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EIN Normierungsfaktor oder Normierungskonstante ist eine Zahl mit a mathematisches Objekt, Zum Beispiel, a Vektor, wird multipliziert. Es ist oft die Absicht, dass dies das Objekt a Länge oder Größe gleich eins. Diese Länge oder Größe in der Mathematik wird zu einer Wiskunde Norm erwähnt.

standardisieren bedeutet im Grunde, dass ein Objekt von seiner eigenen Norm geteilt wird. Der Normierungsfaktor ist also der umkehren des Standards. Ein Normierungsfaktor kann auch in anderen Situationen auftreten, zum Beispiel bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit dem Ziel, die Gesamtwahrscheinlichkeit gleich eins zu halten, oder beispielsweise in mathematischen Transformationen Fourier-Transformationen, mit dem Ziel, eine Eigenschaft des zu transformierenden Objekts in das Ergebnis der Transformation zu übertragen.

Vektoren

Man kann Vektoren nur normieren, wenn für diese Vektoren eine Norm definiert wurde. Es Nummer, der Faktor, der die Norm des Vektors gleich eins macht, hängt dann von der fraglichen Norm ab und ist gegeben durch umkehren der Vektornorm. EIN Einheitsvektor ist ein normierter Vektor.

Wenn da ein ... ist Innenprodukt definiert ist, kann ihm immer ein Standard zugeordnet werden. Die Norm eines Vektors wird dann als Quadratwurzel des inneren Produkts des Vektors mit sich selbst definiert:

${displaystyle ||{vec {u}}|| = {Quadrat {langle {vec {u}}, {vec {u}}Winkel}}}$

• Beispiel: Nimmt man das gewöhnliche innere Produkt als inneres Produkt, dann ist der Einheitsvektor in die gleiche Richtung wie

${displaystyle {vec {u}} = [ 2, 3, -1 ]}$

berechnen:

${displaystyle ||{vec {u}}|| = {Quadrat {{vec {u}}cdot {vec {u}}}} = {Quadrat {2^{2} 3^{2} (-1)^{2}}} = {Quadrat {14}} }$

Durch den Vektor ${displaystyle {vec {u}}}$ durch ${displaystyle {sqrt {14}}}$ dividiert seine Länge wird eins.

Polynome und Funktionen

Polynome und Funktionen kann auch standardisiert werden. Die Polynome werden normiert, indem sie sich selbst durch ihre Norm dividieren. Die notwendige Norm wird immer durch ein inneres Produkt bestimmt, aber das innere Produkt zweier Polynome kann auf unterschiedliche Weise definiert werden.

Für zwei Polynome ${displaystyle p}$ und ${Anzeigestil q}$ kann ihr inneres Produkt ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ auf unterschiedliche Weise definiert werden. Der Standard für ein gegebenes Innenprodukt ${displaystyle langle cdot , cdot winkel }$ entspricht:

${Anzeigestil ||p(x)|| = {Quadrat {lang p(x)p(x)Winkel}}}$,

In den folgenden Formeln ${displaystyle p(x)=Sigma_{i=0}^{n} a_{i}x^{i}}$ ausgewählt und das *-Symbol steht für die komplex konjugiert.

Mögliche innere Produkte sind:

• Die Summe des Produkts der Matching-Koeffizienten:

${displaystyle langle p(x),q(x)angle = Sigma _{i=0}^{n} p_{i}q_{i}^{*}}$.

so dass ${displaystyle ||p(x)||^{2} = Sigma _{i=0}^{n} p_{i}p_{i}^{*}}$.

• Das innere Produkt der Legendre-Polynome:

${displaystyle langle p(x)q(x)angle = int _{-1}^{1} p(x) q^{*}(x) dx}$

so dass ${displaystyle ||p(x)||^{2} = int _{-1}^{1} p(x)p^{*}(x) dx}$

• Das innere Produkt der Laguerre-Polynome:

${displaystyle langle p(x),q(x)angle = int _{0}^{ infty} p(x) q^{*}(x) e^{-x} dx}$

so dass ${displaystyle ||p(x)||^{2} = int _{0}^{ infty } p(x)p^{*}(x) e^{-x} dx}$

Diese letzten beiden inneren Produkte können für andere Funktionen außer für Polynome verwendet werden. Der Normierungsfaktor, der ein Polynom oder eine Funktion normiert, hängt vom inneren Produkt ab.

Beispiel: der Normierungsfaktor des Polynoms ${Anzeigestil p(x)=2x}$, ist ${displaystyle 1/{sqrt {5}}}$ für das erste innere Produkt, aber ${displaystyle {sqrt {3/26}}}$ für das innere Produkt von Legendre und ${displaystyle 1/{sqrt {10}}}$ für das innere Produkt von Laguerre.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen haben die Eigenschaft, dass das Integral von minus bis plus unendlich gleich 1 sein muss. Dies wird durch die Verwendung eines geeigneten Normierungsfaktors erreicht Normalverteilung hat die bekannte Glockenform. Die Verteilung ist gegeben durch:

${displaystyle f(x) = {frac {1}{sqrt {2pi sigma ^{2}}}} e^{-{frac {(x-mu)^{2}}{2sigma ^{2}}}} }$

Die Glockenform selbst ist eine Folge der Exponentialfunktion, muss aber normalisiert werden, um sicherzustellen, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit von Integral- von minus bis plus unendlich ist gleich 1. Ein weiteres Beispiel ist die Chi-Quadrat-Verteilung, mit Wahrscheinlichkeitsdichte:

${displaystyle f_{n}(x)={frac {1}{2^{(n/2)}Gamma ({frac {n}{2}})}}x^{(n/2)-1} e^{-x/2}}$.

Der konstante Faktor davor sorgt auch hier dafür, dass für jeden Wert des Parameters ${displaystyle n}$ die Gesamtwahrscheinlichkeit, gegeben durch das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte über das Intervall 0 bis unendlich, ist gleich 1.

Fourier-Transformationen

Das Fourier-Transformation eine Funktion setzen ${Anzeigestil f(t)}$ was von der Zeit abhängt, um in einer Funktion zu sein ${Anzeigestil F(omega)}$ Der der Eckfrequenz${Anzeigestil Omega}$ hängt davon ab. Die Vorwärts- und Rückwärtstransformationen sind jeweils gegeben durch:

${displaystyle F(omega) = {frac {1}{sqrt {2pi}}} int _{-infty}^{infty} f(x) e^{-iomega t} dt}$

und

${displaystyle f(t) = {frac {1}{sqrt {2pi}}} int _{-infty}^{infty} F(omega) e^{iomega t} domega}$

Hier ist ${Anzeigestil i}$ das imaginäre Einheit. Beide Formeln enthalten einen gleichen Faktor im Vordergrund. Andere Normalisierungen sind möglich, aber das Produkt beider Faktoren ist immer gleich ${Anzeigestil 1/2pi }$ sein. Nur dann ist das Ergebnis der Vorwärtstransformation gefolgt von der Rückwärtstransformation oder umgekehrt wieder die ursprüngliche Funktion.