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Der Begriff vier Gradienten tritt in der spezielle Relativitätstheorie, und ist die Verallgemeinerung des üblichen Begriffs von Gradient zu einer vier vektor. Es ist ein natürliches Objekt, wenn man Ableitungen von Funktionen oder Tensoren nimmt, die auf der Minkowski-Raum. Im generelle Relativität, wobei der Funktionsbereich eine allgemeinere gebogen Raum lässt sich der Vier-Gradient weiter verallgemeinern auf den Kovariante- oder Lügenderivat.

Definition

Der Vier-Gradient ist definiert als

${displaystyle partiell _{mu} {stackrel {mathrm {def} }{=}} left({frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}},abla ight)}$,

und ist ein kovarianter Tensor. Auf die übliche Weise (mit dem metrisch um den Index zu erhöhen) kann man eine kontravariante Version des Vier-Gradienten definieren. Wenn Sie mit dem arbeiten meistens plusKonvention (= - ), sie ist gegeben durch

${displaystyle partiell ^{mu }=left(-{frac {1}{c}}{frac {partial }{partial t}},abla ight)}$,

Manchmal wird der Vier-Gradient notiert als d. Es Quadrat dieses Operators ist definiert als

${displaystyle Dcdot D=partial _{mu }partial ^{mu }=-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}} abla ^ {2}}$.

und ist gleich dem d'Alembertian. Wenn man arbeitet in natürliche Einheiten, der Zahlenwert der Lichtgeschwindigkeit ist 1, also ist der Vier-Gradient gerade ${displaystyle partiell _{mu}=({frac {partial }{partial t}},abla )}$.

Siehe auch

• D'Alembertian
• Gradient
• Spezielle Relativitätstheorie
• Kovariante Ableitung

Verweise und externe Links

• (und) R. d'Inverno, Einführung in Einsteins Relativität, Oxford University Press, ISBN 0198596863, Seiten 64-65 befassen sich mit den Vier-Gradienten- und Vektorfeldern.
• (und) J.D. Jackson, "Klassische Elektrodynamik" Kapitel 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X
• (NL) Transformationsregeln des Vier-Gradienten (und kovarianten Vektoren im Allgemeinen), siehe Seite 54 unten.