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Grafische Darstellung von Zernike-Polynomen auf der Einheitsscheibe

Zernike-Polynome sind in der Mathematik und der geometrische OptikPolynome das gegenseitige senkrecht sind über die Einheitsscheibe. Sie sind benannt nach Frits Zernike, die diese Polynome herleiteten. Zernike-Polynome werden verwendet als Serienentwicklung zur Berechnung von Wellenfronten für optische Geräte oder Augen mit kreisförmigem Eintritts- oder Austrittspupille.

Definitionen

Es gibt Ein bisschen und seltsam Zernike-Polynome. Die geraden Polynome sind definiert als

${displaystyle Z_{n}^{m}(ho,varphi)=R_{n}^{m}(ho),cos(m,varphi)}$

und das ungerade wenn

${displaystyle Z_{n}^{-m}(ho,varphi)=R_{n}^{m}(ho),sin(m,varphi),}$

in welchem ${displaystyle m}$ und ${displaystyle n}$ sind nicht negative ganze Zahlen, mit ${displaystyle ngeq m}$. Die Nummer ${Anzeigestil ho}$ ist der normalisierte radiale Abstand und ${Anzeigestil Varphi }$ ist der azimutalEcke im Bogenmaß. Das radiale Polynome${Anzeigestil R}$ sind definiert als

${displaystyle R_{n}^{m}(ho )=sum _{k=0}^{(nm)/2},{frac {(-1)^{k},(nk)!}{k! ,((nm)/2-k)!,(((nm)/2-k)!}};ho ^{n-2,k}}$

oder

${displaystyle R_{n}^{m}(ho )={frac {Gamma (n 1),{}_{2}F_{1}(-{frac {1}{2}}(|m|n) ,{frac {1}{2}}(|m|-n);-n;ho ^{-2})}{Gamma ({frac {1}{2}}(2 nm))Gamma ({frac {1}{2}}(2 nm))}}ho ^{n}}$

vor dem ${Anzeigestil n-m}$ gerade und sind gleich 0 für ${Anzeigestil n-m}$ seltsam. ${Anzeigestil Gamma }$ ist der Gamma-Funktion und ${displaystyle {}_{2}F_{1}}$ das hypergeometrische Funktion.

Für die Radialfunktionen gilt die Orthogonalitätsrelation über die Einheitsscheibe

${displaystyle int _{0}^{1}R_{n}^{m}(ho)R_{p}^{m}(ho)ho {m {d}}ho ={frac {1}{2( n 1)}}Delta _{np}R_{n}^{m}(1),}$

mit ${displaystyle delta_{np}}$ das Kronecker Delta.

Beispiele

Die ersten Zernike-Polynome sind:

