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für verschiedene Standards die Einheitskugel in zwei Dimensionen: Einheitskreise

In dem Mathematik ist ein Einheitskugel oder Einheitskugel das SammlungPunkte auf Entfernung1 von einer festen Zentrale Center. Formal wird zwischen Kugel bzw. Kugel und Kugel (Vollkugel) unterschieden. EIN Einheitsball oder geschlossene Einheitskugel ist die Menge der Punkte auf a Entfernung kleiner oder gleich 1 von der Mitte.

Normalerweise gibt es einen bestimmten Punkt, der als Ursprung der zu studierenden Platz und nehmen an, dass die Einheitskugel um diesen Punkt zentriert ist.

Die Bedeutung der Einheitskugel besteht darin, dass jede Kugel durch eine Kombination von . in eine Einheitskugel umgewandelt werden kann Übersetzung und Rahmen. (In gleicher Weise kann jede Kugel in die Einheitskugel umgewandelt werden.) Auf diese Weise lassen sich die Eigenschaften von Kugeln im Allgemeinen auf das Studium der Einheitskugel zurückführen.

Manchmal meinen die Leute Einheitskugel insbesondere die Einheitskugel im dreidimensionalen Raum. Die Einheit Kugel und Kugel in zwei Dimensionen heißt Einheitskreis und Einheitsscheibe.

Einheitskugeln im euklidischen Raum

In einem euklidischer Raum von neinMaße ist die EinheitKugel die Menge aller Punkte

${displaystyle x_{1},cdots ,x_{n}}$

die die Gleichung erfüllen

${displaystyle x_{1}^{2} x_{2}^{2} cdots x_{n}^{2}=1}$

und die geschlossene EinheitBall ist eine Menge aller Punkte, die die Ungleichheit

${displaystyle x_{1}^{2} x_{2}^{2} cdots x_{n}^{2}leq 1.}$

Allgemeine Formeln für Fläche und Volumen

Das Volumen und die Fläche der Einheitskugel in a nein-dimensionalen euklidischen Raum gibt es in vielen wichtigen Formeln innerhalb der Analyse vor dem. Die Fläche der Einheitskugel in neinAbmessungen, in der Literatur oft mit . angegeben ${displaystyle omega_{n}}$, kann wie folgt ausgedrückt werden mit Gamma-Funktion,

${displaystyle omega _{n}={frac {2pi ^{n/2}}{Gamma (n/2)}}.}$

Das Volumen einer Einheitskugel ist ${displaystyle omega_{n}/n.}$

Nicht allgemeine Formeln für Fläche und Volumen

Im dreidimensionalen euklidischen Raum ist das Volumen einer Einheitskugel

${displaystyle V={frac {4}{3}}pi r^{3}}$

und die Fläche ist gleich

${Displaystil A=4pi r^{2}.,}$

Einheitsbälle im normierten Vektorraum

Genauer gesagt, die offener Einheitsball in einem normierter Vektorraum${Anzeigestil V}$, mit dem Norm${Anzeigestil |cdot|,}$ ist

${displaystyle {xin V:|x|<1}.}$

Das ist es intern des geschlossene Einheitskugel von ${Anzeigestil (V,|cdot|):}$

${displaystyle {xin V:|x|leq 1}.}$

Dieser letzte ist der disjunkte Assoziation der ersten und ihrer gemeinsamen Schnittstelle, die Einheitskugel von ${Anzeigestil (V,|cdot|):}$

${displaystyle {xin V:|x|=1}.}$

Kommentar

Die Form der Einheitskugel ist vollständig vom gewählten Standard abhängig; die Einheitskugel kann sogar Ecken haben und ähneln beispielsweise ${displaystyle [-1,1]^{n}}$ im Fall des Standards ${displaystyle 1_{>infty }}$ auf der ${displaystyle mathbb {R} ^{n}.}$ Das runde Kugel wird als üblich verstanden hilbert zimmer-Norm. In der endlichen Dimension auf Euklidische Entfernung bezogen auf den Fall ist die Schnittstelle dieser runden Kugel das, was normalerweise mit der Einheitskugel gemeint ist.

Verallgemeinerungen

Metrische Räume

Alle drei oben Definitionen lässt sich leicht zu a verallgemeinern metrischer Raum, in Bezug auf einen Auserwählten Ursprung. Topologische Überlegungen zu den intern, das Schließen und der Schnittstelle kann jedoch nicht immer in gleicher Weise gelten. In dem ultrametrisch Leerzeichen führen diese Definitionen gleichzeitig zu Öffnen- und geschlossene Sammlungen und die Einheitskugel kann in einigen metrischen Räumen sogar leer sein.

quadratische Formen

wenn V ist ein linearer Raum mit reellem quadratische Formf: V → R, dann (x ∈ V:f (x) = 1) manchmal die Einheitskugel aufgerufen von V. Zweidimensionale Beispiele sind die komplexe Zahlen teilen und der duale Zahlen. Wann f akzeptiert negative Werte, dann (x ∈ V:f(x) = − 1) die Kontrapunkt erwähnt.

Siehe auch

• Einheitskreis und Einheitsscheibe: Einheitskugel und Einheitskugel in zwei Dimensionen
• Ambiente und Ball: Artikel über Kugeln und Kugeln mit beliebigem Radius (nicht unbedingt 1).
• Kugel: über die Kugel und die Kugel in drei Dimensionen, wo sie üblicherweise Kugel bzw. Kugel genannt werden!
• Einheitsquadrat