WikiDer > Boltzmann-Verteilung

Das Boltzmann-Verteilung oder Boltzmann-Statistik (ebenfalls Gibbs-Boltzmann-Verteilung erwähnt) ist einer in der Chemie, Physik und Mathematik angewendet Wahrscheinlichkeitsverteilung zeigt die relative Besetzung verschiedener Zustände in a System zeigt an. Ein Spezialfall dieser Verteilung ist die Geschwindigkeitsverteilung von Gasteilchen in a ideales Gas, die dargestellt wird durch die Maxwell-Boltzmann-Verteilung.

Zufallsfunktion

Es wird angenommen, dass sich ein System in verschiedenen Zuständen befindet ${displaystyle j=1,2,ldots}$ kann lokalisiert werden, jedes Mal mit einem zugehörigen Energie${displaystyle E_{j}}$. Chance ${displaystyle p_{j}}$ dass das System im Zustand ist ${Anzeigestil j}$ gefunden wird, ist proportional zu Exponentialfunktion${displaystyle e^{-eta E_{j}}}$, und ist somit gegeben durch

${displaystyle p_{j}={frac {1}{Z}}e^{- eta E_{j}}}$

in welchem ${Anzeigestil Z}$ das Normierungsfaktor ist:

${displaystyle Z=Summe e^{- eta E_{j}}}$

Der Parameter ${displaystyle eta }$ wird in der Thermodynamik konkret ausgefüllt als:

${displaystyle eta ={frac {1}{k_{B}T}}}$

mit ${displaystyle k_{B}}$ das Boltzmann-Konstante.

Belegungsrate

wenn Teilchen in einem bestimmten System die Fähigkeit haben, sich auf die Zustände zu verteilen ${Anzeigestil i}$ und ${Anzeigestil j}$, dann die Belegungsraten ${displaystyle N_{i}}$ und ${displaystyle N_{j}}$ sich als

${displaystyle {N_{j} über N_{i}}=g{p_{j} über p_{i}}=ge^{- eta (E_{j}-E_{i})}=ge^{- eta Delta-E}}$,

also abhängig von der Energiedifferenz ${Anzeigestil Delta E=E_{j}-E_{i}}$ beider Staaten. Darin ist ${displaystyle g}$ ein Korrekturfaktor für die Entartung im System, das dargestellt wird durch

${displaystyle g={frac {g_{j}}{g_{i}}}}$

Diese Faktoren können durch quantenmechanische Berechnungen erhalten werden.

Anwendung in der Spektroskopie

Die Boltzmann-Verteilung wird in vielen klassischen und quantenmechanischen Systemen verwendet. Somit ist die Verteilung im Spektroskopie weit verbreitet, da die Belegungsraten der verschiedenen Energieniveaus wichtige Auswirkungen auf die Absorption- und Emissionsprozesse. Im speziellen Fall der Spektroskopie kommt den Übergängen aus dem Grundzustand mit Energie mehr Bedeutung zu E₀. Damit reduziert sich die Boltzmann-Verteilung auf

${displaystyle N_{i}=N_{0} g e^{-{frac {E_{i}-E_{0}}{k_{B}T}}}}$

Da die Energiedifferenz der Energie eines zu absorbierenden oder emittierten Quantenteilchens entsprechen muss, kann die Gleichung umgeschrieben werden zu

${displaystyle N_{i}=N_{0}cdot gcdot exp left(-{frac {hu _{0i}}{k_{B}T}}ight)}$

Dies zeigt, dass die relative Besetzung eines höheren Energieniveaus (de energie aufgeregter Zustand) wird durch die Energiedifferenz zum Boden bestimmt und die Temperatur${Anzeigestil T.}$ Die Anzahl der Teilchen im angeregten Zustand nimmt zu, je kleiner die Energiedifferenz zwischen den relevanten Zuständen oder je höher die Temperatur ist. Zum Beispiel bei NMR-Spektroskopie der Energieunterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zuständen ist so klein, dass die beiden Energieniveaus fast gleich besetzt sind. Dies würde bedeuten, dass aus NMR-Analysen keine brauchbaren Informationen gewonnen werden könnten, da fast keine Übergänge stattfinden. Die Energieniveaus können jedoch manipuliert werden: durch Anlegen eines externen Magnetfeld die Energiedifferenz wird zunehmen und die Population beider Ebenen wird sich signifikant ändern. Dadurch werden Übergänge zwischen den beiden Zuständen möglich und daraus Informationen über die Molekülstruktur gewonnen.

Siehe auch

• Boltzmann-Gewichtungsfaktor