${Displaystil R_{0}^{0}(r)=1}$

${Displaystil R_{1}^{1}(r)=r}$

${Anzeigestil R_{2}^{0}(r)=2r^{2}-1}$

${Anzeigestil R_{2}^{2}(r)=r^{2}}$

${Displaystil R_{3}^{1}(r)=3r^{3}-2r}$

${Anzeigestil R_{3}^{3}(r)=r^{3}}$

${Displaystil R_{4}^{0}(r)=6r^{4}-6r^{2} 1}$

${Displaystil R_{4}^{2}(r)=4r^{4}-3r^{2}}$

${Anzeigestil R_{4}^{4}(r)=r^{4}}$

${Displaystil R_{5}^{1}(r)=10r^{5}-12r^{3} 3r}$

${Anzeigestil R_{5}^{3}(r)=5r^{5}-4r^{3}}$

${Anzeigestil R_{5}^{5}(r)=r^{5}}$

${Displaystil R_{6}^{0}(r)=20r^{6}-30r^{4} 12r^{2}-1}$

${Displaystil R_{6}^{2}(r)=15r^{6}-20r^{4} 6r^{2}}$

${Anzeigestil R_{6}^{4}(r)=6r^{6}-5r^{4}}$

${Anzeigestil R_{6}^{6}(r)=r^{6}}$

Anwendungen

• Bei der Herstellung von Präzisionsoptiken werden Zernike-Polynome verwendet, um interferometrisch Analysen, um Fehler höherer Ordnung zu charakterisieren und die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.
• Anomalien der Hornhaut oder des Augenlinse relativ zur idealen Kugelform, die Abbildungsfehler verursachen, sind Optometrie und der Augenheilkunde mit diesen Funktionen beschrieben.
• Sie werden auch angewendet in adaptive Optik, wo sie zur Kompensation von Verzerrungen (Wellenfrontverzerrungen) durch atmosphärische Turbulenzen verwendet werden können. Bekannte Anwendungsgebiete hierfür sind Astronomie und Spionagesatelliten. Zum Beispiel einer der Zernik-Begriffe (für ${Anzeigestil m=0,n-2}$) wird als „Defokussierungs“-Begriff bezeichnet.^[1] Durch Verknüpfen des Ausgabewerts dieses Ausdrucks mit einem Steuersystem kann eine automatische Fokussierung erreicht werden.
• Das niederländische Unternehmen ASML wendet Zernike-Polynome bei der Berechnung ihrer an Wafer-Stepper, die mit UV-Lithographie Bebilderungsmasken auf Siliziumwafern, beschichtet mit einer lichtempfindlichen Schicht, zur Herstellung von Kartoffelchips.
• Eine weitere Anwendung von Zernike-Polynomen findet sich in der erweiterten Nijboer-Zernike-Theorie (ENZ) für Beugung und Aberrationen.
• Zernike-Polynome werden häufig als Basisfunktionen für sogenannte Bildmomente in der Bildanalyse (z.B. für OCR).

Nüsse

Quellen

• Born, M. & Wolf, E., "Principles of Optics", Oxford: Pergamon, 1970
• Eric W. Weisstein et al., "Zernike-Polynom", im MathWorld.
• C. E. Campbell, "Matrix-Methode, um einen neuen Satz von Zernike-Koeffizienten zu finden, um einen ursprünglichen Satz zu bilden, wenn der Öffnungsradius geändert wird", J.Opt. Sozial. Abänderung A 20 (2003) 209.
• C. Cerjan, "Die Zernike-Bessel-Darstellung und ihre Anwendung auf Hankel transformiert", J.Opt. Sozial. Abänderung A 24 (2007) 1609.
• S. A. Comastri, L. I. Perez, G. D. Perez, G. Martin und K. Bastida Cerjan, "Zernike-Expansionskoeffizienten: Neuskalierung und Dezentralisierung für verschiedene Pupillen und Bewertung von Hornhautaberrationen", J.Opt. A: Reine Appl. Opt.-Nr. 9 (2007) 209.
• G. Comforti, "Zernike Aberrationskoeffizienten von Seidel und Potenzreihenkoeffizienten höherer Ordnung", opt. zündete. 8 (1983) 407.
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• J. A. Díaz, J. Fernández-Dorado, C. Pizarro und J. Arasa, „Zernike-Koeffizienten für konzentrische, kreisförmige, skalierte Schüler: Ein gleichwertiger Ausdruck“, Zeitschrift für moderne Optik, 56(1), 2009 S. 149–155.
• J. A. Díaz und J. Fernández-Dorado,"Zernike-Koeffizienten für konzentrische, runde, skalierte Schüler" aus dem Wolfram-Demonstrationsprojekt,
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• M. Novotni, R. Klein, "3D Zernike Descriptors for Content Based Shape Retrieval", in Proceeding of The 8th ACM Symposium on Solid Modeling and Applications Juni 2003.
• M. Novotni, R. Klein, "Shape Retrieval mit 3D-Zernike-Deskriptoren", in Computer Aided Design, Vol. 2, No. 36, nein. 11, Seiten 1047-1062, 2004.

Externe Links

• (und) Die erweiterte Nijboer-Zernike-Website.
• Kreuzentwicklungen in Bezug auf Potenzen und Jacobi-Polynome.