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Max Planck, Namensgeber des Planckschen Gesetzes

Das Das Plancksche Gesetz, ebenfalls Plancks Strahlungsgesetz als Intensitätsverteilung der Strahlung bezeichnet, beschreibt die Dichteverteilung der Photonen, als Funktion der Wellenlänge jeweils von der Frequenz, der von a schwarzer Kühler – eine ideale Strahlungsquelle – mit einem gewissen Temperatur ausgestrahlt Elektromagnetische Wellen.

Dann Max Planck 1900 die StrahlungRecht abgeleitet, stellte sich heraus, dass eine Beschreibung aus dem klassische Physik Ist nicht möglich.^[1] Es stellte sich heraus, dass eine neue notwendig war Postulat die besagt, dass der Energieaustausch zwischen Oszillatoren und dem elektromagnetischen Feld nicht kontinuierlich ist, sondern in Form kleiner Energiepakete (später Quanten oder Quant erwähnt) stattfindet. Plancks Ableitung des Strahlungsgesetzes gilt als Geburtsstunde des Quantenmechanik und zählt zu den "alte" Quantentheorie.

Hintergrund und Bedeutung

Eine Glühwendel emittiert rotes Licht bei etwa 700 °C und orange-gelbes bei 2500 °C

Log-Log-Plots der Strahlung nach Frequenz für das Plancksche Gesetz (grün), verglichen mit dem Rayleigh-Jeans-Gesetz (rot) und die Wiens Strahlungsgesetz (blau) für eine Temperatur von 8 mK

Laut der Kirchhoffs Strahlungsgesetz sind für jeden Körper und für jeden Wellenlänge es Saugfähigkeit und der Emissionsgrad vor dem Wärmestrahlung gegenseitig proportional. EIN schwarzer Körper ist ein hypothetischer Körper, der einfallende Strahlung jeder Wellenlänge und Intensität vollständig absorbiert. Da sein Absorptionsvermögen für jede Wellenlänge den maximalen Wert hat, hat sein Emissionsvermögen auch den maximalen Wert bei jeder Wellenlänge. Ein realer Körper kann bei keiner Wellenlänge mehr Strahlung aussenden als ein schwarzer Körper, sodass dieser als Modell für eine ideale Strahlungsquelle dient. Da das Spektrum des schwarzen Körpers von keinem anderen Parameter als dem Temperatur – insbesondere nicht auf die Materialeigenschaften – es ist ein nützliches Referenzquelle.

Neben der großen praktischen Bedeutung des Schwarzen Körpers gilt die Entdeckung des Planckschen Strahlungsgesetzes im Jahr 1900 auch als Beginn der Quantenmechanik, da Planck nur seine anfängliche Erklärung erklären konnte empirisch gefundene Gleichung musste annehmen, dass Licht - und elektromagnetische Strahlung im Allgemeinen – nicht kontinuierlich, sondern nur diskret im sogenannten Quanten wird erfasst und ausgegeben.

Darüber hinaus kombinierte das Plancksche Strahlungsgesetz Gesetze, die bereits vor seiner Entdeckung teils empirisch, teils aufgrund thermodynamischer Überlegungen gefunden wurden:

• Das Stefan-Boltzmann-Recht, die besagt, dass die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers proportional zur vierten Potenz seiner Temperatur ist.
• Das Rayleigh-Jeans-Gesetz, die die spektrale Energieverteilung bei langen Wellenlängen beschreibt.
• Das Wiens Strahlungsgesetz, die die spektrale Energieverteilung bei kurzen Wellenlängen beschreibt.
• Das Wiens Verschiebungsgesetz, 1893 von Wilhelm Wien (1864-1928), die den Zusammenhang zwischen dem Emissionsmaximum eines Schwarzen Körpers und seiner Temperatur beschreibt.

