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Eine Sphäre

EIN Kugel ist ein dreidimensionalKörper bestehend aus den Punkten, die höchstens eine bestimmte Entfernung von einem bestimmten Punkt haben. Der angegebene Abstand heißt Strahl und der angegebene Punkt it Center der Glühbirne. Die Fläche einer Kugel ist die Ambiente mit dem gleichen Mittelpunkt und Radius wie die Kugel. Eine Kugel ist das dreidimensionale Analogon von a Kreisscheibe, und ist erhältlich als Körper der Revolution wenn eine kreisförmige Scheibe um eine Mittellinie gedreht wird.

Definition

EIN Kugel ist die Menge aller Punkte in einem dreidimensionalen euklidischer Raum die höchstens in einer bestimmten Entfernung liegen, der Radius, von einem bestimmten Punkt, der Mittelpunkt der Kugel ${Anzeigestil B(m,r)}$ mit Radius ${Anzeigestil r>0}$ und Mittelpunkt ${displaystyle minus mathbb {R} ^{3}}$ ist

${displaystyle B(m,r)={xin mathbb {R} ^{3}mid |x-m|leq r}}$

Die so definierte Kugel heißt is geschlossene Kugel benannt, um es von a . zu unterscheiden offene Kugel, deren Begrenzungsfläche nicht in der offenen Kugel enthalten ist.

Das Einheitskugel ist die kugel ${Anzeigestil B(0,1)}$ mit dem Ursprung als Mittelpunkt und Radius 1.

Andere Abmessungen

In dem höhere Mathematik man verallgemeinert den Begriff einer Kugel (und ihres Randes, der Kugel) auf beliebige Dimensionen. Die Terminologie ist nicht eindeutig. In beliebigen Dimensionen wird aus einer Kugel als Körper auch eine Vollkugel oder Ball während die Oberfläche nicht nur eine Kugel und eine sphärische Oberfläche ist, sondern auch Ambiente bezeichnet ist. EIN offene Kugel oder offener Ball ist eine volle Kugel ohne Atmosphäre.

Eigenschaften

Die Fläche einer Kugel oder Kugel mit Radius ${displaystyle r}$ ist

${Displaystil A=4pi r^{2}}$

Das Volumen einer Kugel mit Radius ${displaystyle r}$ ist

${displaystyle V={ frac {4}{3}}pi r^{3}}$

Notiere dass der Derivat vom Volumen einer Kugel bis zum Radius beträgt die Fläche . Dies gilt auch in höheren Dimensionen und für die untere Dimension.

Volumenableitung

Das Volumen ist das Volumenintegral über die Punkte, die erfüllen:

${displaystyle x^{2} y^{2} z^{2}leq r^{2}}$

Das Integral ist das Doppelte des Integrals über die obere Hälfte und die Integration über ${Anzeigestil x}$ und ${Anzeigestil y}$ bei einem gegebenen Wert von ${Anzeigestil z}$ bietet die Oberfläche ${displaystyle pi(r^{2}-z^{2})}$ des Kreises in der Höhe ${Anzeigestil z}$, mit Radius ${displaystyle {sqrt {r^{2}-z^{2}}}}$, So:

${displaystyle V=iiiint _{x^{2} y^{2} z^{2}leq r^{2}}mathrm {d} xmathrm {d} ymathrm {d} z=2int _{0}^{ r}pi (r^{2}-z^{2})mathrm {d} z=2pi links[r^{2}z-{ frac {1}{3}}z^{3}ight]_{ z=0}^{r}={ frac {4}{3}}pi r^{3}}$

Das kann man sich so vorstellen, dass die Kugel aus Scheiben der Dicke . besteht ${displaystyle mathrm {d} z}$ senkrecht zur z-Achse, mit in der Höhe ${Anzeigestil z}$ ein Balken ${displaystyle {sqrt {r^{2}-z^{2}}}}$, und damit eine Fläche ${displaystyle pi(r^{2}-z^{2})}$. Die Summe dieser Scheiben, das Integral, ist das Volumen.

