WikiDer > Категория абелевых групп

В математика, то категория Ab имеет абелевы группы в качестве объекты и групповые гомоморфизмы в качестве морфизмы. Это прототип абелева категория:^[1] действительно, каждый маленький абелева категория может быть встроен в Ab.^[2]

Характеристики

В нулевой объект из Ab это тривиальная группа {0}, который состоит только из нейтральный элемент.

В мономорфизмы в Ab являются инъективный гомоморфизмы групп, эпиморфизмы являются сюръективный гомоморфизмы групп, а изоморфизмы являются биективный групповые гомоморфизмы.

Ab это полная подкатегория из Grp, то категория все группы. Основное различие между Ab и Grp состоит в том, что сумма двух гомоморфизмов ж и грамм между абелевыми группами снова является гомоморфизм групп:

(ж+грамм)(Икс+у) = ж(Икс+у) + грамм(Икс+у) = ж(Икс) + ж(у) + грамм(Икс) + грамм(у)

       = ж(Икс) + грамм(Икс) + ж(у) + грамм(у) = (ж+грамм)(Икс) + (ж+грамм)(у)

Третье равенство требует, чтобы группа была абелевой. Это добавление морфизма превращает Ab в предаддитивная категория, и потому что прямая сумма конечного числа абелевых групп дает побочный продукт, у нас действительно есть аддитивная категория.

В Ab, понятие ядро в смысле теории категорий совпадает с ядро в алгебраическом смысле, т.е. категоричное ядро ​​морфизма ж : А → B это подгруппа K из А определяется K = {Икс ∈ А : ж(Икс) = 0} вместе с гомоморфизмом включения я : K → А. То же верно и для коядра; ядро ж это факторгруппа C = B / ж(А) вместе с естественной проекцией п : B → C. (Обратите внимание на еще одну важную разницу между Ab и Grp: в Grp может случиться так, что ж(А) это не нормальная подгруппа из B, поэтому фактор-группа B / ж(А) не может быть сформирован.) С этими конкретными описаниями ядер и коядров довольно легко проверить, что Ab действительно абелева категория.

В товар в Ab дается продукт групп, образованный взятием декартово произведение базовых наборов и выполнение групповой операции покомпонентно. Потому что Ab есть ядра, тогда можно показать, что Ab это полная категория. В сопродукт в Ab дается прямой суммой; поскольку Ab имеет коядра, отсюда следует, что Ab это также завершенный.

У нас есть забывчивый функтор Ab → Набор который присваивает каждой абелевой группе базовый набор, и каждому гомоморфизму групп соответствующий функция. Этот функтор верный, и поэтому Ab это конкретная категория. Забывчивый функтор имеет левый смежный (который связывает с данным набором свободная абелева группа с этим набором в качестве основы), но не имеет правого сопряжения.

Принимая прямые ограничения в Ab является точный функтор. Поскольку группа целых чисел Z служит генератор, категория Ab поэтому является Категория Гротендика; на самом деле это прототип категории Гротендика.

Объект в Ab является инъективный если и только если это делимая группа; это проективный если и только если это свободная абелева группа. Категория имеет проективный генератор (Z) и инжекторный когенератор (Q/Z).

Даны две абелевы группы А и B, их тензорное произведение А⊗B определено; это снова абелева группа. С этим понятием продукта Ab это закрыто симметричная моноидальная категория.

Ab это не топос поскольку, например, у него нулевой объект.

Смотрите также

• Категория модулей
• Абелева связка - многие факты о категории абелевых групп остаются верными и для категории пучков абелевых групп

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, МИСТЕР 1878556
• Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика. Тексты для выпускников по математике. 5 (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
• Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.