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Wiener-Filterung ist eine Methode zum Entfernen eines verschmutzten Signal – bestehend aus einem nützlichen und a Rauschsignal - filtern. Ziel ist es, möglichst viel Rauschen zu entfernen, so dass das reine Signal möglichst optimal angenähert wird. Die Methode wurde entwickelt von Norbert Wiener in dem 1940er Jahre.

Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie sich leicht in ein Mathematikpaket implementieren lässt (zum Beispielfor MATLAB). Der Nachteil sind die benötigten Informationen sowohl über das saubere Signal als auch über das Rauschsignal. Diese Signale werden als stationär angenommen und müssen beide unkorreliert sein. Der Filter funktioniert dann beispielsweise gut mit weißem Gauß-Rauschen.

Das Filter zeichnet sich durch seine Impulsantwort aus, die durch Lösen der Wiener-Hopf-Gleichung ermittelt werden kann:${displaystyle conv(h,Rxx)=Rss}$Die Herleitung davon basiert auf statischen Überlegungen zum Projektionstheorem: Minimizing Least Square Deviation.

Problem

Der Eingang des Filters gilt als sauberes Signal zuiver ${Anzeigestil s(t)}$ die mit Zusatzgeräuschen belastet ist ${Anzeigestil r(t)}$. Das Ergebnis des Filters ${displaystyle {Hut {s}}(t)}$ erhält man durch eine Faltung mit ${Anzeigestil g(t)}$:

${Displaystil {Hut {s}}(t)=g(t)*(s(t) r(t))=g(t)*x(t)}$

mit

• ${Anzeigestil s(t)}$ das reine Signal
• ${Anzeigestil r(t)}$ das additive Geräusch
• ${Anzeigestil x(t)}$ das verschmutzte Signal
• ${Anzeigestil g(t)}$ die Impulsantwort des Filters
• ${displaystyle {Hut {s}}(t)}$ das gefilterte Signal

Der Fehler ist definiert als Differenz zwischen dem sauberen Signal und dem gefilterten Signal:

${displaystyle e(t)=s(t alpha)-{hat {s}}(t)}$

Das saubere Signal wird um verschoben ${displaystyle alpha }$ um die Verzögerung des Filters zu berücksichtigen.

Der quadratische Fehler wird wie folgt:

${displaystyle e^{2}(t)=s^{2}(t alpha)-2s(t alpha){hat {s}}(t) {hat {s}}^{2}(t)}$

Abhängig vom Wert von ${displaystyle alpha }$ Wir können drei Arten von Problemen unterscheiden:

• ${Anzeigestil Alpha >0}$: Vorhersage (der Fehler wird kleiner, wenn ${displaystyle {Hut {s}}(t)}$ ähnelt späteren Werten von ${Anzeigestil s}$)
• ${Anzeigestil Alpha =0}$: Filterung (der Fehler wird kleiner, wenn ${displaystyle {Hut {s}}(t)}$ ähnlich ${Anzeigestil s(t)}$)
• ${Anzeigestil Alpha <0}$: Glättung (der Fehler wird kleiner, wenn ${displaystyle {Hut {s}}(t)}$ ähnelt früheren Werten von ${Anzeigestil s}$)

Wir können das machen Faltung Abmelden:

${displaystyle {hat {s}}(t)=int _{-infty}^{infty }{g(au)links[s(t-au)r(t-au)ight],d au}}$.

Ersetzen Sie in der Gleichung für ${displaystyle e^{2}(t)}$ und berechnen die erwarteter Wert liefert:

${displaystyle E(e^{2})=R_{ss}(0)-2int _{-infty}^{infty }{g(au)R_{xs}(au alpha),dau} int _{- infty }^{infty }{int _{-infty }^{infty }{g( au )g( heta )R_{xx}(au - heta ),d au },d heta }}$

mit

• ${displaystyle R_{ss}}$ die Autokorrelationsfunktion von ${Anzeigestil s(t)}$
• ${displaystyle R_{xx}}$ die Autokorrelationsfunktion von ${Anzeigestil x(t)}$
• ${displaystyle R_{xs}}$ die Kreuzkorrelationsfunktion von ${Anzeigestil x(t)}$ und ${Anzeigestil s(t)}$

Wenn das Signal ${Anzeigestil s(t)}$ und der Lärm ${Anzeigestil r(t)}$ unkorreliert zu sein, gilt:

• ${displaystyle R_{xs}=R_{ss}}$
• ${displaystyle R_{x}=R_{s} R_{r}}$

Für viele Anwendungen ist dies eine vernünftige Annahme, da das Rauschen nicht vom Signal abhängt, wie beispielsweise Quantisierungsrauschen und Sensorrauschen.

Der Zweck des Filters ist ${Anzeigestil E(e^{2})}$ minimiert durch Bestimmung eines optimalen ${Anzeigestil g(t)}$