WikiDer > Проблема Уайтхеда

В теория групп, филиал абстрактная алгебра, то Проблема Уайтхеда это следующий вопрос:

Каждый абелева группа А с Ext¹(А, Z) = 0 а свободная абелева группа?

Шелах (1974) доказал, что проблема Уайтхеда независимый из ZFC, стандартные аксиомы теории множеств.

Уточнение

Условие Ext¹(А, Z) = 0 можно эквивалентно сформулировать следующим образом: всякий раз, когда B абелева группа и ж : B → А это сюръективный групповой гомоморфизм чей ядро является изоморфный к группе целые числа Z, то существует группа гомоморфизм грамм : А → B с фг = я бы_А. Абелевы группы А удовлетворяющие этому условию иногда называют Группы УайтхедаИтак, проблема Уайтхеда заключается в следующем: каждая ли группа Уайтхеда свободна?

Осторожность: Обратное к проблеме Уайтхеда, а именно, что каждая свободная абелева группа является Уайтхедом, является хорошо известным теоретико-групповым фактом. Некоторые авторы называют Группа Уайтхеда только несвободный группа А удовлетворение Ext¹(А, Z) = 0. Тогда проблема Уайтхеда спрашивает: существуют ли группы Уайтхеда?

Доказательство Шелы

Сахарон Шелах (1974) показал, что при канонической ZFC система аксиом, проблема в независимо от обычных аксиом теории множеств. Точнее, он показал, что:

• Если каждый набор конструктивный, то каждая группа Уайтхеда свободна;
• Если Аксиома мартина и отрицание гипотеза континуума держатся оба, значит, есть несвободная группа Уайтхеда.

Поскольку последовательность ZFC подразумевает согласованность обоих следующих факторов:

• В аксиома конструктивности (который утверждает, что все множества конструктивны);
• Аксиома мартина плюс отрицание гипотеза континуума,

Проблема Уайтхеда не может быть решена в ZFC.

Обсуждение

Дж. Х. К. Уайтхед, мотивированные проблема троюродного брата, впервые поставила проблему в 1950-х годах. Штейн (1951) ответил утвердительно на вопрос счетный группы. Прогресс для больших групп был медленным, и проблема считалась важной в алгебра в течение нескольких лет.

Результат Шелаха был совершенно неожиданным. Хотя о существовании неразрешимых утверждений было известно с Теорема Гёделя о неполноте 1931 г., предыдущие примеры неразрешимых утверждений (например, гипотеза континуума) все были в чистом виде теория множеств. Проблема Уайтхеда была первой чисто алгебраической проблемой, которая оказалась неразрешимой.

Шела (1977, 1980) позже показал, что проблема Уайтхеда остается неразрешимой, даже если принять гипотезу континуума. Гипотеза Уайтхеда верна, если все множества конструктивный. Что это и другие утверждения о бесчисленных абелевых группах доказуемо независимы от ZFC показывает, что теория таких групп очень чувствительна к предполагаемому основному теория множеств.

Смотрите также

• Свободная абелева группа
• Кручение белой головки
• Список утверждений, неразрешимых в ZFC
• Утверждения верны, если все наборы конструктивны

Рекомендации

• Эклоф, Пол С. (1976), «Проблема Уайтхеда неразрешима», Американский математический ежемесячник, The American Mathematical Monthly, Vol. 83, № 10, 83 (10): 775–788, Дои:10.2307/2318684, JSTOR 2318684 Пояснительный отчет о доказательстве Шелы.
• Эклоф, П. (2001) [1994], "Проблема Уайтхеда", Энциклопедия математики, EMS Press
• Шелах, С. (1974), "Бесконечные абелевы группы, проблема Уайтхеда и некоторые конструкции", Израильский математический журнал, 18 (3): 243–256, Дои:10.1007 / BF02757281, МИСТЕР 0357114
• Шелах, С. (1977), «Группы Уайтхеда не могут быть свободными, даже если предположить, что CH. I», Израильский математический журнал, 28 (3): 193–203, Дои:10.1007 / BF02759809, HDL:10338.dmlcz / 102427, МИСТЕР 0469757
• Шелах, С. (1980), «Группы Уайтхеда не могут быть свободными, даже если предположить, что CH. II», Израильский математический журнал, 35 (4): 257–285, Дои:10.1007 / BF02760652, МИСТЕР 0594332
• Штейн, Карл (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Математика. Анна., 123: 201–222, Дои:10.1007 / BF02054949, МИСТЕР 0043219