Ablenkung und Geschichte

Als vereinfachtes Beispiel kann man annehmen a kubisch Hohlraum mit Rippel und Lautstärke l³, in der sich elektromagnetische Strahlung im thermischen Gleichgewicht befindet. In dieser Gleichgewichtssituation ist nur stehende Wellen Performance. Die erlaubten Wellen können in jede Richtung laufen, müssen aber die Randbedingung dass immer eine ganze Zahl halber Wellenlängen zwischen zwei gegenüberliegende Wände passen muss. Dies liegt daran, dass sich innerhalb des Wandmaterials keine elektromagnetischen Wellen befinden können, so dass die elektrische und magnetische Feldstärke an der Oberfläche der Wände Null sein muss. Die Wellen müssen daher Knoten an den Wänden haben. Somit sind nur bestimmte diskrete Schwingungszustände zulässig; die Gesamtstrahlung im Hohlraum setzt sich somit aus diesen stehenden Wellen zusammen.

Die Dichte der Staaten

Die Anzahl der erlaubten Schwingungszustände nimmt mit höherer Frequenz zu, denn für Wellen mit kürzerer Wellenlänge gibt es mehr Möglichkeiten, sich so in den Raum einzupassen, x-, y- und zKomponenten haben einen Knoten auf jeder Oberfläche. Die Anzahl der zulässigen Schwingungszustände im Frequenzintervall zwischen v dv und pro Volumeneinheit heißt Dichte der StaatenG(ν) dν und beträgt:

${displaystyle g(u)mathrm {d} u ={frac {8pi }{c^{3}}}u ^{2}mathrm {d} u}$

Die ultraviolette Katastrophe

Jeden dieser Schwingungszustände pro Frequenzintervall kann man als a harmonischer Oszillator mit Frequenz ν. Befinden sich alle diese Oszillatoren im thermischen Gleichgewicht bei einer Temperatur T vibrieren, dann entsprechend der Äquivalenzprinzip aus der klassischen Thermodynamik erwarten, dass jeder dieser Oszillatoren eine durchschnittliche kinetische Energie hat kT/2 und eine potentielle Energie kT/2 hat, also insgesamt kT. Die Energiedichte der schwarzen Strahlung im Frequenzintervall zwischen ν und ν dν wäre also das Produkt der Zustandsdichte der zulässigen Schwingungszustände G(ν) dν und die durchschnittliche Energie pro klassisch Schwingungszustand kT, so dass

${displaystyle U_{u}^{RJ}(u ,T)mathrm {d} u ={frac {8pi }{c^{3}}},kTu ^{2}mathrm {d} u }$.

Dies ist das Strahlungsgesetz von Rayleigh und Jeans. Dies ergibt eine gute Darstellung der gemessenen Energiedichte bei niedrigen Frequenzen, sagt jedoch bei höheren Frequenzen eine quadratisch ansteigende Energiedichte mit zunehmender Frequenz voraus, so dass der Hohlraum eine unendlich große Energiemenge integriert über alle Frequenzen enthalten sollte. Das wird der ultraviolette Katastrophe erwähnt.^[2] Das Problem ist, dass jeder Schwingungszustand vorhanden ist, obwohl im Durchschnitt nur die Energie kT dass aber unendlich viele solcher Schwingungszustände angeregt werden.

Die empirische Lösung

Planck benutzte nicht die Prinzipien von Rayleigh bei der Ableitung seines Strahlungsgesetzes, sondern ging von der Entropie und versuchte, dem Vergleich einige Begriffe hinzuzufügen, die nach den wissenschaftlichen Erkenntnissen der Zeit unverständlich waren, ihm aber auch nicht widersprachen. Ganz einfach war ein Zusatzbegriff, der zu einer Formel führte, die die bereits gemessenen Spektren (1900) sehr gut beschreibt.^[3] Diese Formel blieb somit ein rein empirischer Beweis, beschrieb aber die bekannten Messergebnisse über das gesamte Frequenzspektrum richtig. Aber damit war Planck nicht zufrieden. Es gelang ihm, die Strahlungskonstanten zu messen C und c aus Wiens Formel durch Naturkonstanten zu ersetzen; es blieb nur ein Faktor ha ("dabei helfen.

