WikiDer > Собственный номер

Self number

В теория чисел, а собственный номер, Колумбийский номер или же Число Девлали в данном база чисел это натуральное число которое не может быть записано как сумма любого другого натурального числа и отдельные цифры . 20 - это собственное число (по основанию 10), потому что такой комбинации не найти (все дают результат меньше 20; все остальные дают результат больше 20). 21 нет, потому что его можно записать как 15 + 1 + 5, используя п = 15. Впервые эти числа были описаны в 1949 г. Индийский математик Д. Р. Капрекар.

Определение и свойства

Позволять быть натуральным числом. Мы определяем -самостоятельная функция для базы быть следующим:

куда это количество цифр в числе в базе , и

- значение каждой цифры числа. Натуральное число это -собственный номер если прообраз из за это пустой набор.

В общем, для четных баз все странный числа ниже основного числа являются собственными числами, так как любое число ниже такого нечетного числа также должно быть однозначным числом, которое при добавлении к его цифре приведет к четному числу. Для нечетных основ все нечетные числа являются собственными числами.[1]

Набор собственных номеров в заданной базе бесконечен и имеет положительный асимптотическая плотность: когда нечетно, эта плотность равна 1/2.[2]

Рекуррентная формула

Следующее отношение повторения генерирует некоторые база 10 собственные номера:

C1 = 9)

И для двоичный числа:

(куда j обозначает количество цифр) мы можем обобщить рекуррентное соотношение для генерации собственных чисел в любой базе б:

в котором C1 = б - 1 для четных оснований и C1 = б - 2 для нечетных баз.

Существование этих рекуррентных соотношений показывает, что для любой базы существует бесконечно много собственных номеров.

Тесты на самость

Редукционные тесты

Люк Пебоди показал (октябрь 2006 г.), что можно установить связь между свойством self большого числа п и младшая часть этого числа с поправкой на цифровые суммы:

  1. В целом, п сам если и только если м = R (п) + SOD (R (п)) - СОД (п) сам

    Где:

    Р(п) - наименьшие крайние правые цифры п, больше 9.d (п)
    d (п) - количество цифр в п
    SOD (Икс) - сумма цифр Икс, функция S10(Икс) сверху.
  2. Если , тогда п является самим собой тогда и только тогда, когда оба {м1 & м2} отрицательны или являются собственными

    Где:

    м1 = c - СОД (а)
    м2 = SOD (а-1)+9·б-(c+1)
  3. Для простого случая а=1 & c= 0 в предыдущей модели (т.е. ), тогда п является самим собой тогда и только тогда, когда (9 ·б-1) самостоятельно

Эффективный тест

Капрекар продемонстрировал который:

п сам, если

Где:

это сумма всех цифр в п.
это количество цифр в п.

Собственные номера в определенных базах

За база 2 собственные номера, см. OEISA010061. (записано по базе 10)

Первые несколько собственных чисел по основанию 10:

1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 209, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 490, ... (последовательность A003052 в OEIS)

В база 12, собственные числа: (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

1, 3, 5, 7, 9,, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, ᘔ 8, Ɛ9, 102, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198, 1 ᘔ 9, 1Ɛᘔ, 20Ɛ, 211, 222, 233, 244, 255, 266, 277, 288, 299, 2 ᘔᘔ, 2ƐƐ, 310, 312, 323, 334, 345, 356, 367, 378, 389, 39 ᘔ, 3 ᘔƐ, 400, 411, 413, 424, 435, 446, 457, 468, 479, 48 ᘔ, 49Ɛ, 4Ɛ0, 501, 512, 514, 525, 536, 547, 558, 569, 57 ᘔ, 58Ɛ, 5 ᘔ 0, 5Ɛ1, ...

Самостоятельная установка

А самопрайм это собственный номер, который основной.

Первые несколько простых чисел с основанием 10:

3, 5, 7, 31, 53, 97, 211, 233, 277, 367, 389, 457, 479, 547, 569, 613, 659, 727, 839, 883, 929, 1021, 1087, 1109, 1223, 1289, 1447, 1559, 1627, 1693, 1783, 1873, ... (последовательность A006378 в OEIS)

Первые несколько простых чисел в базе 12 следующие: (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

3, 5, 7, Ɛ, 31, 75, 255, 277, 2ƐƐ, 3, 435, 457, 58Ɛ, 5Ɛ1, ...

В октябре 2006 года Люк Пебоди продемонстрировал, что самый крупный из известных Мерсенн прайм в базе 10, которая в то же время является собственным числом 224036583−1. Тогда это самый большой известный простое число с основанием 10 по состоянию на 2006 год..

Расширение до отрицательных целых чисел

Собственные числа могут быть расширены до отрицательных целых чисел с помощью представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Выдержка из таблицы баз где 2007 само собой

Следующая таблица была рассчитана в 2007 году.

ОснованиеСертификатСумма цифр
4048
41
4240
43
4436
4479
45
4681
47
48
49
5048
51
5260
53
5476
55
5641
57
5863
59
6089

Рекомендации

  1. ^ Sándor & Crstici (2004) с.384.
  2. ^ Sándor & Crstici (2004) с.385.
  • Капрекар, Д. Математика новых собственных чисел Деваяли (1963): 19-20.
  • Р. Б. Патель (1991). "Некоторые тесты для k-Сам номера ». Математика. Ученик. 56: 206–210.
  • Б. Рекаман (1974). «Проблема E2408». Амер. Математика. Ежемесячно. 81 (4): 407. Дои:10.2307/2319017.
  • Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. С. 32–36. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Собственный номер». MathWorld.