Eine andere Darstellung zur Bestimmung des Volumens besteht darin, die Kugel zentriert auf einer 2-dimensionalen Ebene darzustellen, wobei der Mittelpunkt der Kugel im Ursprung eines Koordinatensystems liegt.

Wo die Kugel die 2-dimensionale Ebene schneidet, wird ein Kreis gebildet. Aus dem Satz des Pythagoras folgt die Formel eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung:

${Displaystil x^{2} y^{2}=r^{2}}$

Unterteilt in vertikale Scheiben quer zu dieser 2-dimensionalen Ebene kann die Fläche jeder dieser Scheiben wie folgt bestimmt werden, da der Radius jeder Scheibe der Kugel durch die oben beschriebene Funktion gleich der y-Koordinate ist.

${Displaystil A=pi y^{2}=pi (r^{2}-x^{2})}$

Was dann für die gesamte Kugel zu ihrem Volumen integriert werden kann:

${displaystyle V=pi int _{-r}^{r}(r^{2}-x^{2})dx=pi links[r^{2}x-{frac {x^{3}}{ 3}}ight]_{-r}^{r}=pi links(r^{3}-{frac {r^{3}}{3}} r^{3}-{frac {r^{3 }}{3}}ight)=pi {frac {3r^{3}-r^{3} 3r^{3}-r^{3}}{3}}={frac {4pi r^{3} }{3}}}$

Mathematische Gleichung

In kartesischen Koordinaten

Im Kartesischen Koordinaten kann eine Kugel mit Radius ${displaystyle r}$ und Mittelpunkt ${Anzeigestil (x_{0},y_{0},z_{0})}$ durch die Gleichung dargestellt werden:

${displaystyle (x-x_{0})^{2} (y-y_{0})^{2} (z-z_{0})^{2}leq r^{2}}$.

Parametervergleich

Im Kugelkoordinaten bezüglich des Zentrums lautet die Gleichung:

${displaystyle x=x_{0} rsin heta ;cos varphi }$

${displaystyle y=y_{0} rsin heta ;sin varphi qquad (0leq varphi <2pi {mbox{ and }}0leq heta leq pi )}$

${displaystyle z=z_{0} rcos heta }$

Differentialgleichung

Jede Kugelfläche (Kugel) wird beschrieben durch die Differentialgleichung

${Anzeigestil x,{m {d}}x y,{m {d}}y z,{m {d}}z=0}$

Beispiele

Die Eigenschaft der Kugel ist, dass sie von allen möglichen dreidimensionalen Formen die gleiche hat Inhalt das kleinstmögliche Oberfläche hast. In dieser Form zum Beispiel ein Minimum Energie erhalten von der Oberflächenspannung. Daher sind viele Objekte in der Natur kugelförmig. Beispiele für Kugelformen in der Natur sind:

• EIN fallen
• EIN Blase
• EIN Planet

Perfekt kugelförmige Objekte gibt es in der Natur nicht. Selbst ein schwerer Himmelskörper wie der Boden liegt an der Drehung um seine Asche leicht abgeflacht am Polen (Ellipsoid). Auch das andere Planeten und der Sterne sind mehr oder weniger kugelförmig.

Viele Sportarten verwenden ein kugelförmiges Spielobjekt, a Ball.

Licht oder Klang komme von a Punktquelle Pflanzen in a homogen Medium bewegt sich in alle Richtungen mit der gleichen Geschwindigkeit. Dies wird durch sphärisches Aussehen oder sphärische Reproduktion angezeigt.

Häuser in Kugelform sind energieeffizienter, weil sie bei gleicher Wohnfläche auf weniger Fläche Wärme an die Außenluft abgeben und der Wind weniger Einfluss darauf hat, so dass noch weniger Wärme verloren geht. In dem Bossche Nachbarschaft Maaspoort stehend 50 Glühbirnenhäuser die als Sozialwohnungen vermietet werden, entworfen von Architekten Trocknet Kreijkamp.

Siehe auch

• Kreis
• Diskette (Mathematik)
• Atmosphäre (Mathematik)
• Magdeburger Halbkugeln
• isoperimetrischer Quotient

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