WikiDer > Z-Wert

Der Z-Score ist auf einer Normalverteilung angegeben.

Das Z-Score oder standardisiertes Formular von a stochastische Variable${Anzeigestil X}$ mit erwarteter Wert${Anzeigestil mu}$ und Standardabweichung${Displaystil-Sigma}$ ist die Abweichung vom erwarteten Wert, ausgedrückt in Einheiten der Standardabweichung. In Formelform:

${displaystyle Z={frac {X-mu }{sigma }}}$

Der Z-Score ist ein standardisierter Wert, der mit anderen Z-Scores verglichen werden kann. Ein Z-Score gleich 2, was bedeutet, dass ${Anzeigestil Z}$ den Wert 2 annimmt bedeutet, dass die stochastische Variable ${Anzeigestil X}$ nimmt einen Wert an, der zwei Standardabweichungen über seinem erwarteten Wert liegt. Dies kann für eine stochastische Variable einen Wert von 0,1 und für eine andere einen Wert von 32100 bedeuten.

Basierend auf der Ungleichung von Tschebyschevi daraus kann geschlossen werden, dass Z-Scores von ±3 und extremer ziemlich selten sind; unabhängig von der Art der Verteilung beträgt die Wahrscheinlichkeit hierfür höchstens 1/9. Für die meisten Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist diese Wahrscheinlichkeit jedoch viel kleiner; so ist es für die Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit eines Z-Scores von 3 ist kleiner als 0,002.

Eigenschaften

Die Erwartung des Z-Scores ist 0 und die Standardabweichung gleich 1. Wenn ${Anzeigestil X}$normal verteilt ist, ist ${Anzeigestil Z}$ Standard normalverteilt.

In bestimmten Fällen ermöglichen Z-Scores einen sinnvollen Vergleich von Stichproben verschiedener Populationen (d. h. über ihre Z-Scores).

Hinweis

Oft sieht man einen Ausdruck wie "${Anzeigestil Z=2}$", was bedeutet, dass der Z-Score gleich 2 ist. Es muss jedoch immer daran erinnert werden, dass ${Anzeigestil Z}$ ist eine stochastische Variable und kann nicht gleich der Zahl 2 sein. In einer bestimmten Situation oder Stichprobe ${Anzeigestil Z}$ der Wert 2 kann beobachtet werden.

Stichprobe

Wenn der Erwartungswert und die Standardabweichung unbekannt sind, dann für ein Stichprobenergebnis ${Anzeigestil x}$ berechnet als z-Score:

${displaystyle z={frac {x-{ar {x}}}{s}}}$,

in welchem ${displaystyle {ar {x}}}$ es Stichprobenmittelwert ist und ${Anzeigestil s}$ das Standardabweichung der Stichprobe.

Siehe auch

Z-Score (finanziell). In der Finanzwelt hat der Begriff Z-Score zwei völlig unterschiedliche Bedeutungen (wobei dort natürlich auch seine statistische Bedeutung diskutiert werden kann).