WikiDer > Wolstenholme Prime
Названный в честь | Джозеф Вольстенхолм |
---|---|
Год публикации | 1995[1] |
Автор публикации | Макинтош, Р. Дж. |
Нет. известных терминов | 2 |
Предполагаемый нет. условий | Бесконечный |
Подпоследовательность из | Неправильные простые числа |
Первые триместры | 16843, 2124679 |
Самый большой известный термин | 2124679 |
OEIS индекс |
|
В теория чисел, а Wolstenholme Prime это особый вид простое число удовлетворение более сильной версии Теорема Вольстенхольма. Теорема Вольстенхольма - это отношение конгруэнтности удовлетворяются все простые числа больше 3. Простые числа Вольстенхолма названы в честь математика Джозеф Вольстенхолм, который впервые описал эту теорему в 19 веке.
Интерес к этим простым числам впервые возник из-за их связи с Последняя теорема Ферма. Простые числа Вольстенхолма также связаны с другими специальными классами чисел, которые изучаются в надежде обобщить доказательство истинности теоремы на все натуральные числа больше двух.
Единственными двумя известными простыми числами Вольстенхолма являются 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхолма меньше 10 не существует.9.[2]
Определение
Нерешенная проблема в математике: Существуют ли какие-либо простые числа Вольстенхольма, кроме 16843 и 2124679? (больше нерешенных задач по математике) |
Простое число Вольстенхольма можно определить несколькими эквивалентными способами.
Определение через биномиальные коэффициенты
Простое число Вольстенхолма - это простое число п > 7, что удовлетворяет соответствие
где выражение в левая сторона обозначает биномиальный коэффициент.[3]В сравнении Теорема Вольстенхольма заявляет, что для каждого простого п > 3 имеет место следующее сравнение:
Определение через числа Бернулли
Простое число Вольстенхолма - это простое число п что делит числитель Число Бернулли Bп−3.[4][5][6] Таким образом, простые числа Вольстенхолма образуют подмножество неправильные простые числа.
Определение через неправильные пары
Простое число Вольстенхолма - это простое число п такой, что (п, п–3) является неправильная пара.[7][8]
Определение через гармонические числа
Простое число Вольстенхолма - это простое число п такой, что[9]
то есть числитель номер гармоники выраженная в наименьшем количестве, делится на п3.
Поиск и текущий статус
Поиск простых чисел Вольстенхолма начался в 1960-х годах и продолжался в последующие десятилетия, а последние результаты были опубликованы в 2007 году. Первое простое число Вольстенхолма 16843 было найдено в 1964 году, хотя в то время о нем не сообщалось.[10] Открытие 1964 года было позже независимо подтверждено в 1970-х годах. Это оставалось единственным известным примером такого простого числа почти 20 лет, до объявления об открытии второго простого числа Вольстенхолма 2124679 в 1993 году.[11] До 1,2×107, других простых чисел Вольстенхолма не найдено.[12] Позже это было увеличено до 2×108 Макинтош в 1995 г. [5] и Trevisan & Weber достигли 2,5×108.[13] Последний результат на 2007 год состоит в том, что есть только эти два простых числа Вольстенхолма до 109.[14]
Ожидаемое количество простых чисел Вольстенхольма
Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Вольстенхольма. Предполагается, что количество простых чисел Вольстенхольма ≤Икс около ln ln x, куда пер обозначает натуральный логарифм. Для каждого прайма п ≥ 5, Фактор Вольстенхолма определяется как
Четко, п является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда Wп ≡ 0 (модп). Эмпирически можно предположить, что остатки Wп по модулю п находятся равномерно распределены в наборе {0, 1, ..., п–1}. Исходя из этого, вероятность того, что остаток примет конкретное значение (например, 0), составляет примерно 1 /п.[5]
Смотрите также
Примечания
- ^ Простые числа Вольстенхолма были впервые описаны Макинтошем в Макинтош 1995, п. 385
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Вольстенхолм прайм". MathWorld.
- ^ Кук, Дж. Д. «Биномиальные коэффициенты». Получено 21 декабря 2010.
- ^ Кларк и Джонс 2004, п. 553.
- ^ а б c Макинтош 1995, п. 387.
- ^ Чжао 2008, п. 25.
- ^ Джонсон 1975, п. 114.
