WikiDer > Формула Вальдспургера

Waldspurger formula

В теория представлений математики Формула Вальдспургера связывает особые ценности из двух L-функции двух связанных допустимый неприводимые представления. Позволять k быть базовым полем, ж быть автоморфная форма над k, π - представление, связанное через Соответствие Жаке – Ленглендса с ж. Горо Шимура (1976) доказали эту формулу, когда и ж это куспид; Гюнтер Хардер сделал то же открытие в то же время в неопубликованной статье. Мари-Франс Виньера (1980) доказали эту формулу, когда { и ж это новая форма. Жан-Лу Вальдспургер, для которого формула названа, опровергла и обобщила результат Виньераса в 1985 году с помощью совершенно другого метода, который впоследствии широко использовался математиками для доказательства аналогичных формул.

Заявление

Позволять быть числовое поле, быть его адель кольцо, быть подгруппа обратимых элементов , - подгруппа обратимых элементов , быть тремя квадратичными символами над , , быть пространством для всех бугорки над , быть Алгебра Гекке из . Предположить, что, допустимое неприводимое представление из к , то центральный персонаж π тривиально, когда это архимедово место, является подпространством такой, что . Мы предполагаем далее, что, Ленглендс -постоянный [ (Langlands 1970); (Делинь 1972) ] связано с и в . Существует такой, что .

Определение 1. Символ Лежандра

  • Комментарий. Поскольку все члены справа либо имеют значение +1, либо имеют значение -1, член слева может принимать значение только в наборе {+1, -1}.

Определение 2. Пусть быть дискриминант из .

Определение 3. Пусть .

Определение 4. Пусть быть максимальный тор из , быть центром , .

  • Комментарий. Однако не очевидно, что функция является обобщением Сумма Гаусса.

Позволять поле такое, что . Можно выбрать K-подпространство из такой, что (я) ; (ii) . Де-факто есть только один такой по модулю гомотетии. Позволять - два максимальных тора такой, что и . Мы можем выбрать два элемента из такой, что и .

Определение 5. Пусть быть дискриминантами .

  • Комментарий. Когда , правая часть определения 5 становится тривиальной.

Мы принимаем быть множеством {все конечные -места не отображает ненулевые векторы, инвариантные под действием до нуля}, быть набором {всех -места является реальным или конечным и особенным}.

Теорема [(Вальдспургер 1985), Теор.4, с. 235]. Позволять . Мы предполагаем, что, (i) ; (ii) для , . Тогда существует постоянная такой, что

Комментарии:

  • (i) Формула в теореме - хорошо известная формула Вальдспургера. Он носит глобально-локальный характер, слева - глобальная часть, справа - локальная часть. К 2017 году математики часто называют это классической формулой Вальдспургера.
  • (ii) Стоит отметить, что, когда два символа равны, формулу можно значительно упростить.
  • (iii) [(Вальдспургер 1985), Теор.6, с. 241] Когда один из двух символов , Формула Вальдспургера становится намного проще. Без ограничения общности можно считать, что и . Тогда есть элемент такой, что

Случай, когда и это метаплектическая форма острия

Пусть p - простое число, быть полем с п элементы быть целочисленное кольцо из . Предположить, что, , D есть свободный от квадратов четной степени и взаимно просты с N, то простые множители из является . Мы принимаем к набору быть набором всех куспидов уровня N и глубиной 0. Предположим, что, .

Определение 1. Пусть быть Символ Лежандра из c по модулю d, . Метаплектический морфизм

Определение 2. Пусть . Внутренний продукт Петерсона

Определение 3. Пусть . Сумма Гаусса

Позволять - собственное значение Лапласа . Есть постоянный такой, что

Определение 4. Предположим, что . Функция Уиттекера

.

Определение 5. Разложение Фурье – Уиттекера. . Один звонит коэффициенты Фурье – Уиттекера .

Определение 6. Оператор Аткина – Ленера с

Определение 7. Предположим, что, это Собственная форма Гекке. Собственное значение Аткина – Ленера с

Определение 8.

Позволять быть метаплектической версией , быть хорошим собственным основанием для Хекке с уважением к Внутренний продукт Петерсона. Отметим Переписка Шимуры к

Теорема [(Алтуг, Цимерман 2010), Теор. 5.1, с. 60]. Предположим, что , квадратичный характер с . потом

Рекомендации

  • Waldspurger, Жан-Лу (1985), "Sur les valeurs de surees L-fonctions automorphes en leur center de symétrie", Compositio Mathematica, 54 (2): 173–242
  • Виньера, Мари-Франс (1981), «Валер в центре симметрии функций L associées aux formes modulaire», Семинария Теории Номбр, Париж, 1979–1980 годы, Progress in Math., Birkhäuser, стр. 331–356.
  • Шимура, Горо (1976), "О специальных значениях дзета-функций, связанных с формами возврата", Сообщения по чистой и прикладной математике., 29: 783–804
  • Алтуг, Салим Али; Цимерман, Джейкоб (2010). «Метаплектическая гипотеза Рамануджана над функциональными полями с приложениями к квадратичным формам». arXiv:1008.0430v3.CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Лэнглендс, Роберт (1970). О функциональном уравнении L-функций Артина..CS1 maint: ref = harv (связь)
  • Делинь, Пьер (1972). "Les constantes des équations fonctionelle des fonctions L". Модульные функции одной переменной II. Международная летняя школа по модульным функциям. Антверпен. С. 501–597.CS1 maint: ref = harv (связь)