Die Quantenhypothese

Ausgehend von der verbesserten empirischen Strahlungsformel gelangte Planck innerhalb weniger Monate zu einem bahnbrechenden Ergebnis, das der Beginn der Quantenmechanik werden sollte: Er musste trotz seiner eigenen Überzeugung zugeben, dass die Energiefreisetzung nicht kontinuierlich, sondern nur in Vielfachen der kleinsten. haEinheiten, die ihn später als Plancksche Konstante wurde erwähnt. Nach dieser von Planck eingeführten Quantenhypothese ist ein Oszillator mit der Frequenz ν keine beliebigen Energiemengen aufnehmen oder abgeben, sondern nur ganzzahlige Vielfache der minimalen Energie ha. Insbesondere hat er minimale Energie ha musste überhaupt aufgeregt sein. Schwingungszustände, deren minimale Energie ha weit über der thermisch verfügbaren Energie kT lügen, können nicht aufgeregt werden, sie bleiben gefroren. Schwingungszustände, deren minimale Energie ha nur etwas weiter oben kT mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit angeregt werden, so dass ein gewisser Bruchteil davon zur Gesamtenergie im Hohlraum beiträgt. Nur Schwingungszustände mit niedriger minimaler Energie had.h. mit niedriger Frequenz, können die angebotene Wärmeenergie vollständig absorbieren und werden (im Mittel) sicher angeregt.

Quantisierte Schwingungszustände

Das Statistische Thermodynamik zeigt, dass durch Anwendung der Quantenhypothese und der Bose-Einstein-Statistik ein Schwingungszustand mit Frequenz ν durchschnittliche Energie enthält:

${displaystyle E(u ,T)={frac {hu }{e^{hu /kT}-1}}}$

Dieser Zusammenhang bedeutet, dass höherfrequente elektromagnetische Schwingungszustände, die aufgrund ihrer hohen Anregungsschwelle nach den geometrischen Kriterien in der Kavität vorliegen können, nicht durch die zur Verfügung stehende thermische Energie angeregt werden können und somit nicht zur Energiedichte in der Kavität beitragen können.

Das Strahlengesetz

Das Produkt der Zustandsdichte der zulässigen Schwingungszustände G(ν) d(ν) und die durchschnittliche Energie pro quantisierten Schwingungszustand E(, T) ergibt die Energiedichte nach Planck:

${displaystyle U_{u}^{o}(u ,T)={frac {8pi hu ^{3}}{c^{3}}}{frac {1}{e^{hu /kT}-1} }}$.

Da die mittlere Energie bei hohen Frequenzen schneller abnimmt als die Zustandsdichte zunimmt, nimmt die spektrale Energiedichte – die ja ihr Produkt ist – nach Durchlaufen eines Maximums wieder zu höheren Frequenzen ab, so dass die Gesamtenergie endlich bleibt. So erklärte Planck anhand seiner Quantenhypothese, warum die auf Basis der klassischen Thermodynamik vorhergesagte Ultraviolett-Katastrophe nicht eintritt.

Wichtige Anwendungen des Strahlengesetzes

Strahlungsspektren nach Planck für verschiedene Temperaturen, auf linearen Skalen

Das Plancksche Strahlungsgesetz wird auf verschiedene Weise dargestellt und repräsentiert Größen für Intensitäten, Stromdichten und spektrale Verteilungen die für die zu beschreibende Situation relevant sind. All diese verschiedenen Formen sind nur Varianten dieses einen Gesetzes.

Das erste nebenstehende Bild zeigt die Planck-Strahlungsspektren für Temperaturen zwischen 300 K und 1000 K auf einer linearen Skala. Man erkennt die typische Glockenform mit einem deutlichen Maximum, einem steilen Abfall zu den kurzen Wellenlängen und einem langsamen Abfall zu den längeren Wellenlängen. Die Lage des Maximums verschiebt sich mit steigender Temperatur zu den kürzeren Wellenlängen, entsprechend dem Wiens Verschiebungsgesetz. Gleichzeitig, nach den Stefan-Boltzmann-Recht, die Gesamtstrahlung nimmt mit der vierten Potenz der Temperatur zu. Aufgrund dieser starken Zunahme der Strahlungsintensität mit steigender Temperatur ist es schwierig, Kurven für einen großen Temperaturbereich in einem Diagramm darzustellen.

