

Der Binomialkoeffizient ${displaystyle { binom {n 1}{2}}}$ ist die Zahl Kombinationen von 2 Elementen von insgesamt ${displaystyle n1}$ Elemente. Diese Kombinationen lassen sich wie folgt kategorisieren:

Element 1 der ${displaystyle n1}$ Elemente gewählt wird. Für das zweite Element gibt es noch ${displaystyle n}$ Chancen.
Element 1 wird nicht gewählt, sondern Element 2. In diesem Fall gibt es noch für das zweite Element ${Anzeigestil n-1}$ Chancen.
Element 1 und 2 werden nicht gewählt, sondern Element 3. Dann gibt es für das zweite Element ${Anzeigestil n-2}$ Chancen.
Wenn man auf diese Weise fortfährt, kann man sehen, dass die Gesamtzahl der Kombinationen gleich ist:

{displaystyle {n 1 wählen 2}=n (n-1) (n-2) ldots 2 1=T_{n}}

Eigenschaften

Es ${displaystyle n}$ -die Dreieckszahl ist gleich der Seitenzahl in a volle Zählung mit ${displaystyle n}$ Knoten.
Eine Zahl ${Displaystil N}$ ist eine Dreieckszahl dann und nur dann, wenn ${Anzeigestil 8N 1}$ ein Quadrat ist.
Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist zum Beispiel ein Quadrat ${Displaystil T_{4} T_{5}=10 15=25=5^{2}}$ .
Die Summe der ersten ${displaystyle n}$ Dreieckszahlen ist gleich ${displaystyle n}$ -das Tetraederzahl.
Jede natürliche Zahl, außer 0, kann als Summe von höchstens drei Dreieckszahlen geschrieben werden. Dies wurde bewiesen durch Gauss im Jahr 1796.^[2] Diese Eigenschaft ist ein Sonderfall der Fermat. Polygonaler Zahlensatz.
Die Summe von allem gegenseitig Dreieckszahlen ist: