WikiDer > Standardabweichung

Diagramm von a Normalverteilung; jedes Band hat eine Breite von 1 Standardabweichung.

Das Standardabweichung oder Standardabweichung (oft bezeichnet mit dem Griechischer Buchstabe σ für die Bevölkerung und so für die Probe), ein Konzept in der Statistik, ist ein Maß für die streuen einer Variablen oder von a Verteilung oder Population. Die Standardabweichung ist definiert als Wurzel von dem Abweichung, und daher vergleichbar mit den Werten der Variablen selbst.

Die Standardabweichung wird verwendet, um die streuen – geben an, wie stark sich die Werte voneinander unterscheiden – einer Verteilung. Die Standardabweichung wird im Gegensatz zur Varianz in derselben Einheit wie der Erwartungswert oder der Mittelwert ausgedrückt.

Auch für a Stichprobe von einer Grundgesamtheit oder Verteilung spricht man von Standardabweichung, oder besser Standardabweichung der Stichprobe, normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet so. Diese Größe ist ein schätzen der Standardabweichung in der entsprechenden Grundgesamtheit oder Verteilung. Für eine Stichprobe beträgt die Varianz (ungefähr) die durchschnittlich des Quadrate der Abweichung der Messwerte vom Mittelwert der Daten.

Definitionen

Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte${displaystyle f}$ ist der Standardabweichung${Displaystil-Sigma}$ definiert als die Wurzel des Abweichung, sofern vorhanden:

${displaystyle sigma ^{2}=int _{-infty }^{infty}(x-mu)^{2}f(x),mathrm {d} x}$

Darin ist ${Anzeigestil mu}$ das erwarteter Wert, definiert von:

${displaystyle mu =int _{-infty}^{infty}xf(x),mathrm {d} x}$,

auch wenn es existiert.

Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung

Für einen diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Wahrscheinlichkeitsfunktion${displaystyle p}$ ist der Standardabweichung${Displaystil-Sigma}$ analog definiert als die Wurzel des Abweichung, sofern vorhanden:

${displaystyle sigma ^{2}=Summe _{i}(x_{i}-mu)^{2}p(x_{i})}$

Darin ist ${Anzeigestil mu}$ Wetter das erwarteter Wert, definiert von:

${displaystyle mu = Summe _{i}x_{i}p(x_{i})}$,

auch wenn es existiert.

Zufällige Variable

Für ein zufällige Variable${Anzeigestil X}$ mit Wahrscheinlichkeitsdichte ${displaystyle f_{X}}$ oder Wahrscheinlichkeitsfunktion ${displaystyle p_{X}}$ die gleichen Definitionen gelten mit bzw. ${displaystyle f=f_{X}}$ oder ${displaystyle p=p_{X}}$. Die Standardabweichung wird dann angegeben durch ${displaystyle sigma_{X}}$. Die beiden Formeln lassen sich zusammenfassen in:

${Displaystyle-Operatorname {var} (X)=Sigma _{X}^{2}=Operatorname {E} (X-mu _{X})^{2}}$,

in welchem ${displaystyle mu _{X}=Betreibername {E} (X)}$ der Erwartungswert ist von ${Anzeigestil X}$; alles unter der Bedingung, dass die erwarteten Werte vorhanden sind.

Die letzte Formel gilt auch für jede Zufallsvariable.

Stichprobe

Auch für eine Stichprobe mit Ergebnissen ${displaystyle x_{1},ldots ,x_{n}}$ ist die definierte (Stichproben-)Standardabweichung, die normalerweise mit bezeichnet wird ${displaystyle s}$, als Quadratwurzel der (Stichproben-)Varianz:

${displaystyle s^{2}={frac {1}{n-1}}summe _{i}(x_{i}-{ar {x}})^{2}}$

Darin ist ${displaystyle { ar {x}}={frac {1}{n}}Summe _{i}x_{i}}$ es Stichprobenmittelwert.

Etwas unübersichtlich wird auch die leicht abweichende Menge

${displaystyle s_{n}^{2}={frac {1}{n}}sum _{i}(x_{i}-{ar {x}})^{2}}$

als Stichprobenvarianz bezeichnet. (Sehen Abweichung#Beispiel.)

Normalverteilung

Biene Normalverteilungen weicht von den möglichen Werten ab:

• 68,27 % höchstens 1-fache Standardabweichung vom Erwartungswert (Mittelpunkt der Verteilung)
• 95,45 % höchstens 2-fache Standardabweichung vom Erwartungswert
• 99,73 % höchstens 3-fache Standardabweichung vom Erwartungswert expected
• 99,9937% höchstens 4-fache Standardabweichung vom Erwartungswert expected
• 99,999943% höchstens 5-fache Standardabweichung vom Erwartungswert
• 99,9999998% höchstens das 6-fache der Standardabweichung vom Erwartungswert

Zufällige Verteilung

Dank an zentraler Grenzwertsatz wir wissen auch, dass für viele Verteilungen die Verteilung der Summe und damit auch des Mittelwerts einer großen Anzahl unabhängiger Beobachtungen daraus bei genügender Anzahl von Messungen in etwa die Form einer Normalverteilung hat. Folglich gelten die obigen Prozentsätze nicht nur für die Normalverteilung, sondern auch näherungsweise für den Durchschnitt einer Vielzahl unabhängiger Beobachtungen aus vielen unbekannten Verteilungen.

Siehe auch

• Abweichung