Strahlungsspektren nach Planck für verschiedene Temperaturen auf einer doppelt logarithmischen Skala

Das zweite Bild hat also entlang beider Achsen ein logarithmisch Rahmen. Dargestellt sind die Spektren für Temperaturen zwischen 100 K und 10.000 K.

Die Kurve für 300 K ist rot dargestellt; dies entspricht typischen Umgebungstemperaturen. Das Maximum dieser Kurve liegt bei 10 µm; in diesem Wellenlängenbereich ist die lange Welle Infrarot, findet auch der Strahlungsaustausch von Objekten bei Raumtemperatur statt. Typisch Infrarot-Thermometer und Thermografie-Kamerain diesem Bereich arbeiten.

Die Kurve für 3000 K entspricht dem typischen Strahlungsspektrum von a die Glühbirne. In diesem Fall wird ein Teil der Strahlung bereits im sichtbaren Teil des Spektrums emittiert. Das Maximum liegt jedoch noch im nahen Infrarot.

Gelb dargestellt ist die Kurve für 5777 K, die durchschnittliche Temperatur des Sonne. Das Strahlungsmaximum liegt nun in der Mitte des sichtbaren Teils des Spektrums.

Häufig verwendete Formeln und Einheiten

Für die mathematische Darstellung des Planckschen Gesetzes gibt es zahlreiche Varianten, je nachdem, ob das Gesetz als Funktion der Frequenz oder der Wellenlänge formuliert werden soll, ob die Strahlungsintensität in eine bestimmte Richtung oder die Strahlung in alle Richtungen beschrieben werden soll. , oder die Strahlung Mengen, Energiedichten oder Photonenzahlen müssen beschrieben werden.

Die Formel wird oft für die verwendet spezifische spektrale Erscheinung${Displaystil M_{u}^{o}(u,T)}$ eines schwarzen Körpers mit absoluter Temperatur ${Displaystil T:}$

in Frequenzform:

${displaystyle M_{u}^{o}(u ,T)mathrm {d} A,mathrm {d} u ={frac {2pi hu ^{3}}{c^{2}}}{frac {1} {e^{hu /kT}-1}}mathrm {d} Amathrm {d} u qquad }$ (SI-Einheit W m⁻² Hz⁻¹)

und in Wellenlängenform:

${displaystyle M_{lambda}^{o}(lambda ,T)mathrm {d} Amathrm {d} lambda ={frac {2pi hc^{2}}{lambda ^{5}}}{frac {1}{e ^{hc/lambda kT}-1}}mathrm {d} A,mathrm {d} lambda qquad }$ (SI-Einheit W m⁻² ich⁻¹)

Die Größe ${displaystyle M_{u}^{o}(u ,T),mathrm {d} Amathrm {d} u}$ ist der von einem Oberflächenelement emittierte Emissionsgrad dein im Frequenzbereich zwischen ν und ν dν wird im gesamten Hemisphärenraum abgestrahlt. Außerdem, ha Plancks Konstante, c das Lichtgeschwindigkeit und k das Boltzmann-Konstante.

Bei der Umrechnung von der Frequenzform in die Wellenlängenform und zurück ist zu berücksichtigen, dass aufgrund von

${displaystyle lambda ={frac {c}{u}}}$

gilt

${displaystyle |mathrm {d} lambda |={frac {c}{u ^{2}}}|mathrm {d} u |quad }$ und ${displaystyle quad |mathrm {d} u |={frac {c}{lambda ^{2}}}|mathrm {d} lambda |}$.

Siehe auch

• Max Planck
• Historischer Überblick über die Strahlungsgesetze

Externe Links

• (das) Plancks Strahlungsformel
• (das) Zur Geschichte der Entdeckung der Strahlungsgesetze

Nüsse

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