- ^ Buhler et al. 1993 г., п. 152.
- ^ Чжао 2007, п. 18.
- ^ Селфридж и Поллак опубликовали первое простое число в Вольстенхолме в Селфридж и Поллак 1964, п. 97 (см. Макинтош и Рёттгер 2007, п. 2092).
- ^ Рибенбойм 2004, п. 23.
- ^ Чжао 2007, п. 25.
- ^ Тревизан и Вебер 2001, п. 283–284.
- ^ Макинтош и Рёттгер 2007, п. 2092.
Рекомендации
- Selfridge, J. L .; Поллак, Б. У. (1964), «Последняя теорема Ферма верна для любого показателя степени до 25000», Уведомления Американского математического общества, 11: 97
- Джонсон, В. (1975), «Неправильные простые числа и циклотомические инварианты» (PDF), Математика вычислений, 29 (129): 113–120, Дои:10.2307/2005468, JSTOR 2005468 В архиве 2010-12-20 в WebCite
- Buhler, J .; Crandall, R .; Ernvall, R .; Метсянкюля, Т. (1993), "Нерегулярные простые числа и циклотомические инварианты до четырех миллионов" (PDF), Математика вычислений, 61 (203): 151–153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, Дои:10.2307/2152942, JSTOR 2152942 В архиве 2010-11-12 в WebCite
- Макинтош, Р. Дж. (1995), «Об обращении теоремы Вольстенхольма» (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, Дои:10.4064 / aa-71-4-381-389 В архиве 2010-11-08 в WebCite
- Trevisan, V .; Вебер, К. Э. (2001), "Проверка обратного теоремы Вольстенхольма" (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275–286 В архиве 2010-12-10 в WebCite
- Рибенбойм, П. (2004), «Глава 2. Как определить, является ли натуральное число простым», Маленькая книга больших простых чисел, Нью-Йорк: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6 В архиве 2010-11-24 в WebCite
- Clarke, F .; Джонс, К. (2004), «Конгруэнтность факториалов» (PDF), Бюллетень Лондонского математического общества, 36 (4): 553–558, Дои:10.1112 / S0024609304003194 В архиве 2011-01-02 в WebCite
- McIntosh, R.J .; Рёттгер, Э. Л. (2007), «Поиск простых чисел Фибоначчи-Вифериха и Вольстенхольма» (PDF), Математика вычислений, 76 (260): 2087–2094, Bibcode:2007MaCom..76.2087M, Дои:10.1090 / S0025-5718-07-01955-2 В архиве 2010-12-10 в WebCite
- Чжао, Дж. (2007), "Числа Бернулли, теорема Вольстенхольма и p5 вариации теоремы Лукаса " (PDF), Журнал теории чисел, 123: 18–26, Дои:10.1016 / j.jnt.2006.05.005, S2CID 937685В архиве 2010-11-12 в WebCite
- Чжао, Дж. (2008), "Теорема типа Вольстенхольма для кратных гармонических сумм" (PDF), Международный журнал теории чисел, 4 (1): 73–106, Дои:10.1142 / с1793042108001146 В архиве 2010-11-27 в WebCite
дальнейшее чтение
- Бэббидж, К. (1819 г.), «Демонстрация теоремы о простых числах», Эдинбургский философский журнал, 1: 46–49
- Krattenthaler, C .; Ривоал, Т. (2009), "О целочисленности коэффициентов Тейлора зеркальных отображений, II", Коммуникации в теории чисел и физике, 3 (3): 555–591, arXiv:0907.2578, Bibcode:2009arXiv0907.2578K, Дои:10.4310 / CNTP.2009.v3.n3.a5
- Вольстенхолм, Дж. (1862 г.), «О некоторых свойствах простых чисел», Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики, 5: 35–39
внешняя ссылка
- Колдуэлл, Крис К. Wolstenholme Prime из The Prime Glossary
- Макинтош, Р. Дж. Статус поиска Wolstenholme по состоянию на март 2004 г. электронное письмо Пауль Циммерманн
- Брук, Р. Теорема Вольстенхольма, числа Стирлинга и биномиальные коэффициенты
- Конрад, К. В п-адический рост гармонических сумм интересное наблюдение с участием двух простых чисел Вольстенхолма